合理参数设置，巧妙函数思维

摘 要：涉及解三角形中的最值（或取值范围）问题，是高考命题中比较常见的一类热点问题.本文结合一道解三角形中面积最值及其应用的求解，依托解三角形的应用情境创设，挖掘问题的本质与内涵，从不同数学思维角度切入，结合不同的技巧方法应用，总结解题思维方法与技巧规律，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：解三角形；边参；角参；变式

作为高考中主干知识之一的解三角形，其中与三角形中相关的最值（或取值范围）问题的设置与考查，是高考考查中最为常见的一类综合应用题，也是高考中的一个热点与重点问题.三角形中相关的最值（或取值范围）的场景是多变的，涉及角、边的最值（或取值范围），周长、面积的最值（或取值范围），综合关系式的最值（或取值范围）等，需要学生根据不同的场景与应用条件，选取合适的技巧与方法，这成为突破与解决问题的关键.三角形最值题也是模拟试卷、高考试卷中最为经常出现的一种基本类型与实际应用，要加以熟练理解与掌握.

1 问题呈现

问题 （2024年湖北省武汉市高三年级五月模拟训练试题数学试卷第8题）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足c2－a2＝ab，c＝2，则△ABC面积取最大值时，cosC＝（" ）.

A. 3-12

B. 3+14

C. 2-22

D. 2+24

此题为三角形面积问题，结合三角形中对应边的值以及对应边所满足的关系，进而确定三角形面积取得最大值时对应角的余弦值.问题的实质还是探究解三角形中的最值问题，以三角形的面积来设置，探究对应的最值与应用.

解决问题的关键就是构建三角形面积的关系式，合理选择相应的参数，或边参数，或角参数，结合关系式的结构特征和函数的构建，利用函数与导数的思维或不等式思维等来处理，往往是解决此类问题中比较常用的技巧方法.

2 问题破解

2.1 边参思维

方法1：边参法1.

依题，利用余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝b2-ab2ab＝b-a2a.

由c2－a2＝ab，c＝2，可得c2＝a2+ab＝4.

结合三角形的面积公式可得S＝12absinC＝12ab1-cos2C＝12ab4a2-（b2+a2-2ab）4a2＝12·ab（3a2+2ab-b2）4a2＝12b23a2+2ab-b24＝12·b23a2+2ab-b2a2+ab＝12b23a-ba＝b2（3a-b）4a＝b2（3a-b）a（a2+ab）＝3ba2-ba31+ba.令x＝bagt;0，则S＝（3x2-x3）1+x，构建函数f（x）＝3x2-x31+x，xgt;0，求导可得f′（x）＝2x（3-x2）（1+x）2，令f′（x）＝0，解得x＝3.

当x∈（0，3）时，f′（x）gt;0，函数f（x）单调递增；当x∈（3，+∞）时，f′（x）lt;0，函数f（x）单调递减，

所以f（x）max＝f（3）＝9-331+3＝63－9，此时cosC＝b-a2a＝12ba－1＝3-12，故选择A.

方法2：边参法2.

依题，利用余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝b2-ab2ab＝b-a2a，结合c2－a2＝ab，c＝2，可得cosC＝b-a2a＝ab-a22a2＝4-2a22a2＝2a2 －1.

结合三角形的面积公式可得S＝12absinC＝12ab1-cos2C＝12（4－a2）1-2a2-12＝12·（4－a2）4a2-4a4＝4-a2a2a2-1.

令x＝a2-1gt;0，则S＝（3-x2）xx2+1＝3x-x3x2+1，构建函数f（x）＝3x-x3x2+1，xgt;0，求导可得f′（x）＝-x4-6x2+3（x2+1）2，令f′（x）＝0，解得x2＝23－3，即x＝23-3.

当x∈（0，23-3）时，f′（x）gt;0，函数f（x）单调递增；当x∈（23-3，+∞）时，f′（x）lt;0，函数f（x）单调递减.

f（x）max＝f（23-3）＝63-9，此时cosC＝2a2 －1＝3-12，故选择A.

方法3：边参法3.

依题，由c2－a2＝ab，c＝2，可得b＝4a－a，记△ABC的半周长为p，则p＝12（a+b+c）＝2a+1，1lt;alt;2.

由海伦公式，得S＝p（p-a）（p-b）（p-c）＝2a+12a+1-aa-2a+12a-1＝4a2-11-a-2a2＝4a2-15-a2-4a2＝24a2-16a4+a2-9.

令x＝1a2 ∈14，1，则S＝24x-16x2+1x-9，构建函数f（x）＝24x－16x2+1x－9，x∈14，1，求导可得f′（x）＝24－32x－1x2 ，令f′（x）＝0，解得x＝1+34，此时1a2 ＝1+34.

当x∈14，1+34时，f′（x）gt;0，函数f（x）单调递增；当x∈1+34，1时，f′（x）lt;0，函数f（x）单调递减.

f（x）max＝f1+34＝63－9，此时cosC＝b-a2a＝ab-a22a2＝4-2a22a2＝2a2 －1＝3-12，故选择A.

点评：根据解三角形问题的实质与内涵，以边参思维来确定三角形面积所对应的关系式，利用代数式的结构特征，借助整体换元，减少变量个数，为进一步利用函数思维来确定相应的最值问题创造条件.边参思维下，利用整体思维来合理换元处理，构建函数处理问题时，数学运算量中等，解题过程比较流畅.

2.2 角参思维

方法4：角参法1.

依题，由c2－a2＝ab，可得c2＝a2+ab，利用余弦定理可得c2＝a2+b2－2abcosC，整理可得b2＝（1+2cosC）ab，即ba＝1+2cosCgt;0，可得cosCgt;－12.

