逐次逼近原则的溯源、内涵、运用和价值

摘 要：本文对逐次逼近原则进行了历史溯源，阐明了这一原则的内涵，并从五个方面给出了逐次逼近原则在中学数学知识中的运用情境，揭示了这一原则的育人价值.

关键词：逐次逼近原则；历史溯源；知识情境

日本数学教育家米山国藏指出，作为知识的数学，人们日后若不从事数学工作，通常是走出校门后不到一两年就忘掉了.然而，不管人们从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），随时随地发生作用，使他们受益终生.^［1］《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也明确提出：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”^［2］由此可见，研究数学的思想方法并将数学思想方法与解题过程以宏观的、普适性的原则加以概括和解释，提升到通性通法的高度，对发展学生数学学科核心素养具有重要作用.

张奠宙教授曾在《数学方法论稿（修订版）》一书中指出，逐次逼近原则是中小学数学解题思维过程中的一种一般性方法，并强调这既是中学数学解题诀窍的最后一招，也是常能出奇出新的一招.^［3］逐次逼近原则不仅是解题中需要遵循的基本规律，而且是一种独特探索方法和思维方式，不论是从历史的还是系统的角度来看，逐次逼近原则都对数学学科发展起到了推动作用.因此，本文对逐次逼近原则进行历史溯源，挖掘其内涵意义，并以此原则为指导整体理解中学数学相关知识内容，最后给出该原则潜在的育人价值，以期促进对这一原则的深刻认识，获得更大的效益.

1 逐次逼近原则运用的历史溯源

逐次逼近原则的运用可以追溯到古代对圆以及一般曲线形面积的计算问题，数学家对这一问题持续研究了约两千年.直到微积分思想的产生，人们才发现可以用渐进逼近的方法求出任意精度的近似解.古希腊数学家安提丰（Antiphon）提出了穷竭法的萌芽思想，即随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，此圆与多边形的面积的差最终将被穷竭.后来古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）正式建立了严格的穷竭法思想.古希腊数学家阿基米德（Archimedes）则应用穷竭法，利用多边形面积逼近抛物弓形面积，求出了抛物弓形面积.无独有偶，中国数学家刘徽的割圆术，也是用多边形面积逼近圆面积.可以看出，在计算面积时，逐次逼近原则具体表现为无限逼近的极限思想.

古巴比伦和古埃及时期出现了二次方程的求解方式，此后数学家始终致力于高次方程的求解，由此解出的是方程的精确值.但在科学计数问题中，往往不需要精确值，只需要精确到工程需要的程度即可，因此数学家开始关注求高次方程的近似解.为此，英国物理学家、数学家牛顿（Newton）提出了切线法，即基于函数的局部线性逼近，通过不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根.在求解高次方程的过程中，逐次逼近原则具体表现为缩小解的范围以逼近正确解.

希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）发明了一种用来寻找一定范围内所有素数的算法——埃拉托斯特尼筛法.他先把大于2的2的倍数划去，再把大于3的3的倍数划去，接着又把大于5的5的倍数划去……如此操作，直至划去了在一定范围内的所有合数，最后划去1.正是利用这种近乎笨拙的、朴素的逐步筛选淘汰法，构造出了10万以内的质数表.在利用筛选淘汰法构造质数表时，逐次逼近原则又具体表现为对研究对象的筛选淘汰，最终获得所需结果.

到了近代，逐次逼近原则的应用更加广泛，如实数理论中用有理数逼近无理数，微分学中用平均变化率逼近瞬时变化率，积分学中用有限和逼近无限和，级数理论中用多项式逼近函数等.逐次逼近原则已成为解决代数方程、微分方程、积分方程、泛函分析、计算数学、概率统计、运筹学等学科中的一些问题的理论指导.

