万变不离“宗” 殊“图”也同归

摘要：世上万事万物都在不断变化，但变化中又相互联系.数学教学也是如此，我们既要研究其变式，又要探讨其解题模型，从而寻找其解决方法.所谓万变不离其宗，对数学而言，既要通过变式训练思维，也要抓其“宗”，让殊“图”也同归.本文中以一道题作为引例，尝试改变其条件形成变式，并探究其解法，同时也探究变式背后之“宗”及解法.

关键词：变式；解直角三角形；转化思想；实际问题

解直角三角形的实际应用比较广泛，在平时练习及考试中出现的几率较大.将解直角三角形应用于实际问题中，就是把实际问题转化为解直角三角形问题.虽然题目条件、解题过程等不同，但方法及题中蕴含的数学思想类似.在解题时，只要紧扣这一“宗”，就能从容应对各种形式的变式.

1 引例

小亮和小强相约去登山，如图1所示，小亮从北坡山脚C处出发，以24 m/min的速度攀登，同时小强从南坡山脚B处出发.已知北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240 m，南坡的坡角是45°.问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A？（将山路AB，AC看成线段.）

分析：本题中的△ABC不是直角三角形，所以需先过点A作BC的垂线，垂足为D，将原图形构造成两个直角三角形，然后根据坡度、坡长解两个直角三角形，最后计算出小强从南坡攀登的速度.

解：过点A作BC的垂线，垂足为D，如图2所示.

根据题意，可得

tan C=13=33.

∴∠C=30°.

在Rt△ADC中，AC=2AD，且AC=240 m，

∴AD=120 m.

在Rt△ADB中，∠B=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形.

∴AB=2AD.

∴AB=1202m.

∴1202÷（240÷24）=122（m/min）.

答：小强以122m/min的速度攀登，才能和小亮同时到达山顶A.

2 变式

2.1 变式一：将图形平移

经过作辅助线AD后，原来非特殊的△ABC转变成了两个特殊三角形——直角三角形，使得原来的问题转化成了解直角三角形.如果将构造出的两个直角三角形向两端平移，会出现怎样的变式？这样的问题又该如何解决呢？不妨看下面这道题：

例1 某过街天桥的设计图是梯形ABCD，如图3所示，桥面DC与地面AB平行，DC=62 m，AB=88 m.左斜面AD与地面AB的夹角为23°，右斜面BC与地面AB的夹角为30°，立柱DE⊥AB于点E，立柱CF⊥AB于点F，求桥面DC与地面AB之间的距离（精确到0.1 m）.

分析：本题与引例非常相似，同样是在两个直角三角形中解决问题.首先，在左右两个直角三角形中分别表示出AE和BF；然后，证得CD=EF，DE=CF；最后，将AE，BF和DC合并成一条线段AB，利用AB的长即可求出桥面DC与地面AB之间的距离.

解：在Rt△AED中，∠A=23°，

∴tan 23°=DEAE.

∴AE=DEtan 23°.

在Rt△CFB中，∠B=30°，

∴tan 30°=CFFB.

∴FB=CFtan 30°.

∵CF⊥AB，DE⊥AB，且AB∥CD，

∴EF=CD，DE=CF.

∵AE+EF+FB=AB=88，

∴DEtan 23°+62+CFtan 30°=88.

即DEtan 23°+62+DEtan 30°=88.

解之，得DE≈6.4（m）.

答：桥面DC与地面AB之间的距离约为6.4 m.

从图形变换的角度来看，其实本题只是在引例的基础上将构造出的两个直角三角形分别向左、右平移了一段距离.其解法与引例类似，并且都利用了转化思想.

2.2 变式二：将图形翻折

引例通过作辅助线形成了两个直角三角形，变式一中将左右两个直角三角形平移，那么是否可以将它们其中一个翻折呢？不妨看下面这道题：

例2 如图4所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向步行20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该古塔BD的高度（结果精确到0.1 m）.

分析：两次测得仰角，两次构造出直角三角形.所以，根据题意应两次在直角三角形中进行计算，最后可求出古塔BD的高度.

解：根据题意，可知∠BAD=45°，∠BCD=30°，

AC=20.

在Rt△ABD中，不妨设AB=BD=x.

所以在Rt△ABC中，BC=（20+x），且

tan 30°=33=x20+x.

解之，得x=203－1（m）.

即BD≈27.3（m）.

答：该古塔BD的高度约为27.3 m.

从图形变换的角度来看，本题是在引例的基础上变化而得，因为只需将其中一个直角三角形通过翻折，就可得到引例中的图形.在解法上，与引例、变式一的解法类似，都利用了转化思想.事实上，这类问题都可以利用转化思想求解.

3 总结与反思

通过变式，教师不仅可以摆脱就题讲题的束缚，而且可以让学生接触更多的题型，同时也可以让他们的数学思维得到训练[1].尤其是解决该类问题所用的转化思想，是初中数学当中非常重要的方法与技巧，也是数学素养的重要组成部分.笔者建议教师不妨继续组织学生对引例进行变式，让学生深入思考转化思想在这类问题中的应用.如该类问题还可以进行如下变式：

综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度.如图5所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10 m.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50 m到达N点，测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08.）

本题初看上去和上述几个问题无关，但是过点F作EM的平行线FG后，就可以得到变式二的图形.再将另一个直角三角形翻折，就回到了引例中.所以，本题是引例、变式一、变式二的综合，更加灵活.

综上所述，利用变式训练学生的数学思维，是当前很多教师采用的教学方法.一方面可让学生尝试命制变式题，另一方面可让学生了解变式的思路，进而抓住“源头”，找到解题的方法[2].这样一来，对学生思维能力的提升极具帮助.

参考文献：

[1]李伟.一“法”当关，万题皆开——例析《解直角三角形》题型的通解及其变式[J].考试（中考版），2012（11）：24-25.

[2]邓革周.一个基本测量图的变式及应用[J].初中生，2011（3）：24-29.