结合b＝a（1+2cosC），将c＝2代入c2－a2＝ab，可得4－a2＝a2（1+2cosC），即a2＝21+cosC，可得a＝21+cosC，此时b＝a（1+2cosC）＝（1+2cosC）21+cosC.

结合三角形的面积公式可得S＝12absinC＝1221+cosC（1+2cosC）21+cosC1-cos2C＝1+2cosC1+cosC1-cos2C.

令t＝cosC∈（－12，1］，则S＝（1+2t）1-t21+t，构建函数g（t）＝（1+2t）1-t21+t，t∈（－12，1］.

求导可得g′（t）＝（2-t-4t2）1+t-（1+2t）1-t2（1+t）2＝（2-t-4t2）-（1+2t）（1-t）（1+t）1-t2＝-2t2-2t+1（1+t）1-t2，令g′（t）＝0，解得t＝3-12.

当t∈－12，3-12时，g′（t）gt;0，函数g（t）单调递增；当t∈3-12，1时，g′（t）lt;0，函数g（t）单调递减.

g（t）max＝g3-12＝63-9，此时t＝cosC＝3-12，故选择A.

方法5：角参法2.

依题，由c2－a2＝ab，可得c2＝a2+ab，利用余弦定理可得c2＝a2+b2－2abcosC，整理可得b2＝（1+2cosC）ab，即ba＝1+2cosCgt;0，可得cosCgt;－12，即0lt;Clt;2π3.

结合b＝a（1+2cosC），将c＝2代入c2－a2＝ab，可得4－a2＝a2（1+2cosC），即a2＝21+cosC，可得a＝21+cosC，此时b＝a（1+2cosC）＝（1+2cosC）21+cosC.

结合三角形的面积公式可得S＝12absinC＝1221+cosC（1+2cosC）21+cosCsinC＝1+2cosC1+cosCsinC＝sinC+sin2C1+cosC.

构建函数g（C）＝sinC+sin2C1+cosC，0lt;Clt;2π3，求导可得g′（C）＝2cos2C+2cosC+cos2CcosC+1（1+cosC）2＝（1+cosC）（2cos2C+2cosC-1）（1+cosC）2＝2cos2C+2cosC-11+cosC，令g′（C）＝0，解得cosC＝3-12，此时角C记为C0.

当cosC∈3-12，1时，g′（C）gt;0，函数g（C）在区间（0，C0）上单调递增；当cosC∈－12，3-12时，g′（C）lt;0，函数g（C）在区间C0，2π3单调递减.

g（C）max＝g（C0）＝63-9，此时cosC＝3-12，故选择A.

方法6：角参法3.

依题，由c2－a2＝ab，结合正弦定理可得sin2C－sin2A＝sinAsinB，利用正弦平方差公式sin2C－sin2A＝sin（C+A）sin（C－A），可得sin（C+A）sin（C－A）＝sinAsinB，即sin（C－A）＝sinA，可得C－A＝A或C－A+A＝π（舍去），即C＝2A.

结合正弦定理有asinA＝csinC，即asinC＝2sinA，可得asin2A＝2sinA，则有a＝1cosA.

结合三角形的面积公式可得S＝12acsinB＝1cosAsin3A＝sin3AcosA.

构建函数g（A）＝sin3AcosA，0lt;Alt;π3，求导可得g′（A）＝

8cos4A-4cos2A-1cos2A，令g′（A）＝0，解得cos2A＝1+34.

函数g（A）取得最大值时，cos2A＝1+34，此时cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝3-12，故选择A.

点评：根据解三角形问题的实质与内涵，以角参思维来构建对应的边与角等的关系式，进而得以确定三角形面积所对应的关系式，同时利用换元思维来构建相应的函数，借助函数思维来确定相应的最值问题.角参思维下，三角形面积的解析式与对应角的余弦值直接联系，解析式比较繁杂，具体求解过程中数学运算量比较大，操作起来比较困难.

3 变式拓展

3.1 回归本源

结合原问题及其解析过程，回归问题的本质与内涵，其实质就是求解对应三角形面积的最大值，进而直接加以变式与应用.

变式1 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足c2－a2＝ab，c＝2，则△ABC面积的最大值为""" .

具体解析过程直接参考原问题的解法即可.

3.2 拓展应用

变式2 （2024年江西省八所重点中学高三联考数学试卷第13题）在△ABC中，BC＝4，角A的平分线AD交BC于点D.若BDDC＝13，则△ABC面积的最大值为""" .

解析：依题，角A的平分线AD交BC于点D，且BDDC＝13，结合三角形内角平分线定理，有ABAC＝cb＝13，即b＝3c.

在△ABC中，由余弦定理可得16＝b2+c2－2bccosA，将b＝3c代入并整理有c2＝85-3cosA.

△ABC面积S＝12bcsinA＝12sinA5-3cosA，则有5S＝12sinA+3ScosA＝144+9S2sin（A+φ），可得5S≤144+9S2，解得S≤3，当且仅当cosA＝35，sinA＝45时，等号成立.

△ABC面积的最大值为3，故填答案3.

4 教学启示

解决三角形中的最值（或取值范围）问题，需要合理寻觅并挖掘对应关系式的结构特征与题设条件，解题思维往往基于解三角形思维、建系思维、几何思维、公式思维等，解题的关键在于合理进行恒等变形与转化，借助解题经验的积累与技巧方法的应用，选取行之有效的数学思维方法与对应的技巧策略.

在解决一些比较复杂的解三角形中的最值（或取值范围）问题时，经常需要借助函数与方程、函数与导数、平面几何性质、不等式等相关知识，实现三角形中最值（或取值范围）问题的求解，从而有效养成良好的数学思维品质，提升数学解题能力，拓展数学应用与创新思维.