2 逐次逼近原则的方法内涵

不论是利用极限思想求圆的面积，还是通过缩小范围求高次方程的近似解，抑或是借助筛选淘汰制作质数表，这些都是逐次逼近原则的具体应用形式.这些问题共同的特征是正面解决较为困难，因此数学家就想到了采用迂回的方式，巧妙地用逼近、验证、淘汰和选择的方式来逐次渐进地获得正确答案.数学中的逐次逼近原则是这样一种解决问题的法则，即为了解决一个数学问题，先从一个与该问题的实质内容有着本质联系的较大范围开始解决，再逐步缩小范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解，逐步逼近使后一步比前一步更接近探索目标，一般有三种结果：①通过有限步逐步逼近，最终达到目标；②通过取无限逼近的极限，最终达到目标；③不能最终达到目标，但可以通过适当多次的逐步逼近，取得对目标的接近而达到一定的要求.^［4］

从数学思维的层面来看，逐次逼近原则蕴含的是一般到特殊的数学思维方式，它没有具体的、有明确步骤的操作过程，表现的是一种运用已有的数学理论与方法，按照逐次渐进的思维模式，从问题的条件、问题的解决程序、问题的结论等不同方面，化难为易、化繁为简、缩小范围、选定特殊状态等方式逐次地、逼近地解决问题.但是逐次逼近原则与通常所说的一般到特殊的思维方式还有所区别，它并不是从大范围成立的性质论证小范围这个性质成立，而是具有一定的方向性，始终围绕着想要解决的问题，将大范围缩小成小范围，一步步推进.逐次逼近原则具体主要分为两种思维方式：一种是对数学问题解法的逐次逼近方式，即对数学问题先给出一个近似的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解，典型的例子是有理数逼近无理数；另一种是对数学问题本身的逐次逼近方式，即从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等，获得对原来问题解决的一种方法，典型的例子是“四色问题”的研究.

逐次逼近原则的运用往往伴随着和简单化原理的结合.所谓简单化原理是指求解一个问题时，往往是从某个简单情形开始入手，以分解为主导，将问题分解为几类，分别求解，或是将问题分解为几步，一步步求解.在运用逐次逼近原则时，恰当地结合简单化原理，可以降低解决问题的难度，提升问题解决的成功率.

3 逐次逼近原则的运用情境

3.1 函数性质的研究

函数的奇偶性和周期性是高中数学中函数性质的重点学习内容.奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此奇偶性的本质是一种特殊的对称性，由对称性可知研究奇函数或偶函数只需要研究函数的一半即可.同样地，周期函数的图象呈现“周而复始”的特点，因此对周期函数的研究只要搞清楚一个周期内的函数图象与性质即可，然后可以推广到若干个周期，最后可以推广到整个周期.函数的奇偶性和周期性使得我们能够将对函数整体性质的研究缩小到对函数局部性质的研究，有效减少了问题研究的范围，达成事半功倍之效，无形中增强了我们研究函数性质的能力，这是一种逐次逼近原则的应用方式.

3.2 二分法解超越方程和高次方程

指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不存在解，即不能用代数运算求解，但是其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的应用.高中教材中介绍的二分法就是一种常见的数值解法.为求方程更为精确的近似解，直观上就是去求解所处的更小的范围，于是二分法就在包含解的区间内不断缩小区间范围，直到找到一个足够小的含有解的区间，从而得到具有足够精度的解.背后的数学原理其实是区间套定理，利用一系列包含探索目标值的区间［a1，b1］［a2，b2］…［an，bn］，当n→∞，区间长度bn-an→0，

即limn→∞an＝limn→∞bn＝A，则A为要求的目标值.

3.3 迭代序列求无理数的近似值

古巴比伦人掌握了许多计算方法，特别是开平方根的算法非常成熟.沪教版《普通高中教科书数学选择性必修第一册》在《数列》单元末就给出了用迭代序列求2的近似值的巴比伦算法.^［5］一般地，对于正数A，通过将x2＝A变形为x＝12x+Ax得到递推公式，再通过迭代运算求解x平方根的方法称为巴比伦算法.无理数是无限不循环小数，无法十分准确地刻画其值，所以就需要一个逐步准确的过程.巴比伦算法就是前文所述的一种对数学问题解法的逐次逼近方式.这种方式构造了一列能够收敛到问题所要求的无理数的解序列，从而逐步逼近无理数的精确值.对这种方法的本质和结果加以抽象和概括，便可得到近代分析数学中的不动点定理.

