中学不等式的常用证明方法

江小灵

摘 要：论文从高一必修（5）的教材出发，针对高中数学中的不等式问题，重点归纳并介绍了5种证明不等式的方法，分别是比较法、分析法、综合法、换元法、函数法、并通过举例进一步加强对各种方法的理解。

关键词：不等式;综合法;比较法;分析法

一、引言

不等式是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具，在解决最优优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，。中学不等式的问题主要有两大类，一类是含未知数的不等式的求解问题;另一类就是不等式的证明问题。纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。由于不等式的形式各异， 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活因此不等式的证明是中学数学的难点之一。

二、不等式的证明方法

不等式的证明方法有10种之多，限于篇幅，本文重点介绍比较法、分析法、综合法、换元法、函数法这五种方法。

1、比较法证明不等式

定义：就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过

“，，;或，，”

来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

比较法证明不等式的思路：一般对于多项式类和分式类的用作差比较法，对于含有幂指数类的用作商比较法.作差时差值与0比较，作商时商与1比较。即：

（1）作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小。

（2）作差比较法-----要证明a>b，只要证明a-b>0。“作差法”的一般步骤是：①作差;②变形;③判断符号;④得出结论。

（3）作商比较法---已知a，b都是正数，要证明a>b，只要证明a/b>1。两式均为单项式且均为正时，用商比比较好。

2、分析法证明不等式

分析法是证明不等式时的一种常用基本方法，在证题不知从何下手时，有时可以运用分析法而获得解决。在“执果索因”递推过程中，要学会经常小结常用技巧（通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母、乘方、开方）。

定义：分析法证明不等式：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

分析法的证明思路：从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

例5：求证：.

3、综合法证明不等式

定义：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法证明不等式的思路：了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式。由已知逐步逼向未知，其中充分利用已知条件、公理及不等式的性质。定理1 如果，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）.

证明：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，

当且仅当a=b时取等号。

所以a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）.

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）.

证明：∵a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc，

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac），

=（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]≥0，

∴ a3+b3+c3≥3abc.

很明显，当且仅当a=b=c时取等号.

4、换元法证明不等式

定义：将不等式中的变量作适当代换，使不等式得到证明，这种证明方法叫做不等式证明中的换元法。常见换元手段有“三角换元法”和“代数换元法”.其中三角换元法常用的公式有：

及。

一般地，已知中含有或时，可以考虑作“”代换，代换时要注意新的变量与原来的变量范围一致。

5、函数法证明不等式

定义：就是指根据函数的单调性证明不等式的方法。

函数法证明不等式的思路：用函数法证明不等式，难点在如何构造函数上，而且所构造的函数必须是单调函数，解决这个问题的关键是建立初等函数模型与不等式的“外形”的对应关系。.