以二次函数最值谈衔接教学案例

刘盛

【摘  要】初高中的教学衔接是高一数学教学中的难点，如何更有效地衔接初高中数学知识的融合，帮助高一学生顺利过渡到高中的学习，是每年高一教学初期必须面对并且需要解决的重要课题。本文借助“求二次函数的最值”这一知识点的教学实践案例，高效衔接初高中教学以温故知新，问题衔接拓展，理论迁移应用等方式进行层层深入的探究和实践性的思考，通过把握教学的衔接点，学生思维提升的关键点，理论迁移的切入点进一步提高衔接教学的效率。

【关键词】初高中数学；衔接教学；二次函数最值；教学案例

二次函数是连接初高中函数学习的关键模块，其中最值问题是初高中函数教学的重点，更是学生理解函数相关概念的痛点，以二次函数的最值作为初高中衔接教学的切入点，恰恰就可以让高一学生从熟悉的知识中去层层深入突破难点和痛点。本文结合本校高一年级数学校本选修课程中一个专题模块内容——二次函数的最值問题进行分析思考，谈谈如何在教学过程中进行初高中的教学衔接，提高衔接教学的效率，以下为课堂教师与学生实录情况及分析。

一、衔接教学教学实践案例

（一）温故知新，铺好衔接桥梁

教师活动1：引导学生回顾如何画二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像（在师生共同画图的过程中与学生一起回顾初中学习相关二次函数的开口分类，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点，配方法等问题）

学生活动1：例题：已知二次函数f（x）=x2-2x+2，此函数有最大值还是最小值？如果有，求出函数f（x）的最值及此时ｘ的值。

设计意图1：通过让学生回顾初中的二次函数的图像问题，让学生进一步巩固求二次函数的最值的方法，为下一环节高中二次函数的最值问题所涉及的数形结合与分类讨论等做铺垫。

（二）环环相扣，做好衔接

教师活动２：总结在求解过程中可以用画图的方法，也可以用公式法，还可以用配方法，还有没有其他更快的方法？进一步提出，如果自变量x给定相应的范围，最小值会改变吗？会有最大值吗？可以求出来吗？

学生活动２：例题变式1．分别求出二次函数f（x）=x2-2x+2在下列区间上的最小值与最大值

① [-3，-1]   ② [2，3]   ③ [-1，3]   ④ [0，3]

设计意图：此题是在例题的基础上，通过给定区间求二次函数的最值，给定区间离对称轴的情况，布置了一定难度的陷阱，实际课堂情况下多数高一学生都是不画图像，要么直接套用顶点公式求最值，要么直接代入不同区间两端的端点求最值，从而容易导致错误。设计本题的意图，就是层层深入，拓宽学生的解题思路，理清解题步骤和流程，加强学生的画图分析能力，进一步渗透数形结合的数学思想。

（三）衔接接轨，深入探究

在学生通过变式1的研究后，已经初步体验到数形结合在高中数学解题中的重要性、实用性和操作流程，在此基础上，引导学生进一步深入研究“动态的”数形结合，培养学生探究的兴趣，提高数学思维及解题能力那就是水到渠成的事了。

教师活动３：引导学生体会总结给定区间求二次函数的最值时，关键是如何巧妙利用数形结合，准确清晰地判断所给区间是否包含对称轴，分析出给定区间两个端点中哪个端点离对称轴更远或更近，从而结合图形，得出最大值或最小值。进一步提出问题，若给定的区间变成一个“动态”的区间，是否有最值？

学生活动3：例题变式2．求二次函数f（x）=x2-2x+2在区间[ｔ，ｔ＋１]上的最小值记为g（t），（1）试写出函数g（t）的解析式，（2）作出g（t）的图像并求出g（t）的最

小值。

解：（１）f（x）=（x-1）2+1

当t＋１≤１，即t≤０，g（t）=t2+1

当t＜１＜t＋１，即０＜t＜１，g（t）=f（1）=1

当t≥１，g（t）=f（t）=t2-2t+2综上可知，g（t）的表达式是分段函数的形式，解答如下：

g（t）=t2+1，t≤01，0＜t＜1t2-2t+2，t≥1

教师活动４：及时引导学生总结用数形结合和分类讨论思想进行解决问题的关键点，同时引导学生思考总结上一题的类型是“轴定区间动”，在此基础上引导学生是否可以换一种模式，变成是“轴动区间定”的类型。

学生活动４：例题变式３．求函数f（x）=x2-2ax+2在区间[－１，１]上的最小值记为g（a），（１）试写出函数g（a）的解析式，（２）求出g（a）的最大值。

引导学生以对称轴在区间[－１，１]中的不同位置，结合图像分情况讨论g（a）解析式。

设计意图：二次函数在初高中数学教学中最大的区别在于其静态的与动态的区别，两个变式题的设计正是为了实现二次函数由静态升级到动态的过程，让高一学生更好地从初中数学函数教学中，尤其是对二次函数的简单直觉认识，进一步上升到高中的数形结合思想方法以及较为复杂的逻辑推理，为下面实际课堂教学问题的解决做好思维的铺垫。

