常微分方程的教学探讨

陈春涛

摘 要： 常微分方程是一门重要的数学基础课，作者结合教学经验，对常微分方程的教学方法进行初步探讨。

关键词： 常微分方程 教学方法 数学建模 线性代数 微课

在自然科学和社会科学的研究中，许多现象及事物发展的规律都可用数学模型表示出来，而常微分方程是数学建模中最基本的工具。同时，又是应用数学专业一门重要的基础课，对先修课程及后续相关课程起到承上启下作用。现我对于怎样教好常微分方程这门课以达到该课程教学目的，提高教学质量，谈谈一些体会和看法。

一、让学生了解常微分方程课程的特点，认识到学好该课程的重要意义。

常微分方程是学习其他数学理论后续课程的基础，这些课程包括数理方程、微分几何、泛函分析等。课程本身既有严密的逻辑性，又有一定的应用性，但目前高校常微分方程课程大多还停留在传统教师主讲形式，偏理论，轻应用，使学生极易产生排斥心理。因此，讲授这门课内容之前，教师不妨先利用一些简单的物理、生物和化学等相关学科的模型引入，让学生深刻认识到这门课是解决实际问题的有力工具，提高学生对课程的兴趣。

二、培养学生的学习兴趣。

教师要注意采用多种教学方法，不能为了赶教学进度直接把定义、定理、证明一一搬出来，使学生陷入枯燥的学习中，进而失去学好这门课的兴趣。因此，教师在教学过程中既要充分发挥自身的主导作用，又要让学生积极、主动地参与到教学中。比如，学习了二阶常系数线性方程的求解后，可以引导学生根据中学时接触过的单摆问题，先让他们尝试建立简单的物理模型并加以讨论，由此得到出现简谐振动、共振现象的条件。

三、根据授课对象，对教学内容进行适当增减，教学难度应有所不同。

学生所学的专业对数学基础的要求不尽相同，因此，教师应该根据学生专业选择授课内容。比如，若授课对象是应用数学或数理专业的学生，则除了要求掌握常微分方程的计算技巧外，还应强调基本数学定理的证明。若授课对象为金融数学专业，常微分方程的作用主要体现在应用上，因此教师在授课中应侧重数值计算，复杂的定理推导可以仅介绍证明思路。此外，若教师在平时工作中注意收集相关实际案例，把这些案例引入各类专业课堂教学中，则对促进学生学习积极性提高起到至关重要的作用。

四、注意本课程与其他课程的相互渗透。

常微分方程教学内容中，计算占了很大比例，而课程本身就是结合线性代数、解析几何等相关数学知识解决数学理论和其他学科中出现的微分方程问题。因此，教学中，除了让学生掌握基本计算方法外，还要注意与其他课程的相互渗透。如学习求解常系数线性方程组的基解矩阵这部分内容时，若方程组的系数矩阵A（设为n阶）恰好有n个线性无关的特征向量，则可直接利用课本上的定理写出其基解矩阵。此外，还可引导学生根据线性代数的知识知A可对角化，则通过可逆的线性变换必能将系数矩阵化为对角形，使得方程组的求解易于进行。

五、结合运用多媒体技术。

传统的教学方法以板书为主，但是由于常微分方程这门课中定理的理论证明比较多，一味板书和讲授会让学生产生厌烦心理。因此，教师应该把传统教学方式与现代教学手段结合起来，借助多媒体把板书内容适当变得有趣一些。如学习解的延拓时，可以用动态画面把这部分内容展现出来，让学生在脑海里有较为直观的印象，接着引导学生思考、总结方程的解向左右两边延拓的情形究竟如何，最后教师对学生总结出的内容给予相应修改、补充。这样教师既可以较为轻松地把抽象的定理内容传授给学生，又可以让学生参与到课堂讨论中。

六、将微课形式融入教学中。

近年来，微课在我国发展很快，这一新的教学形式逐渐成为教育信息化的热点之一。它不同于传统课程，主要以教学视频为表现形式，具有内容少而精的特点。由于常微分方程课时的限制，教师不可能将课程全部内容都在课堂教学中呈现出来，而且有些较难的知识点通过教师的讲授可能还有部分学生无法掌握。因此，教师可根据课程内容的特点，将微课适当引入教学中。例如，讲授求常系数线性方程组基解矩阵这一部分内容时，在课堂上教师主要介绍根据空间分解理论所得的基本计算公式，至于其他计算方法，如利用约当标准形，以及利用哈密杜顿-凯莱定理的方法，教师可将其录制成微课放在网上，供感兴趣的学生自行学习。这样可以让学生充分利用课余时间学习这门课，激发学生的学习热情和创造性。但需要注意的是，微课只是教学辅助手段，并不是所有常微分方程的知识都适合制作成微课，因此在知识点选择上还需教师反复推敲，在教学中适当融入微课，才能达到提高教学质量的目的。

常微分方程是一门重要的基础课程，随着科技进步，高校教师应紧跟时代前进步伐，更好地设置教学内容和教学模式，尽可能深入浅出地讲授这门课程。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，2011（10）：61-65.

[3]杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报：自然科学版，2014（3）：167-169.

[4]白灏.方程在数学建模中的思想及应用研究[J].湖北第二师范学院学报，2015，32（2）：106-108.

基金项目：2015年度广西高等教育本科教学改革工程项目（2015JGA134）