《线性代数》与物流专业融合教学案例设计

张晓华　卢冠明　王娟

摘 要：为了达到数学课服务专业课的目的，本文以物流管理专业为例，设计齐次线性方程组解的结构的教学方案，将思政元素有机地浸润于课程内容中，通过典型的专业案例分析，让学生掌握齐次线性方程组解法的同时，培养了学生解决专业问题的数学思想，达到学以致用的目的.

关键词：齐次线性方程组；基础解系；物流共享

2020年5月教育部发布了《高等学校课程思政建设指导纲要》（以下简称《纲要》），其中指出“要全面推进高校课程思政建设，发挥好每门课程的育人作用，提高高校人才培养质量.”《纲要》对推进高校课程思政建设进行了整体设计，其中高等职业学校根据高职专业分类和课程设置情况，分类推进.《线性代数》是高职院校经济管理专业的一门重要基础课程，是学习后继课程的工具.在思政教改项目中，我们深挖教学内容和教学案例，将思政元素有机地浸润到课程内容中.为了实现基础课服务专业课的目的，我们与专业课教师研讨，增加专业案例，让学生达到学以致用的目的.

以物流管理专业为例，在物流公司的运营和管理等过程中，经常会遇到需求预测、路径规划、库存管理、约束优化、风险管理以及数据分析等问题.《线性代数》在解决这些问题的过程中发挥着重要的作用.如何在《线性代数》的授课环节中体现物流管理的专业性，本文以齐次线性方程组的解为例展开介绍.

1 总体目标

1.1 知识目标

通过课程学习，学生能够掌握齐次线性方程组基础解系的求法，以及王卿文教授提出的基础解系的新求法，了解物流共享的概念.

1.2 能力目标

通过学习研讨，学生能够利用齐次线性方程组的理论建立物流共享模式下，各物流公司定价的模型，解决专业问题；学会利用数学软件求解方程组的解.

1.3 思政目标

通过介绍王卿文教授发现的基础解系的新解法，增强学生的民族自信心；通过介绍物流行业高质量发展，增强学生的职业归属感；意识到物流行业高速发展离不开公路、铁路等基础建设的支撑，增强学生实现中华民族伟大复兴的使命感.

2 教学过程

2.1 课前

职教云平台发布作业：尝试求解下列齐次线性方程组

求出上述齐次线性方程组后，请仔细观察该齐次线性方程组的解，回答下列问题：

Q1：该齐次线性方程组的解是否可以写成向量的形式，如果可以的话，请将其写成向量形式；

Q2：向量X₁＝（－2，1，1，0）是否是該齐次线性方程组的解？

Q3：向量X₂＝（2，－1，0，1）是否是该齐次线性方程组的解？

Q4：向量X₁＝（－2，1，1，0）和向量X₂＝（2，－1，0，1）是什么关系？

Q5：向量3X₁，5X₂是否是该齐次线性方程组的解，向量X₁＋2X₂是否是该齐次线性方程组的解？

Q6：尝试给出未知量个数、系数矩阵的秩、自由变量个数之间的关系.

2.2 课中

评价作业、展示优秀：教师评价小组作业，优秀作业小组组长上台讲解.

归纳总结、新知学习：由这六个问题的答案，教师归纳总结并给出齐次线性方程组的性质，由齐次线性方程组的性质给出基础解系的定义，并给出齐次线性方程组的解法.

案例分析、学以致用：双十一各大购物平台打出一年中最优惠的价格，激发了我们的购买欲，如今的双十一已经成为了全民狂欢日.从2018年双十一，单日物流订单量首次突破了10亿.一天10亿包裹单，这是人类历史上从未有过的货物大迁徙，也是全球物流业从未经历过的包裹奇迹.我校学生连续多年在实训室见证了这一奇迹.从一天26万单爆仓到一天10亿单，作为物流专业的我们，有没有想过，是什么让中国物流“春运”洪峰平静如水地度过的呢？答案是国家智能物流骨干网的支撑作用.骨干网覆盖全国，采用智能化、自动化、信息化的技术手段，为物流企业提供便利、高效、安全的物流服务.同时，骨干网具有开放共享的发展方式，符合国家高质量发展的精神.

现在假设有三家物流公司L₁，L₂，L₃.三家物流公司同意彼此运输工具实行资源共享，由于运输工具与成本不同，他们达成如下协议：

（1）每个公司总共工作10天（包括给自己公司运输在内）；

（2）根据测算，每个公司的日收入在30至40万元；

（3）每个公司的日收入使得每个公司的总收入与总支出相等.

请计算每个公司应得的日收入.

这是三家公司运输工具工作情况，表中的列，表示其中一家物流公司的交通工具在三家物流公司的工作情况.表中的行，表示三家物流公司的运输工具在某家物流公司的工作情况.

小组讨论，建立模型：等量关系为每个公司的总支出与总收入相等，建模难度适中.通过小组讨论，老师启发，都能成功建立模型.请率先完成建模的小组代表上台讲解.模型如下，

设L₁，L₂，L₃三家公司的日收入分别为x₁，x₂，x₃，公司支出为工资，由总收入与总支出相等，建立方程组得

求解结果为

由于每个公司的日收入在30至40万元，可以选择C＝36，这样L₁，L₂，L₃三家物流公司的日收入分别为31万元、32万元、36万元.

