核心素养背景下GeoGebra助力函数奇偶性概念教学

摘 要：发展数学核心素养是数学学科落实立德树人的重要途径.高中数学因其符号的抽象性，导致学生难以理解数学概念，尤其是在函数性质的学习中特别突出.本研究以GeoGebra为平台助力函数奇偶性概念教学，从整体到局部，再到整体，引导学生理解并构建奇偶性的概念，发展核心素养，以期为GeoGebra融入高中数学教学提供教学建议.

关键词：核心素养；函数奇偶性；GeoGebra

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力.”^［1］函数作为高中数学的主要学习内容之一，对发展核心素养有着至关重要的作用，但是由于函数的抽象性以及符号形式化表示使得大部分学生在学习过程中感觉很枯燥乏味，以至于学生的核心素养提升不明显.

数学概念是数学形成和发展的基础，但是对于数学概念的教学，大部分教师容易忽略对概念的生成进行讲解，尤其是用符号表示函数性质的概念时特别明显.在函数奇偶性概念的教学中，尽管大部分教师能够使用教学工具进行直观演示让学生分析具体函数的图象，从而形成感性认识，帮助学生归纳概念，并上升到理性认识，但是在处理奇偶性“定义域关于原点对称”环节往往没有引导学生发现定义域的对称是函数具有奇偶性的前提，以至于在之后运用奇偶性解决问题时，学生容易忽略定义域的对称，从而出现解题错误.

为了解决以上问题，笔者按照从函数图象的整体到局部，再到整体的思路，以GeoGebra为平台，设计“定义域对称的直观演示”，引导学生发现“定义域关于原点对称”是函数奇偶性的重要前提，助力学生理解奇偶性的概念，发展数学核心素养.

1 GeoGebra的特征与优势

1.1 GeoGebra简介

由Markus Hohenwarter团队开发并推广的GeoGebra，是一款用于教育教学的交互式动态数学软件.它集代数、几何、概率统计、导数、微积分于一体，因其操作简单、功能强大、免费开源被广泛应用.^［2］GeoGebra是一个几何系统，可以让学生和教师在软件窗口看到包含点、向量、直线、圆锥和函数，然后进行动态修改这些数学对象.此外，GeoGebra还可以计算函数的导数和微积分，并具有各种指令，如绘制给定区间的函数图象的指令.如图1所示，输入“如果（-2≤x≤3，x2-3）”，就会出现相应的二次函数图象.

1.2 GeoGebra的特征

作为一款动态互动的教育教学软件，GeoGebra具有构建性、导向性、互动性、准确性等特性，有助于学生在数学学习的过程中更好地体验数学的魅力.

构建性是指GeoGebra能使得学生反复尝试来构建数学对象进行表示.例如，GeoGebra自带快捷的工具——作交点、作平行线、作垂线等，在函数f（x）＝x2-3图象上作出一个点，再作垂线与x轴相交并作出交点从而找到对应x值；也能作出平行线与y轴相交并作出交点找到对应y值（如图2）.在这个过程中，学生通过尝试进行主动构建函数，从而深刻理解数学概念.

导向性是指学生和教师可以自由灵活地探索.GeoGebra有电脑版本和移动手机版本，便于随时随地对思考的数学问题进行作图探究.

互动性是指学生能够获得即时和有效的反馈，使学生能够及时意识到自己的错误，进而改变学习策略.GeoGebra可以同时呈现两个绘图区域，如图3所示，函数f（x）＝x2-3显示在绘图一区域，函数f（x）＝x2-3（-2≤x≤3）显示在绘图二区域，学生可以观察两者的异同，进而归纳数学知识.

准确性是指学生和教师可以精确地执行创建数学对象的操作.对于不等式的解集、函数的零点、极值点等，GeoGebra都能精确地进行操作.

1.3 GeoGebra的优势

相较于其他教学软件，GeoGebra具有工具便捷、功能丰富、几何与代数相统一、“傻瓜式”输入等许多优点，这使得学生、教师以及其他教育教学工作者能够轻松使用.GeoGebra的工具包含了基本几何对象的构建、变换、符号的表示等.“傻瓜式”输入栏与绘图区相结合，使得其可以演示复杂的数学对象，如分段函数、导函数分别与原函数的单调性的关系等.教师引导学生观察归纳数学知识，从感性认识上升到理性认识，从而培养和发展学生的直观想象核心素养.

