向量组理论的教学中反例的应用

摘 要：线性代数是一门理论性强、内容抽象的课程。它具有概念及定理多，与实际生活联系少的特点，正确理解和掌握概念及定理，正确证明命题结论，具有一定的难度，反例既是对命题十分简明的否定，又是对命题极有说服力的肯定，它往往能起到正面的例子难以起到的作用，对解决这些问题很有帮助。本文主要探讨了线性代数中向量组理论教学中反例的作用，以便更好地理解掌握相关命题。

关键词：线性代数；反例；向量组

线性代数是一门理论性强、内容抽象的课程。它具有概念及定理多，与实际生活联系少的特点，所以在线性代数的教学中，如何更好的理解和掌握相关概念及定理，正确的证明命题结论，具有一定的难度。由于正面问题或结论产生的理论价值和功能效应是有目共睹的，所以，大家都给予了应有的重视。然而，人们往往忽略了反例的理论价值和功能效应，这是线性代数教学及理论研究的一个缺陷。反例既是对命题十分简明的否定，又是对命题极有说服力的肯定，它往往能起到正面的例子难以起到的作用，对解决这些问题很有帮助。

本文主要针对线性代数中的向量组理论的部分命题给出了具体的反例，以促进对这些知识的理解，从而更好地掌握相关的理论知识。

一、关于向量组的线性相关性的反例

在线性代数中有很多新概念，并且一个概念中简单的几个字往往意义深刻，内涵丰富，所以想要真正掌握，就必须将它扩展开理解，多方思维，找出概念的实质。

定义1设都为n维向量，如果数域P上存在一组不全为零的数，使得，则称线性相关。否则，就称线性无关。

例5：若可由线性表示，则线性相关。

对于例5的结论不难判断其正确，那么其逆命题是否正确呢？其逆命题为：若向量组线性相关，则可由线性表示。

易知，此逆命题不真。例如，易知线性相关，但是显然不能由线性表示。

向量组线性相关的充要条件是其中某一个向量可由其余向量线性表示。为此可引出下面这样一个命题。

例6：如果向量组中某一向量不能被其余向量线性表示，则线性无关。

此结论不对。例如，，即有不能被其余向量线性表示，但是却线性相关（因为有零向量）。

此反例揭示出定义中“某一向量可由其余向量线性表示的“某”字含义。并非是全部向量均可由其余向量线性表示。

二、关于向量组的秩的反例

定义2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作，或简记为。

例7：等价向量组的秩是相等的。

该结论是正确的，但是反过来，如果向量组与向量组的秩相等，那么这两个向量组是否一定等价？

显然向量组的秩是2，向量组的秩也是2，但与不等价。

此反例一阵见血地指出例7的逆命题不正确，而无需再用长篇大论的文字去证明。

参考文献：

[1]胡万宝，舒阿秀等.高等代数（第二版）[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013.

[2]胡崇慧.代数中的反例[M].西安：陕西科学技术出版社，1982.

[3]刘学鹏.线性代数理论中经典命题的反例研究[J].大学数学，23：6（2007），174-177.

（作者单位：安庆师范大学数学与计算科学学院）