以问题为导向的深度学习

赵庆准　冯莉琼

摘 要：三新背景下，满堂灌的传统教学模式已经很难适应新高考，随着新课改的逐步推进，课堂上需要学生主动思考与积极参与，以问题为抓手，开展课堂教学，是培养学生学科核心素养的有效手段，本文以“正弦函数、余弦函数的图象”为例，以问题为导向进行教学，促进学生思维的转化与发展，走向深度学习.

关键词：深度学习；正弦函数；余弦函数；问题导向

1 问题提出

以问题为导向的深度学习，其目的是促进学生对知识的深度理解与吸收，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

现阶段的高中数学教学，教师的教育理念与教学能力有了一定的提高，但是在教学设计与课堂教学方面，显得比较随意、浅显、孤立，这就使得学生对新知的学习浮于浅表，思维并没有得到提高.合理设计教学过程，以问题为中心，促进学生积极参与到学习中来，激发学生学习的兴趣和知识之间的迁移与应用，走向深度学习，是促进学生数学思维的发展，提高学生核心素养与解决问题能力的关键所在.教学过程中，问题的设计要有计划性、要科学合理，既能激发学生学习的积极性，还能提升学生对知识的深度理解.

笔者以高中数学“正弦函数、余弦函数的图象”为例，就以问题为导向的深度学习在高中数学教学中的具体应用进行实践与思考.

2 案例分析

2.1 教材内容

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对三角函数的图象提出要求：借助单位圆理解三角函数的定义，能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.依据课标要求，通过本节课的学习，能绘制正弦函数和余弦函数的图象，掌握正弦函数和余弦函数的基本特征，增强数形结合的能力.

正弦函数、余弦函数的图象选自《普通高中教科书数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节，三角函数是基本初等函数里重要的一员，既有其他基本初等函数的共同特征，同时又有自身个性化的性质（如周期性、对称性等）.三角函数既是刻画生活中周期现象问题的数学模型，又是后续学习三角函数性质的基础，在高中数学知识体系中具有承上启下的作用.

2.2 学生学情

本节课的主要内容是学会用“五点作图法”刻画正、余弦函数的图象，学生在学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的图象与性质后，对利用描点法画函数图象、研究函数的一般思路已经有了进一步的认识.同时，前面对三角函数的概念及诱导公式的学习，也从知识层面对本节课的学习做好了准备.但学生还可能在以下几个方面存在困惑：

（1）三角函数的定义与图象上任意一点之间的关系认识不到位，利用三角函数定义的几何意义绘制函数图象是学生的一大难点.如：如何准确画出正弦函数图象上任意一点（x₀，sin x₀）.

（2）余弦函数图象与正弦函数图象之间的平移关系理解不到位.如：作余弦函数图象时，不易联系诱导公式，利用图象变换得到图象.

因此在教学中借助信息技术，给学生呈现作图过程.作正弦函数的图象遵循从整体到局部，再从局部到整体，从特殊到一般的原则，整堂课以问题驱动教学，引导学生思考“利用单位圆中正弦函数的定义、弧长公式描出任意点（x₀，sin x₀）”，从而突破“借助单位圆，用描点法作y＝sin x，x∈［0，2π］的图象”这个难点.

2.3 教学目标

（1）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握绘制正弦函数图象的“五点作图法”.

（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解函数图象变换的思想^［1］.

（3）通過本节课的学习，体会数形结合思想，提升数学抽象、直观想象的核心素养与合作探究学习的能力.

2.4 教学重点及难点

（1）重点：正弦函数、余弦函数的图象.

（2）难点：如何得到正弦函数的图象.

2.5 教学过程

让同学们课前准备好本节课所需材料：塑料瓶、长方形白纸板、细线、支架.