2 基于GeoGebra的“奇偶性”教学设计

2.1 教材分析

本次研究的课题，选自人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》第3.2.2节“奇偶性”的内容.本节课编排在单调性之后，采用由观察图象特征—用符号语言描述数学概念—应用数学知识的学习思路.^［3］本节课主要的知识点是奇偶性的概念，关键点是引导学生发现定义域关于原点对称，体现数形结合、特殊到一般、转化与化归、类比迁移的数学思想方法，蕴含直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养.

2.2 学情分析

学生在之前的学习中已经掌握了函数的概念，知道定义域、对应关系、值域作为函数的三要素以及了解了单调性的概念；积累了研究函数性质的经验，有一定的学习思路.

2.3 课标要求

实施课堂教学，必须以课程标准的要求为依据.本节课要求学生能够结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.教师要引导学生正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质.

2.4 教学目标

根据课程方案与课程标准的要求，对教材和学情的分析，确定如下的教学目标：①借助GeoGebra观察函数图象，了解奇偶性的概念与几何意义;②能够使用符号描述奇偶性的概念，体会数形结合、特殊到一般、转化与化归、类比等数学思想，发展直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养，培养数学表达能力，感受数学的对称美、激发学生学习兴趣.

2.5 教学重难点

本节课的教学重难点如下.

教学重点：结合函数图象的对称性，引导学生用符号描述奇偶性的概念.

教学难点：引导学生发现定义域关于原点对称，进一步使用符号语言表达数学对象.

2.6 教学工具与方法

本节课的教学工具与方法如下.

教学工具：GeoGebra软件与PPT.

教学方法：本节课教师采用问题驱动、引导发现的教法，让学生学会独立思考、类比迁移、小组合作的学习方法.

2.7 教学思路

函数的奇偶性是函数的整体性质，本节课采用整体—局部—整体的教学思路.通过函数图象的对称—坐标点的对称—定义域的对称—函数值对称—图象的对称的教学思路，使用GeoGebra观察函数图象的对称性并结合反例进行对比教学.

2.8 教学过程

（1）创设情境.

（PPT展示）桥梁文化是中国传统文化的一部分，从古代的拱桥到新时代的高速大桥，都蕴含了人民群众的伟大智慧，观察这些桥梁结构（如图4），在它们身上你发现了什么数学对象？这些数学对象有什么结构特征？试用你已经学习过的函数进行描述？

预案：学生能够发现展示的桥梁包含函数、几何图形等，它们都具有对称性.学生也能用学习过的二次函数对桥梁进行刻画.

【设计意图】教师通过创设情境，让学生感受数学与生活的联系，激发学习兴趣，感受数学文化和中国传统文化，培养学生用数学的眼光观察世界，增强文化自信.

（2）探究新知.

问题1 画出函数f（x）＝x2，函数g（x）＝2-｜x｜，函数h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的图象，它们有什么相同和不同之处？

预案：学生能绘制出三个函数的图象，并且观察到前两个函数图象关于y轴对称，最后一个函数图象不关于y轴对称.

教师活动：教师使用GeoGebra在绘图一区域绘制函数f（x）＝x2，在绘图二区域绘制函数h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）同时展示这两个图象，为引导学生对比发现异同做铺垫.

思考 类比单调性的学习过程，思考如何使用数学符号描述函数图象关于y轴对称？

追问 函数图象由什么几何对象构成？这些几何对象又是如何确定下来的？

预案：学生能够发现函数图象是由无穷多个坐标点构成，并且这些点是由函数定义域内x的取值和其对应的函数值f（x）组成，即（x，f（x））.

学生活动：观察函数f（x）＝x2，h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的图象，分别写出当x＝-4和x＝3时，对应函数图象上的坐标点，并写出该点关于y轴对称的坐标点，观察坐标之间的联系.