为了让学生对方程组的解有直观的认识，在这里鼓励学生使用GeoGebra模拟该方程组的解，如下，

该齐次线性方程组未知量个数为3，系数矩阵的秩为2，自由变量个数为1，系数矩阵的秩小于未知量个数，由线性方程组解的判定可知，该方程组有无穷多解.从图中可以看出该方程组的解为空间中的一条直线.

课程思政、树立自信：介绍求解齐次线性方程组基础解系的一种新方法，被称为求解齐次线性方程组基础解系最简單的方法.该方法是上海大学王卿文教授于上世纪90年代发现的，并将该方法编入自己编写的教材《线性代数核心思想及应用》.该方法与传统方法略有不同，具体步骤如下：

第一步，将方程系数按列排列，后面加同型的单位矩阵，

第二步，对矩阵进行行变换，将其化成行阶梯型，

第三步，观察后三列，即之前为单位阵的部分.后n－r行就是齐次线性方程组的一个基础解系.

与传统的解法相比，该方法不需要化成行最简型，简化了步骤.值得我们骄傲的是，这种方法是中国人发现的.我们所学的知识本就是发展的，经历了几百年沉淀的数学内容仍然可以改进！日常的学习中，我们要善于思考，勤于探索，勇于创新.

练习巩固、知识拓展：如果将上述例题中物流公司增加至九家，分别是L_i（i＝1，…，9）.这九家物流公司同意彼此实行资源共享，由于运输工具与成本不同，他们达成如下协议：

（1）每个公司总共工作25天（包括给自己公司运输在内）；

（2）根据测算，每个公司的日收入在20至40万元；

（3）每个公司的日收入使得每个公司的总收入与总支出相等.

请计算每个公司应得的日收入.

下表为九家公司运输工具工作情况：

小组讨论、建立模型：该模型与之前的模型类似，完成度较好，但是由于物流公司较多，手工求解不现实，启发学生用数学软件Matlab求解.请完成度较好的小组代表展示小组讨论结果，模型如下，

设L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分别为x_i（i＝1，…，9），各个公司支出为工资，由总收入与总支出相等，建立方程组得

在Matlab命令窗口中输入系数矩阵，利用null命令求解，得出结果

由于每个公司的日收入在20至40万元，可以选择C＝21，这样L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分别约为29.4万元、31.7万元、36.2万元、34.3万元、32.7万元、23.6万元、38.2万元、28.9万元和21万元.

思政元素、感恩前行：中国物流行业的高质量发展离不开公路、铁路、航空建设的支撑.不屈不挠的中国人逢山开路、遇水架桥，为中国物流业的高质量发展打下了坚实的基础！

内容总结：

（1）齐次线性方程组基础解系的求法.

（2）齐次线性方程组基础解系的最简单求法.

（3）了解物流共享模式下，各物流公司定价问题.

布置任务：

（1）观看课程资源库，及时复习本节课内容.

（2）完成课后指定作业.

（3）预习非齐次线性方程组解的结构.

2.3 课后

（1）推送作业.

（2）线上解答学生问题.

（3）反思改进.

本节课课前布置任务，有效地引导学生小组讨论，互帮互助，共同探讨齐次线性方程组解的结构.其中发现个别学生积极性较差，依赖性较强，后面分组时需要考虑个体差异及同学间关系，充分调动学生讨论的积极性.课中点评小组作业，优秀代表讲解，激发学生的荣誉感及学习兴趣.学生对于物流共享案例很感兴趣，通过小组讨论建模顺利.数形结合，加深学生对方程组解的理解.王卿文教授发现齐次线性方程组的简单解法激发了学生的民族自豪感及创新意识.对于未知量多的方程组求解，启发学生用数学软件求解.个别学生数学软件使用不熟练，需要课后练习.课后主要线上答疑，解决学生在做题过程中发现问题.

3 结语

本次课结合专业案例，以小组协作的形式探究式地学习了齐次线性方程组解的结构.浸润式地融入了思政元素，包括王卿文教授发现基础解系的最简单解法以及中国基建的发展为中国物流的高质量发展提供了强有力的支撑.这些思政案例极大地激励了学生的民族自豪感及职业归属感，本次课有效地达到了基础课服务专业课的目的.

参考文献

［1］王卿文.线性代数核心思想及应用［M］.北京：科学出版社，2012．

［2］王卿文，张琴，杨建生.遵循“两性一度”原则，设计线性代数课程教学——以齐次线性方程组为例［J］.高等数学研究，2022，25（4）：89--92．

［3］周儒省，柴华金.融合案例的线性代数课程教学实践［J］.高师理科学刊，2023，43（9）：70--75．

［4］加春燕.高职数学“五动”信息化教学设计与实施——以“数据拟合”模块为例［J］.北京工业职业技术学报，2022，21（2）：103--107．