基本模型在复习教学中的应用与思考

复习课是数学教学的重要课型之一，其是巩固知识、强化技能、完善认知结构的重要途径.在复习教学中，教师应结合教学内容选择不同的教学方法，以此通过教学方法的多样化来激活课堂，提高课堂教学收益.而利用“基本模型”进行综合性复习，其有利于加深知识的理解，帮助学生建构清晰的知识网络，促进学生解决能力和数学素养的提升，是几何学习的一种重要方法.在复习“图形的相似”时，笔者以“A字”“Z字”“反A字”“反Z字”模型为依托，开设专题复习，取得了较好的教学效果.现将教学设计呈现给大家.

1 教学设计

1.1 认识模型

1.1.1 提炼基本模型

例1 如图1，已知DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC.

例1较为简单，学生可以轻松地完成证明.证明后，教师引导学生进行归纳总结，由此得到如下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，则所截三角形与原三角形相似.

设计意图：例1是根据教材内容改编的，其目的是引导学生回归教材，回顾相似中“A字”“Z字”两大基本模型，揭示本课研究的主题.

1.1.2 变式探索

问题1 简述例1证明过程.

问题2 图形变换的类型有哪几种？将图1进行怎么的变换也会得到∠1=∠2？变换后（如图2），是否会出现相似三角形呢？若相似，请给出证明过程.

设计意图：在原有基本模型的基础上变一变，引申出“反A字”“反Z字”模型，丰富学生的认知，为应用基本模型解决问题打下坚实的基础.在此活动中，充分体现“源于教材，高于教材”的用心，激活了学生的数学思维.

1.2 例题解析

例2 在△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中虚线剪开，则剪开的三角形与原三角形不相似的是（" ）.

例3 如图3，AB，CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，求AC的长.

设计意图：例2是一道基础题，其所考查的是学生对基本模型的掌握情况.同时通过思考与辨析可以提高学生的识图能力，帮助学生认清基本模型的特点，从而为后续研究复杂的图形问题创造条件.例3是一道典型练习，具有一定的综合性，其从平行线出发，融合了“A字”和“Z字”两种模型.通过以上问题的解决，学生能够感悟基本模型在解题中的重要性，为应用模型解决问题提供一定的方法和思路，促进基本模型的深化和解决问题能力的提升.

1.3 巩固练习

练习1 如图4，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.

练习2 如图5，在△ABC中，AC=8 cm，BC=16 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AC边向点C运动，点Q从点C出发，以2 cm/s的速度沿CB边向点B运动.假如P与Q同时出发，t（单位：s）表示移动时间（0≤t≤8），问当t为何值时，△PQC与ABC相似？

教师让学生独立求解，对个别学生进行单独的指导.练习2是一道动点试题，部分学生在面对动点问题时容易出现畏难情绪，进而在解题时望而却步.教师鼓励学生以小组合作的方式来完成，让学生相互启发、相互补充，以此通过合作学习突破动点这一难点问题，提高学生解题信心.

设计意图：练习设计遵循由浅入深、由易到难的设计原则，符合学生的认知发展规律.解题过程中，教师可以根据学生的实际情况提出不同的要求，以此保护学生学习的积极性，提升学生解题信心.

以上三例题和道练习比较典型，覆盖面广，既涉及基本定理的阐述，又研究了“A字”“Z字”等基本模型，同时又有动点问题引起的分类讨论，可以很好地考查学生的综合应用能力.从学生练习反馈来看，虽然处理动点问题时，个别学生还存在一定的困难，但是绝大多数学生能够根据基本模型快速地找到解题的突破口.可见，学生对以上基本模型已经有了深刻的认识，为复杂相似问题的解决创造了条件.

1.4 拓展提升

例4 已知AD是△ABC的角平分线，圆O经过A，B，D三点.过点B作BE∥AD，交圆O于点E，连接ED，如图6.

（1）求证：ED∥AC；

（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S21-16S2+4=0，求△ABC的面积.

设计意图：此题涉及圆、三角形相似等知识，具有一定难度.从题设信息来看，似乎很难发现相似的身影，所以学生可能很难联想到基本模型，进而陷入迷茫.其实图7中隐含着“Z字”基本模型，若学生能够抽象出“Z字”基本模型，那么在求面积时就可以利用相似来寻找解决问题的突破口，从而轻松地解决问题.

2 教学反思

2.1 精挑细选，紧扣主题

在本课教学中，教师将“A字”“Z字”等基本模型相融合形成专题，所选题目紧扣基本模型，让学生通过经历观察、抽象、应用等活动找到其共同特点和解决办法，提高学生数学应用能力.另外，“A字”“Z字”在相似中的应用是中考的重要考点，若学生能够理解和掌握，并将其应用在解题中，将有利于解题效率和数学成绩的提升.

2.2 聚焦典型问题，体现模型本质

周知，专题复习不需要做到面面俱到，因此复习课的例题选择不用全面宽泛，应做到重点突出，揭示本质.例1和例2比较基础，但是其针对性强，充分体现模型本质.要知道，只有抓住问题的本质，掌握问题的核心，才能拥有以不变应万变的能力，才能提高数学应用水平.例2虽然难度不大，但是非常典型，通过问题的解决可以提高学生的举一反三能力，提高复习效率.

2.3 抓住问题主线，揭示内在联系

复习教学中，部分教师常常为了追求难而设计一些综合性较强的问题，以期借助综合性练习打通知识间的逻辑联系，提高学生的解题能力.不过，对于一些基础较弱的学生来讲，大量的综合练习可能会让他们产生畏难情绪，进而影响学习信心.因此，在复习教学中，教师不妨从考查单一知识的问题入手，通过一些“小而精”的练习将零散的知识串在一起，这样既不会给学生造成心理负担，又能揭示问题之间的内在逻辑关系，形成清晰的认知体系.例如，在巩固练习阶段，教师设计的题目难度较小，考查知识点比较单一，不过问题之中都存在基本模型，这样以基本模型为主线，帮助学生找到了同类问题的解决方法，实现了知识的融会贯通.

2.4 贯彻以生为主，成就精彩生成

在复习课堂上，教师应贯彻以生为主的教学理念，将课堂还给学生，并预留充足的时间让学生回顾、思考、探索、梳理，以此逐步优化个体的认知结构，提高学生解决问题的能力.在本课教学中，教师根据教学实际精心挑选练习，并预留充足的时间让学生提炼方法、总结经验，逐步发现解决此类问题的一般思想方法，以此让学生深刻理解和掌握知识，从而成就精彩生成.

总之，“基本模型”其结构简洁且有深度，复习教学对锻炼学生数学思维，以及帮助学生建构知识体系大有裨益，因此教学中应合理引入，以此来提升课堂效率和学习效率.