基于常微分方程的数学建模问题的求解

徐薇薇

摘 要：随着微积分理论的发展，常微分方程成为极具应用价值的学科，基于常微分方程的数学模型在众多领域得到广泛应用。基于常微分方程的数学模型，通过常微分方程理论对实际生活中的复杂问题进行刻画，建立数学模型，从而实现对问题的求解。本文中对基于常微分方程的数学建模问题的求解展开研究，归纳总结了常微分方程的模型建立的方法，并给出了大量实例对其应用展开研究，并重点对人口预测和传染病模型的求解问题，结合实例进行了介绍。

关键词：常微分方程；数学建模；人口预测；传染病

1 引言

方程是数学学科的重点内容之一，如线性方程、对数方程等，在一些实际问题的求解方面有着十分重要的应用，但是依旧存在许多的问题无法通过初等数学中的一些常见方程进行刻画和求解。一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式。数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型。而由于常微分方程能够有效地对复杂的实际问题进行刻画，因此在数学建模问题的求解方面有着十分广泛的应用。

2 常微分方程模型

微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式。在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：

（1）运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的。如力学中万有引力定律等。

（2）利用导数的定义建立微分方程模型

（3）利用微元法建立常微分方程模型

（4）模拟近似

模拟近似是在事物发展的规律不很清楚的复杂问题中常用的方法，该过程往往是近似的，需要对最后的求得的解进行分析，将计算结果与实际相比较是否符合实际。

3 常微分方程求解数学建模问题

3.1 基于常微分方程的经典数学建模问题

用数学语言来对研究目标随时间变化过程进行描述，建立的动态模型就是微分方程模型。微分方程模型的建立通常是依据物理、化学、工程科学等中的基本原理，待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。

例1 细菌群落增长问题

已知初始时刻细菌群落的总数为y0，T时刻为yT，求解0～T时刻内任意时间细菌数量。

例3 红绿灯问题

交通红绿灯在人们生活中有着重要的作用，其中黄色指示灯对保障交通安全发挥了重要作用，那么黄灯持续时间多长为宜？

分析：驾驶员看到黄色信号灯后立即做出决定是否停车。若停车，则需要判断停车距离是否满足条件，该条件是由速度决定的。而已经过线无法停住的车辆，黄灯需留有一定的时间保障其能够通过。据此，对上述问题进行求解：

（1）根据法定最高限速v0计算停车线位置，使得停车线到路口的距离满足刹车需求；

（2）根据停车线和速度v0计算黄灯持续时间。

如上图所示，绿色曲线为实际人口统计，蓝色为指数模型预测结果，红色为阻滞增长模型预测结果。可见，指数模型在19世纪以前预测结果与实际基本吻合，但是之后的预测值大大超过实际值。而阻滞增长模型具有较高的预测精度，符合实际变化规律。

3.3 基于常微分方程的传染病预测模型

目前，大多数传染病模型都是对由Kermark和MeKendrick所建立的SIR模型的修正而得到的。SIS模型中染病者康复后可以再次被感染；SIR模型中康复者后获得终身免疫力：而SIRS模型中康复者有暂时免疫力，一段时间后重新成为易感者。下面，本文以北京市SARS传播为研究对象，建立传染病模型进行分析研究。SARS的传播可以分为三个阶段：

（1）控制前的自然传播模式阶段。

（2）过渡期阶段，政府采取隔离措施前的一段时期内。

（3）控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。

4 小结

本文对常微分方程模型在数学模型中的应用进行了研究分析，对建立微分方程的方法进行了介绍，并给出了生物学、社会科学、统计学、物理学、医学等多个学科的实例，基于常微分方程建立相关数学模型对实例中的问题进行了求解。随着社会的进步和发展，基于常微分方程的数学模型对解决复杂的实际问题发挥着日益重要的作用。

参考文献

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