3.4 导数的研究

导数概念的引入，源于对变化率的研究.现实世界中的运动现象往往是“变速运动”，也就是说变化率会随着时间的变化而变化，那么该如何刻画变速运动？基本的想法是用一个小区间内的平均速度去逼近某个指定时刻的瞬时速度，用均匀变化率去逼近不均匀变化率，从而引出了函数在一点处的导数定义.因此，导数的本质是瞬时变化率，是区间越来越小时的瞬时变化情况.导数的几何意义是函数在某点处切线的斜率，沪教版《普通高中教科书数学选择性必修第二册》是通过曲线段PQ取得越来越短，即点Q越来越靠近点P时，割线PQ趋近于一条确定的直线来定义切线的.^［6］切线的定义中有三处体现了逐步逼近，一是曲线段PQ长度无限逼近零，二是动点Q向切点P无限逼近，三是割线向切线无限逼近.导数定义和切线定义蕴含了深刻的极限思想，导数中极限思想与方法的运用正是一种逐次逼近原则的推动结果.

3.5 无穷等比数列各项和

沪教版《普通高中教科书数学选择性必修第一册》在《数列》单元中还增加了无穷等比数列各项和的内容：以a为首项、q为公比的等比数列，当公比0lt;｜q｜lt;1时，有+∞i＝1aq^i-1＝a1-q.^［7］事实上，在数学分析中，给定数列a1，a2，a3，…，an，…，把其中的各项依次用加号连接起来的和式a1+a2+…+an+…称为无穷级数，Sn＝a1+a2+…+an称为级数的n次部分和（简称部分和），因此无穷等比数列各项和是用部分和逼近各项和，用有限逐步逼近无限.在逐次逼近原则的指导下，研究级数的收敛问题以及收敛时它的和是什么，就归结为讨论级数的部分和、数列的收敛问题以及它的极限值是什么.

4 逐次逼近原则的育人价值

4.1 激发创新思维能力

在利用逐次逼近原则解决与原问题紧密联系的问题的过程中，由于所经历的道路艰难、探索的途径迂回，往往伴随着产生了一些新的理论和方法，如在对哥德巴赫猜想的证明和探索过程中，就创造了许多新的数学理论和方法.因此，逐次逼近原则有利于创造性思维发挥作用，提升学生的创新实践能力，促使学生不断进步.

4.2 培养循序渐进意识

从逐步逼近原则看数学解题，很多时候我们无法正面、直接、快速地解决问题，因此不得不一步步地推进问题的解答，可以说，数学解题本来就是一步步推进的.同样地，为了完成某个既定的目标，我们首先要明确目标，然后循序渐进地达成目标，逐次逼近的意识不仅仅是一种解题意识，也是一种实现目标的意识.

4.3 提升坚韧不拔品质

逐次逼近原则的意义还在于个体能够自主地利用掌握的基础知识、基本技能和基本思想方法，基于以往的实践经验，有条理地、努力地、锲而不舍地去解决问题.在逐次逼近问题的答案的过程中，必定会有挫折和失败，因此要求实践者有坚忍不拔的品质.逐次逼近原则是一种观念，一种思维方式，更是一种进取精神.

参考文献

［1］米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.上海：华东师范大学出版社，2019.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］张奠宙，过伯祥，方均斌，等.数学方法论稿（修订版）［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［4］李明振.数学方法与解题研究［M］.上海：上海科技教育出版社，2002.

［5］［7］上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织.普通高中教科书数学选择性必修第一册［M］.上海：上海教育出版社，2020.

［6］上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织.普通高中教科书数学选择性必修第二册［M］.上海：上海教育出版社，2020.