活用教材，激活思维

张惠芬

［摘  要］ 教材是教师教学和学生学习的主要资源，用好教材能够帮助学生建构知识体系，深化知识理解，对教学效果起到事半功倍的作用. 教师要深入研究教材，明确教学目标，立足学情，有效整合教学内容，灵活运用教材，渗透数学思想，使学生在数学学习中激活思维，感受数学的价值，落实核心素养.

［关键词］ 研究教材；激活思维；三线八角

教材是教师教学和学生学习的主要资源，用好教材对提高教学效果具有极其重要的作用. 教师应深入研究教材内容，厘清教材编写脉络，明确教材知识编排的明线和暗线，挖掘教材潜藏的思想方法，领悟教材的价值意蕴，引导学生感受数学思想方法，提升学生的数学能力. 本文以“三线八角”的教学为例，谈一谈在教学中如何灵活使用教材，来激活学生的思维，点燃学生的求知欲，促进智慧课堂的生成.

教学实录

1. 复习导入，温故知新

问题1  同学们在小学已经学习了一些有关“角”的知识，相信大家一定还有印象，现在你们能说出角的概念吗？

生1：角的概念有两种，一种是通过一个公共端点引出的两条射线组成的图形，另一种是一条射线OA从原来的位置绕着它的端点O旋转到另外一个位置OB形成的图形.

师：我们学过两条直线相交形成的角与角之间的关系，谁能说一说图1中每对角之间有什么关系呢？

生2：图1中的四个角互为对顶角或邻补角，如∠1和∠2互为邻补角，∠1和∠3则互为对顶角.

师：很好，这些角存在怎样的数量关系呢？

生3：∠1和∠3，∠2和∠4互为对顶角，对顶角相等；∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4以及∠4和∠1互为邻补角，互为邻补角的两个角的和等于180°.

设计意图通过角的概念的复习，唤醒学生对角的记忆，激活学生已有的知识和经验，为新知导入奠定基础.

2. 探究新知，深度学习

问题2  同学们已经熟练掌握了两条直线相交构成的角之间的关系，那么三条直线相交构成的角之间又有怎樣的关系呢？

生4：三条直线相交按照交点个数可以分成以下两种情况.第一种情况，如图2所示，三条直线相交于一点；第二种情况，如图3所示，三条直线相交有两个交点.

师：很好，同学们思考这个问题时采用了数学中一种常见的研究方法——分类讨论法. 我们能不能将图2和图3中的角进行分类呢？能否按照我们学过的对顶角和邻补角进行分类呢？

生5：图2中的∠1和∠3以及图3中的∠1和∠5既不属于对顶角也不属于邻补角，因此我们不能按照对顶角和邻补角进行分类，但是我们可以将两幅图中的角分为有公共顶点的角和没有公共顶点的角.

师：非常好，大家进行分类讨论时，首先要明确的是分类标准. 生5发现对顶角和邻补角都有公共顶点，因此按照是否有公共顶点分类可以将图中所有的角都包含进去. 在图3中，直线AB，CD与EF相交构成了八个角，今天我们就来重点研究其中没有公共顶点的角.

请同学们观察图3中的∠1和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，∠2和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，它们之间具有哪些共同特征？

生6：它们的顶点以及一条边都在直线EF上.

师：是的，观察得非常仔细. 因为直线EF与AB，CD相交，所以我们称直线EF为直线AB，CD的截线. 也可以称直线AB，CD被直线EF所截.

师：接下来我们一起探究图3中的∠1和∠5具有怎样的位置关系. 大家先观察这两个角的边以及具体的位置关系.

生7：∠1和∠5都有一条边在截线EF的左边，并且∠1和∠5分别在直线AB和CD的上方.

师：是的. 我们可以从图中观察到∠1和∠5这两个角不仅都在截线EF的同一侧，而且都在直线AB，CD的同一方，我们将具有这样位置关系的一对角称为同位角. 我们在图3中还能发现具有这种位置关系的角吗？

生8：同位角还有∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7.

师：找得很准确，那么我们找同位角有什么诀窍吗？请大家总结寻找同位角的方法.

生9：我认为找同位角时可根据它的定义去确定，先确定两个角都在截线的左侧或右侧，再确定两个角在直线AB，CD的上方或下方.

师：这位同学总结得非常准确，我们能否根据这位同学总结的“秘诀”来分析其他没有公共顶点的角的位置关系呢？能否仿照同位角的定义给其他角命名呢？

生10：∠1和∠6由于处在截线的两侧，因此不属于同位角，但是这两个角都位于直线AB，CD的上方，因此可以把这两个角的位置关系命名为同向错角.

师：很好，根据生10的解释，我们还能在图3中找出其他同向错角吗？

生11：图3中的同向错角还有∠2和∠5，∠4和∠7，∠3和∠8.

师：很好，图3中除了同向错角和同位角这两种位置关系外，还有其他位置关系吗？

生12：图3中还有∠1和∠7以及∠1和∠8的位置关系不属于同位角和同向错角. ∠1和∠7在截线EF的两边，并且∠1和∠7分别在直线AB和CD的外侧，所以∠1和∠7的位置关系可以称为异向错角或外错角.

师：非常好，那么图3中还有其他外错角吗？

生13：还有∠2和∠8.