预案：除了不能写出x＝3时第二个函数图象对称点的坐标之外，学生能够写出其他相应点的坐标，并且能够发现“定义域内函数图象上关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等”，即f（-x）＝f（x），如果函数图象不对称则没有这个结论.

【设计意图】教师通过问题和追问，借助GeoGebra绘制的图象引导学生对比发现函数图象上对称点的坐标数值的数量关系，发展学生直观想象、逻辑推理和数学抽象核心素养，为归纳偶函数的概念作铺垫.

问题2 对于不关于y轴对称的函数图象，为何不具有上述结论？它与关于y轴对称的函数，还有哪些不同？试试从函数的三要素角度思考分析，你有什么发现？

预案：学生再次对比图象，能够发现图象不关于y轴对称的函数h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）其定义域也不对称.

教师活动：使用GeoGebra在x轴上作线段表示函数h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的定义域（如图5），并进行动态演示，让学生直观感受定义域的分布，进一步引导学生发现图象关于y轴对称的函数f（x）＝x2的定义域是关于原点对称.

追问 关于原点对称的定义域（区间）有什么特征？不关于原点对称的定义域（区间）又有什么特征？试着举几个例子进行说明？你能得出什么结论并用符号表示这个结论吗？

预案：学生能列举（-3，3），［-2，2］，（-4，1），［-2，3］等例子，并发现对于［-2，2］定义域内的一个取值，其相反数也属于这个定义域，即任意x∈D，-x∈D.

追问 我们通过观察函数图象关于y轴对称和图象上点的坐标的关系，得到了f（-x）＝f（x）数量关系，再对比两个函数图象，得出了“定义域关于原点对称”并用符号语言进行描述，现在试着用符号语言描述“图象关于y轴对称”的这类函数的特征？

预案：学生能够总结出偶函数的概念及其几何意义.

教师活动：教师引导学生归纳偶函数的概念和研究思路并板书.

板书：函数图象关于y轴对称—图象上的点对称—点坐标值的数量关系—定义域的对称—符号语言描述—得出结论.

【设计意图】教师通过GeoGebra的动态演示和举例分析，引导学生发现由图象的对称到定义域的对称，并用符号语言描述这些发现，培养学生的数学表达能力，发展直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养，体会特殊到一般的数学思想.教师板书研究结果和思路，有助于学生构建研究函数性质的一般思路，为学生类比研究奇函数作铺垫.

探究：在初中学习的正比例函数与反比例函数中，它们的图象关于原点对称，学生建立合作小组，试着用研究偶函数的思路，研究这类函数的共同特征“图象关于原点对称”，并用符号语言进行描述.

预案：通过小组的合作，学生能够归纳并用数学符号表达奇函数的概念.教师进行板书.

（3）概念剖析.

讨论：从奇偶性的概念及其几何意义两个角度出发，如何判断一个函数的奇偶性并对比两种方法的优缺点？

教师活动：教师使用GeoGebra绘制一个反例的函数图象（如图6），引导学生发现几何直观的判断方法有一定的误差，进而突出符号化的重要性.

预案：学生能够归纳判断函数奇偶性的方法，并且能够发现几何直观的判断可能会出现误差，因此采用符号语言进行严谨的推理判断才能准确无误.

【设计意图】学生开展小组合作，类比应用研究思路探究奇函数的概念，并使用符号进行描述，体会转化与化归、类比迁移、数形结合的数学思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养，培养学生的数学表达能力，增强自信心.

3 结语

本次研究将GeoGebra与问题驱动、引导启发的教学方法相融合，借助该软件的两个绘图区进行对比作图，让学生独立思考、合作交流，发展数学核心素养，提升数学表达能力，学会用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界.在教学中，教师需要恰当使用GeoGebra，尽可能让数学更简单，使知识通俗易懂.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台［J］.数学通报，2018（7）：21-24+28.

［3］孙彬.基于多元表征的数学概念课教学设计——以函数的奇偶性教学设计为例［J］.中学数学研究，2019（12）：3-6.

*基金项目：2023年铜仁市基础教育教学实验课堂“基于应用GeoGebra发展学生直观想象素养的实践研究”（项目编号：2023sj118）.