活动1：小组合作完成该活动.请同学们将塑料瓶的底部扎出一个小孔，使其成为一个漏斗，挂在架子上，一个简易的单摆就形成了（如图1所示），在漏斗下方放一块白纸板，在板的中间画一条虚线代表坐标系的横轴.把漏斗装入细沙并拉离平衡位置，让其自由摆动，同时匀速拉动白色纸板，在纸板上就会得到一条曲线，在物理中，把它叫做简谐运动，并将其抽象出来，就可以得到如图2的曲线，我们把它叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.

【设计意图】简谐运动实验的开展，对学生来说是一个比较新颖的探究过程，既可以让学生对正弦曲线、余弦曲线有一个直观形象的了解，激发学生探索新知的欲望，引出本节课的内容，还能加强学科之间的联系，让学生了解数学并不是“无用”的，数学来源于生活，服务于生活，提高学生的直观想象能力.

师：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，根据之前我们研究函数的思路，请同学们思考我们应该怎样研究三角函数？研究什么问题？

生：研究一个新的函数，应从以下三个方面进行，函数的定义—函数的图象—函数的性质.

师：这位同学回答得很好，前面我们学习了三角函数的定义，刚刚在活动中我们又了解了简谐运动的大致图象，本节课我们将学习如何绘制正弦函数、余弦函数的图象.

追问：（1）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？（2）绘制一个新函数图象的基本步骤是什么？

生：我们可以通过列表、描点、连线，先画出y＝sin x在［0，2π］的图象，由诱导公式sin（α±2kπ）＝sin α，cos（α±2kπ）＝cos α可以发现，正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，最后通过平移得到y＝sin x在整个定义域R上的图象.

【设计意图】教师提出问题，学生进行思考并回答，体现教师为主导，学生为主体的教育理念.教师对学生的回答给予及时的评价与肯定，很大程度上鼓励了学生的自信心，增强了学生学习的积极性.让学生复习得出研究三角函数图象的思路和方法，为后面图象的探究做准备.

师：绘制正弦函数y＝sin x的图象，我们需要精准的确定点的坐标，请同学们思考在［0，2π］上如何精准地刻画出任意一点C的坐标呢？

活动2：为解决如何精准地刻画出任意一点C的坐标这一问题，教师带领学生回顾三角函数的定义：在单位圆中，点C的横坐标x₀实质就是指以OA为始边，以OB为终边的角，即AOB＝x₀，如图3所示.过点B向x轴作垂线，垂足为M，则线段MB的长即为｜sin x₀｜，对于任意一个横坐标x₀，其纵坐标我们可以用几何方法精准描出.

【设计意图】教师引导学生，根据正弦函数的定义确定一个点C（x₀，sin x₀）的位置，降低学生对点C（x₀，sin x₀）的理解难度，为后续刻画其他点做准备，在这一环节中，学生以问题为导向，以活动任务为驱动，展开了一场师生共同参与的互动，能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于学生对新知进行深度思考.

在绘制函数图象上任意一点的过程中，如何在坐标系里确定横坐标x₀是这节课的一大难点.教师可以带领学生一同完成这一过程，用“手工细线缠绕”的方法找到弧AOB，再用一根没有弹性的细线，从原点出发，在x轴正方向上量出横坐标x₀的长度，即可得到横坐标x₀的位置，这一过程体现了“化曲为直”的化归思想与数形结合的思想.

活动3：类比指数函数、对数函数图象的画法，如何画出函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象？

师生活动：让学生大胆地动手实践，学生会出现以下两种情况，然后教师再进行指导与点评，和学生共同完成这一环节.

生甲：在区间［0，2π］内尽可能多地取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接

（如图4）.

生乙：在区间［0，2π］内取12等分，按照上述方法在坐标纸上逐一绘制，再用光滑的曲线连接（如图5）.

师生互动：根据学生完成情况，教师用几何画板展示上述两种绘图过程，让学生观察并思考，哪种方法更符合实际？为什么？（多媒体展示，让学生欣赏作图过程，体会作图的精确性）.