师：再观察图3，还有其他角的位置关系没有讨论吗？

生14：∠1和∠8的位置关系与前面的都不一样，因为∠1和∠8都在截线EF的同一边，并且∠1和∠8分别在直线AB和CD的外侧，两个角这样的位置关系，我们可以称为同旁外角. ∠2和∠7也同样是同旁外角.

师：刚才我们讨论了“三线八角”中的同位角、同向错角、外错角以及同旁外角的关系，现在根据我们讨论的结果，请大家填写表1.

师：请同学们根据表1的统计，观察图3中还有哪些没有公共顶点，也没有讨论过它们位置关系的一对角？

生15：根据表1的统计我们发现，∠3和∠5，∠3和∠6，∠4和∠5，∠4和∠6的位置关系还没有讨论.

师：下面让我们根据讨论同位角、同向错角、外错角、同旁外角的经验来分析以上四对角的位置关系.

生16：因为∠3和∠5在截线EF的两侧，并且∠3和∠5在被截线AB和CD的内侧，根据刚才的讨论经验，可称∠3和∠5为内错角. ∠4和∠6也是内错角.

生17：由于∠3和∠6在截线EF的同一边，并且∠3和∠6在被截线AB和CD的内侧，因此可称∠3和∠6为同旁内角. ∠4和∠5也是同旁内角.

师：很好，现在图3中所有没有公共顶点的角的位置关系我们都讨论了. 接下来请同学们观看表2，将一对角不同的位置关系填写下来.

设计意图  本环节中，通过连续追问的方式引领学生利用分类讨论思想探究“三线八角”中没有公共顶点的一对角的位置关系，使学生理解同位角、同向错角、内错角、外错角以及同旁外角和同旁内角的概念，并逐步掌握数学研究的一般方法，实现深度学习和深度探究.

3. 总结归纳，提炼升华

师：今天我们用一节课的时间在合作探究中分析了三条线相交构成的没有公共顶点的一对角的位置关系——经过分类讨论一共找到了六种不同的位置关系，教材主要讨论的是表3所示的三种不同的位置关系. 学习同位角、同旁内角、内错角主要是为学习“平行线及其判定”做准备，而外错角、同旁外角、同向错角这三种位置关系可以在平行线中根据已知的三种位置关系（同位角、同旁内角、内错角）推导出来.

生18：刚刚老师提到了平行线，我突然想到三条线相交是不是还有其他情形呢？假设直线AB与直线CD相交，可以再构成四个角，所以我觉得应该是“三线十二角”，只有当直线AB与直线CD不相交时，才是“三线八角”. 而要满足直线AB与直线CD不相交，应该就是这两条直线平行.

师：生18思考得非常严密，假设直线AB与直线CD相交，就会构成图4所示的“三线十二角”，那么这十二个角之间又存在怎样的位置关系呢？

生19：我们可以用研究图3的方法，分类讨论图4中的角，即将其分成有公共顶点的角和没有公共顶点的角两大类. 根据已有知识，我们知道有公共顶点的角是对顶角或邻补角，而没有公共顶点的角的位置关系的确定关键是明确截线和两个角的顶点以及边的关系. 其中八個角的顶点与一条边都在同一条直线上，这条直线就是截线，接下来再确定截线的方向.

师：很好，但是这种讨论方法过于烦琐，我们有无其他更加清晰的讨论方法呢？

生20：图4中的直线相交的情形比图3更复杂，如果我们仍然按照图3的情形进行分类，显得比较烦琐. 我觉得可以截线和被截线分类. 例如，第一类是“EF是截线，AB，CD是被截线”；第二类是“CD是截线，AB，EF是被截线”，以此类推，这样的分类讨论会更加清晰.

师：非常好，同学们不仅学会了探究“三线八角”的方法，还总结和迁移了这种探究方法，能够熟练运用分类讨论思想，能灵活使用分类标准探讨不同位置的角的关系，掌握了探究角的位置关系的“诀窍”，相信同学们可以将这种讨论探究问题的方法应用到更多的数学问题中.

课例评价

在讲述同位角、内错角和同旁内角的概念时，教师一般会先直接讲述概念，使学生初步认识不同位置的角的关系，接着通过练习让学生掌握和巩固这些概念. 这样的教学方法能够使学生基本掌握本节课的知识点，经过反复练习也许能达到熟练的程度. 但是这样的教学方法始终使学生处于被动接受状态，学生只能被教师牵着走，通过强行记忆掌握知识，没有真正理解“三线八角”的本质以及掌握研究“三线八角”的数学思想和方法，缺少思维锻炼，无法点燃学习热情，丧失了学习兴趣. 结合本节课案例，笔者有以下几点感想.

1. 渗透数学思想，提升思维能力

讲解“三线八角”的内容时，教师引导学生分类讨论图2和图3中的角，不仅使学生深刻掌握了分类标准和基础，还帮助学生提升了思维能力.

2. 整合教材内容，提升教学效果

教师灵活使用教材，没有按照教材中的内容按部就班地教学，而是依据学生的认知特点进行整合和设计，践行“用教材教，而不是教教材”的教育理念. 同时教师对教材中的三种角的位置关系进一步进行阐述，拓宽了学生的视野，使学生能够自然地领会数学思想方法，不仅知其然而且知其所以然.

教材是教师教学和学生学习的工具，是知识的载体，是师生互动的桥梁和纽带. 在教学中，教师要研究教材的内容和结构，将教材体系转化为学生的学习体系，使之满足学生学习的要求，让学生焕发活力，让课堂彰显灵性.