教师活动5：提出问题，为实际问题转化为求最值做好铺垫过渡。

例题变式 4．函数f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a得取值范围。

引导学生把所求的a看成未知数，故a≤x2-2x+2，即求g（x）=x2-2x+2的最小值。

设计意图：通过设置简单的恒成立问题，让学生初步体验转化等价思想，做好衔接教学的铺垫。

（四）衔接拓展，理论迁移

例题变式 5．函数f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a的取值范围。

师生共同活动6：引导学生对比变式4、5的异同，同时进行转化。

教师引导一：让学生类比思考是否能够把a看成未知数，让学生进行探究。

教師引导二：二次函数的值恒大于等于0，即二次函数的最小值大于等于0，相当于方程f（x）=x2-2ax+2-a=0无解或一解。

学生活动二：则函数f（x）=x2-2ax+2-a的图像与x轴无交点或只有一个交点，则△≤0，即（-2a）2-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1。

设计意图：将二次函数的最值问题进一步拓展，强化了函数、方程、不等式这三者之间的转化，更好地做到有效地衔接教学二次函数这一重点内容。本人将在变式5的基础上，给自变量限制一定范围，让学生进行探究。

例题变式 6．已知二次函数f（x）=x2-2ax+2-a，当x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围。

解：①当a＜-2，f（x）min=f（-2）=4+4a+2-a≥0即a≥0，又∵a＜-2，∴a不存在。

②当-2≤a≤2，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2-a≥0，解得-2≤a≤1，∴-2≤a≤1

③当a＞2，f（x）min=f（2）=4-4a+2-a=6-5a≥0，解得a≤∵a＞2，∴a不存在。

综上所述，得a的取值范围为-2≤a≤1

设计意图：将二次函数的含参数的问题转化成求函数的最值问题，并进一步通过数形结合渗透分类讨论思想解决问题。通过上述教学过程，将最值问题上升到一定的高度，同时也将值域进行系统地、有效地衔接教学。

二、今后初高中衔接教学的三点建议

基于以上课堂教学实践案例整理分析，本人认为教师要提高初高中衔接教学的效率问题，可从以下几方面入手：

（一）从思想认识的根本上切实把握初高中衔接教学

每年的高一都会听到很多老师反映，初中各所学校也根据每年的中考要求及学校的实际情况对某些内容做适当调整，这就造成了很多高一老师不能精准把握高一新生的起点，在教学过程中定位过高，自然而然就造成了教学过程的脱节，所以要想提高衔接教学的效果，首先教师必须从思想上改变观念，不推卸责任，主动关注学生初中学习的相关内容及难度深度，以初高中为整体体系去构建学生完整的知识网络，来进行系统教学。

（二）从内容上下功夫提高衔接教学的效率

虽然高中数学相比初中数学增加了内容的广度和深度，但大多数知识都源自于初中，因此在教学过程中，教师在教学内容的教学处理上，应该理清初高中很多知识的内在联系，把握衔接点，根据学生的情况来编写合适的教案，从而结合初高中知识来整体把握教学。比如函数的性质、二次函数、三角函数、平面几何、立体几何及概率等知识体系初高中都是联系甚紧。又如上述二次函数模块的教学，虽然教材并未单独编写，但却贯穿整个高中阶段。本人就以二次函数的值域问题进行了较系统的衔接教学，从而提高教学的有效性和系统性。

（三）从思维方法上下功夫提高衔接教学的效率

很大一部分高一学生之所以未能适应高中数学的学习，主要是初高中学习数学的思维方式有较大的差异。初中教学中有很多内容的学习都是比较注重直观形象及直接具体化的，而高中数学的学习更注重抽象思维，推理演算推广及间接问题的等价转化等，这就要求教师在教学过程中，注重学生的思维方式的衔接过渡。比如在讲授《函数奇偶性》的教学过程中，如何做到更加符合高一学生的认知特点和思维水平，有效结合图形，然后采用初中数学里的代数式赋值计算方法来进行推导，总结规律，得出一般的结论，从而得出奇偶函数的概念。这样学生就从直观具体过渡到抽象思维。又如上述课堂实录中教学的二次函数的值域问题，就是这样通过先让高一学生从具体数值入手，通过不断的变式深入，利用数形结合，引导学生逐步由静态过渡到动态分析，顺藤摸瓜过渡到分类讨论及问题等价转化来解决问题，掌握了数形结合和化归等思想方法。

【参考文献】

[1]曾宏建.初高中数学教学衔接的问题及对策[J].数学教学通讯，2018（5）：3-4.

[2]刘华祥.《中学数学教学论》[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[3]杨常青.高一阶段如何做好初高中数学衔接工作[J].理科考试研究，2015（12）：41.