【设计意图】本节课的重点是画正弦函数的图象，从抽象的概念到具体图象的形成，既能培养学生的动手操作能力，增强学生学习的主体意识；又促进了学生数学知识的建构与数学思想方法的形成，培养学生善于思考、善于合作的良好学习习惯.

通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程，并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合^［2］，两种不同的画法让学生很容易想到画正弦函数的图象并不是点越多越好，而是要抓住关键的几个点，这给后续“五点作图法”的学习做了铺垫.

师：请同学们思考为什么要把圆12等分？其他等分可以吗？在精确度不是很高的情况下，确定正弦函数的图象，应重点抓住哪些关键点？至少需要哪几个点？

师生互动：引导学生观察图象，学生可以发现，在函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象上，（0，0），π2，1，（π，0），3π2，－1，（2π，0）这五个点對正弦函数形状的确定起着关键性作用.在坐标系中描出这五个点，根据图象的走势，再用平滑的曲线将其连接起来，即可得到函数图象，这种方法叫做“五点（作图）法”.

【设计意图】通过引导学生观察图象，归纳得出“五点作图法”在画正弦函数图象中的作用，这是本节课的一大重点，也是后续画任意一个三角函数图象的基础，应重点和学生强调三角函数的图象特征，培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.

师：根据函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象，请同学们画出正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.

师生互动：学生画图，教师予以指导和点评.终边相同的角有相同的三角函数值，所以只要将函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，让学生体会图象从部分到整体的变化过程，体会化复杂为简单的化归思想.

画出完整的图象以后，教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

师：请同学们思考正弦函数图象研究完了，如何研究余弦函数图象呢？

师生互动：在这个环节中有的学生会类比研究正弦函数图象的方法，利用描点法来刻画余弦函数的图象，教师应对学生给予充分的肯定，同时，引导学生猜想正弦函数与余弦函数之间的关系，自然而然引出前面所学的诱导公式，通过平移即可将正弦函数变成余弦函数.

生：通过诱导公式cos x＝sinx＋π2，可以实现两者之间的转化.

师：根据上述问题，思考正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象有什么关系？

生：根据诱导公式cos x＝sinx＋π2，我们把正弦函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度以后，即可得到余弦函数y＝cos x的图象.（教师用课件演示正弦曲线平移为余弦曲线的过程，如图6）.

追问：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？

活动4：教师可以先选择一个具体的点，和学生一起进行分析，然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证.

预设的答案：设（x₀，y₀）是函数y＝cos x图象上任意一点，则有y₀＝cos x₀＝sinx₀＋π2.

令x₀＋π2＝t₀，则y₀＝sin t₀，即在函数y＝sin x图象上有对应点（t₀，y₀）.

比较两个点（t₀，y₀）与（x₀，y₀）.因为x₀＋π2＝t₀，即x₀＝t₀－π2，

所以点（x₀，y₀）可以看作是点（t₀，y₀）向左平移π2个单位长度得到的，只要将函数y＝sin x图象上的点向左平移π2个单位长度可得到函数y＝cos x的图象，如图6所示.（余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线）

【设计意图】如何刻画余弦函数的图象，教材中是以一个探究的形式出现，根据学生学情和认知水平，笔者把教材中的探究问题分为两个问题，难度逐层增加，引导学生思考sin x和cos x的关系，并从解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，既符合学生的现阶段的认知，又可以激发学生通过图象变换得到余弦函数图象的探索欲望.同时用课件演示正弦曲线平移为余弦曲线的过程，使学生更好地掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系.

活动4的开展是对正弦函数与余弦函数图象平移结论的一个升华，让学生不仅从“形”的角度深刻感受到函数图象平移过程的动态美，而且还从“数”的角度认识到数学的严谨，是学生对知识进行迁移与应用的良好契机，促进了学生对知识的学习与理解，增强学生的深度思考与逻辑思维的转化能力.

师：类比正弦函数图象的五个关键点，找出余弦函数y＝cos x在区间［0，2π］上相应的五个关键点，如图7.

