从教材“母题”谈变式及思维拓展

摘要：“母题”即原型题，往往是试卷命题的基础，因为将“母题”进行变式后就形成了一道新题.近些年来，“课本再现和实践探究题”在中考试卷中出现的次数越来越多，无形中指引教师要朝着这一新的方向研究.本文中从圆的一道“母题”出发，谈一谈如何借助“母题”进行变式，从而达到拓展学生思维、训练发散性思维的目的.

关键词：“母题”；变式；思维拓展；发散性思维

在教学过程中，我们经常可以发现这样的现象——试卷或练习中的题目可以在课本中找到原型，这个原型就是“母题”.“母题”对变式的设计及思维拓展等都有重要作用，不仅能强化学生的知识基础，也能挖掘并发展学生的潜能，不断帮助学生提高解决问题的能力.本文中以北师大版教材为例，谈一谈如何利用“母题”进行变式及思维拓展.

1 “母题”的重要作用

首先，“母题”体现了教材的基础性.教材是教学的主要载体，通过解答练习题，学生既可以学习基础知识，又能积累基本解题经验[1].如果“母题”较难，不利于学生强化与巩固基础知识.所以，教材上的“母题”都比较基础，学生的辐射面更广.

其次，“母题”是命题或变式的基础.在命制试卷时，往往会借助“母题”.例如，江西2021年和2023年的中考试卷中，都出现了“课本再现和实践探究题”，这类题就是通过“母题”变式而来.所以，“母题”是命题或变式的基础.

最后，“母题”体现了教学目标和数学素养.因为“母题”都经过了专家的精心挑选和设计，既能帮助教师强化课堂教学，又能让学生通过解“母题”巩固课堂所学，有助于形成和发展数学素养.

2 “母题”与变式间的关系

“母题”是变式的基础，变式是“母题”的延申，这是对“母题”和变式之间的关系相对简单的概括.这主要是因为变式往往需在“母题”的基础上完成，而与变式相关的内容“母题”中可能不具备，是“母题”的补充或延申.例如，北师大版九年级下册教材中第84页有这样一道“母题”：

如图1，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.

如果将条件“∠E=40°，∠F=60°”改变为“角平分线”或“垂直平分线”，那么这些新的条件就是“母题”的补充或延伸.

这种补充或延伸体现在三个方面：

（1）知识的补充

“母题”中并未出现角平分线或垂

直平分线，自然学生在解题时不会应用这两个知识点.而一旦“母题”变式中出现这两个条件，那么势必会增加与这两个条件有关的知识点.所以，变式是“母题”的知识的补充.

（2）技法的补充

在“母题”中，解题方法可能比较简单，但变式中的解题方法可能更丰富、更灵活，是“母题”的一种技法的补充.

（3）数学思想的补充

“母题”中蕴含的数学思想，可能与变式中蕴含的数学思想不同，彼此形成互补，共同促进学生数学思想的全面形成与发展[2].这也是“母题”与变式间相辅相成的关系.

3 例展“母题”变式

既然“母题”和变式间存在如此重要的关系，同时“母题”对变式的设计及思维拓展发挥着重要作用，那么，如何进行“母题”变式呢？接下来，结合北师大版教材中第84页的一道“母题”进行课堂例析.

“母题”呈现如上，先来看看其解法：

解：如图2，连接EF.

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，

∴∠ECD=∠A.

∵∠1+∠2=∠ECD，

∴∠1+∠2=∠A.

∵∠1+∠2+∠A+∠AEB+∠AFD=180°，

∠AEB=40°，∠AFD=60°，

∴40°+60°+2∠A=180°.

∴∠A=40°.

从解题过程中可看到，本题主要应用了“圆内接四边形的对角互补”“三角形的外角”“三角形的内角和”等知识点.

接下来，可按如下思路变式.

3.1 变式一：角平分线+证明线段相等

正如上文提到，将角的大小换成角平分线，就实现了变式，得到如下变式一：

如图3所示，四边形ABCD是圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K.

求证：EH=EK.

分析题目不难发现，条件与“母题”类似，通过改变条件进行变式.接下来，看看变式一的证明过程.

证明：

∵FH为∠AFB的平分线，

∴∠AFH=∠BFH.

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠FCK=∠A.

∴∠AFH+∠A=∠BFH+∠FCK.

∴∠EHK=∠EKH.

∴EH=EK.

对比证明过程可发现，同样利用了“圆内接四边形的对角互补”“三角形的外角”等知识点，与“母题”有一定的类似.而且角平分线的出现对“母题”蕴含的知识点、解法等都进行了一定补充，是“母题”的拓展和延伸.

3.2 变式二：角平分线+证明垂直

既然引入角平分线后可证明两条线段相等，那么是否可以证明两条线段互相垂直呢？根据这样的思路，可得到如下变式二：

如图4，四边形ABCD是圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的角平分线交于点P.

求证：PE⊥PF.

本题首先在变式一的基础将一个角的角平分线变成了两个角的角平分线，从“母题”的求角度变为证明线段相等，再变为证明两条线段互相垂直.这种变式，既发散了思维，又迁移了知识和能力.

其实，《义务教育数学新课程标准（2022年版）》中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”，所以数学教学离不开例题、习题，如何选择例题、习题并挖掘教材潜在的智能价值、充分展示教学功能就显得尤为重要[3].

3.3 变式三：垂线+证明相似

在母题中，DF和AE的位置关系及BE与AB的位置关系皆未知.那么，此时可改变原题条件，得到如下变式三：

如图1，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，且∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°.你能找到图中的相似三角形吗？若能，请选其中一对尝试证明.

该变式是一道开放题，对培养学生的发散性思维非常有利.分析题意发现，由于∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，因此可得∠A=50°，∠F=40°.于是能得到△ABE∽△CDE∽△CBF.根据题意，学生只需选择其中两个三角形证明相似即可.

解：能，△ABE∽△CDE，理由如下.

∵∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，

∴∠A=50°，∠DCE=50°.

∴△ABE∽△CDE.

本变式的条件及解题过程虽然都非常简单，但作为一道基础题照顾到了后进生，调动了后进生参与课堂教学的积极性.事实上，变式教学不应成为尖子生的专享，教师更应该照顾到全班学生.对于后进生，也应积极参与到变式教学中.

4 结束语

通过对“母题”不同角度、不同层次的变式，可以实现一题多变，从而让更多知识点产生更深刻、更紧密的联系.这样一来，不仅学生加深了对知识的理解，而且使知识学习变得更系统化，更帮助学生克服了思维定势，让思维得到了发散.

参考文献：

[1]曾凯.以旧“唤”新，品味轴对称——一道教材母题的思考、变式及拓展应用[J].基础教育论坛，2017（13）：50-51.

[2]程聪聪.小改变 大不同——谈课本习题的渐变式探究[J].中小学数学（初中版），2014（5）：33-34.

[3]郑有元.借“题”发挥 拓展思维——一组教材习题的变式与拓展探究[J].中学数学教学参考，2022（24）：41-42.