【设计意图】在学生熟悉图象特征后，引出余弦函数y＝cos x在区间［0，2π］上相应的五个关键点（0，1），π2，0，（π，－1），3π2，0，（2，1），在精确度要求不太高时，只要画出这五个关键点，余弦函数的图象就基本确定.

师：类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出y＝cos x，x∈［－π，π］的简图吗？

【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会知识间的联系和类比的数学思想^［3］.

追问：如何用“五点法”作出下列函数的简图？

（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；

（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］.

师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.

【设计意图】通过例题检验学生对五点作图法的掌握情况，巩固画法步骤.通过分析图象变换，深化对三角函数图象关系的理解，并为后续学习三角函数的性质作好铺垫，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.

2.6 课堂小结

先由学生回忆本节课学习内容，自行总结归纳并回答，教师再作补充完善.

【设计意图】对课堂知识和思想的总结，加深对正弦函数、余弦函数的理解，提升学生的概括能力，养成学习—总结—学习的良好习惯，培养学生归纳总结和语言表达能力，自主构建知识体系.

作业布置

（1）必做题：①课本34页练习1，②用“五点法”画出y＝sin 2x，x∈［0，π］的图象.

（2）思考题：用“五点法”画出y＝sin 2x＋π6，x∈［0，π］的图象，并思考其图象可由y＝sin 2x，x∈［0，π］的图象如何变换而来？

【设计意图】作业的布置旨在增强学生对所学新知的迁移与应用.既有必做题，也有思考题，符合分层教学的原则，必做题让学生巩固所学知识，思考题是对本节课“五点作图法”的巩固与应用，让学有余力的学生有发挥的空间，是对本节课内容的拓展与延伸.通过分层作业的布置，充分激发不同层次学生的潜能与积极性，促进学生的自主发展，注重学生的个体发展，使每个层次的学生都有所进步.

3 反思总结

3.1 以教学目标为指引，问题为主线设计教学活动

整堂课以预设的学习目标为指引，以问题串的形式展开，小组合作探究完成具体的实践活动，学生在课堂上进行了深度思考，真正参与到课堂活动中来，无论是从思维层面，还是理论层面，学生都得到了很好的提升，增强了学生分析和解决问题的能力，调动了学习的热情，真正体现了教师只是课堂活动的组织者和引导者，学生才是课堂的中心这一基本理念.立足学生学情，设计优质有效的教学设计是确保高中数学课堂活动成功开展的核心和关键，也是培养学生进行深度学习的有效途径，更是培育数学学科核心素养的关键.

3.2 以问题为导向，促进学生进行深度学习

通过问题为导向的深度学習，才能真正让学生进行深度思考与深度理解，在这个过程中强调学生的主体地位，要学会主动学习，随着问题与活动的开展，教师将学生的学习兴趣与自信心引到一个新的高度，精心设计教学问题与实践活动，具有启发与指导作用，学生在学习的过程中，逐渐认识到学习数学的有趣性，体会数学研究的价值，从而提高学生的学科核心素养.

为了促进学生进行深度学习，教师应当充分发挥学科特点，积极挖掘教材，精心设计教学问题.在教学实践中，通过适当的引导，唤起学生的已有认知，建立起新旧知识间的桥梁，从而使学生掌握知识的本质，在问题的解决中体会数学的价值，从而达到深度学习的要求^［4］.

参考文献

［1］杨龙.理性精神引领下的数学课堂教学研究——以“正弦函数、余弦函数的图象”为例［J］.中学数学月刊，2022（11）：32--34．

［2］练富强.“同课异构”彰显教学设计，反思数学教学——“正、余弦函数的图象”同课异构教学设计有感［J］.课程教育研究（新教师教学），2014（5）：269-＋282.

［3］毛春艳.高中数学课堂教学目标确定的可实施性的研究与实践［D］.武汉：华中师范大学，2016．

［4］赵世恩，刘子钰.“问题导向”下促进深度学习的教学实践研究——以小学数学为例［J］.课程·教材·教法，2023，43（1）：131--137．