初中数学概念教学实施路径之初探

汪晓慧

［摘  要］ 概念是思维的基本细胞，是活跃学生数学思维的关键动力. 教学中轻概念教学过程、重概念结论的现象阻碍着学生思维的发展，是亟待解决的重要问题. 文章以“函数的概念”的教学为例，探寻数学概念教学实施路径，提升概念教学效率.

［关键词］ 初中数学；概念教学；实施路径；函数概念

问题的提出

章建跃博士认为，数学是“玩概念”的，数学是用概念思维的［1］. 数学是思维的科学，而“数学概念是确立思维逻辑的依据”［2］. 但在现实教学中，概念教学五分钟，练习巩固半小时的现象随处可见. 重文字记忆，轻形成过程；重讲解分析，轻实践探索；重反复操练，轻反馈反思……导致数学概念教学浮于表面，思维尽失，逻辑混乱. 长时间不重视概念教学，“导致数学的教学出现了概念与解决问题脱轨的现象，学生们只能按部就班地解答数学问题，解决数学问题的方法千篇一律，毫无自我思想和自我意识，以至于数学的严谨思想完全丧失”［3］. 因为“数学学习活动是一个‘文化继承的过程，也就是说，数学学习不仅是一种个人‘解释的活动，而且是一个对数学对象的客观意义进行‘理解的过程”［4］. 数学概念的学习何尝不是如此.

究其原因，一方面是教师自身的概念知识体系不够完整，同时对概念教学不够重视，对概念教学的本质理解不够深入；另一方面是受到教学进度的“牵制”，受到学生在概念学习过程中急于通过运用来证明对概念的“掌握”的影响.

概念教学实践

教师应该在钻研教材，深刻而广泛地把握概念的内涵和外延的基础上，准确了解学生的学习心理和年龄特征，确定有趣、有效的概念教学实施方法和途径，引导学生经历概念发生、形成、内化的过程，让学生有效理解概念的本质，确保概念教学真实有效.

下面笔者以沪教版八年级第一学期“函数的概念”的教学为例，谈談笔者对概念教学的思考.

1. 教学分析

（1）内容分析.

函数的概念是沪教版教材八年级第一学期第十八章的内容之一，本章内容还有正比例函数、反比例函数以及函数的表示方法. 函数的概念是本章的第一课时，主要研究变化过程中变量间的依赖关系. 函数是描述运动变化规律的重要模型，它刻画着变化过程中变量间的对应关系，是中学数学的核心概念之一. 可以说，这是学生第一次接触函数的概念，厘清函数概念学习的主线，对学生后续学习具体函数如正比例函数、反比例函数等有着非常关键的指导和示范作用.

（2）学情分析.

学生在此之前对方程、不等式等知识有了一定的了解，对有两个或多个未知量的方程（组）也有了一定的认识. 但是，对于变量的对应关系，尤其将变量放在运动变化的过程中是第一次接触. 虽然学生对变量的依赖关系有一定的生活经验，但是需要学生对其进行数学抽象，这对于学生来说是一个较大的挑战，也是学生学习本节内容的关键所在.

2. 学习目标及重难点

（1）学习目标：①认识数量的意义并知道常用的数量，分清变量与常量；②能正确描述运动变化过程中两个变量之间的依赖关系，理解函数的概念；③能正确判断两个变量之间是否是函数关系，体会运动变化与对应的思想.

（2）教学重难点：运动变化过程中两个变量之间是否成函数关系的认识与判断.

3. 环节设计

【习得形成概念】

（1）情境引入，积累素材.

问题1：地球的赤道是一个大圆，其半径r0≈6.378×106（米）. 设想有一个飞行器绕赤道飞行一周，其轨道是与赤道在同一平面且同心的圆E. 如果圆E的周长比赤道的周长多a米，那么圆E的半径r是多少米？

问题2：一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升.

①填表：

②在汽车行驶过程中，汽车行驶的路程与油箱里剩余的油量都是变量吗？

③设汽车行驶的路程为x千米，油箱里剩余的油量为y升，那么y与x之间是否存在确定的依赖关系？

设计意图  通过以上两个问题，让学生对问题情境（变化过程）中涉及的量（常量和变量）有较为清晰的认识，同时对两个具有依赖关系的变量有全面的认识.

（2）对比分析，提炼本质.

对比分析两个问题中的变量（问题1中的r与a，问题2中的y与x）之间的依赖关系，提炼其共同的本质特征为“一个变化过程”中“两个变量有确定的依赖关系”.

设计意图  通过对比分析问题情境，提炼其本质特征，让学生初步感知函数的概念，为形成函数的概念做铺垫.

（3）归纳梳理，形成概念.

归纳梳理变量之间的依赖关系，形成函数的概念，并提出函数解析式的概念.

在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫变量x的函数，x叫自变量. 表达两个变量之间的依赖关系的数学式子称为函数解析式.

设计意图  通过合作交流、归纳梳理，使学生正确辨识某个变化过程中的两个变量之间的依赖关系，形成函数的概念.

【巩固内化概念】

（4）概念辨析，巩固理解.

问题3：气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行如下转化.

（1）转化中涉及几个数量？分别是哪几个？

（2）华氏度数y是不是摄氏度数x的函数？为什么？

设计意图  帮助学生正确辨识变化过程中的数量，理解函数的概念，判断一个变量是不是另一个变量的函数.

（5）深入认识，整合内化.

问题4：某气象站测得当地某一天的气温变化情况，如图1所示.

（1）从这个图象中你能获得哪些信息？

（2）这一天的气温T（单位：℃）是不是时间t（单位：时）的函数？为什么？

设计意图  帮助学生深入认识和理解变量，准确分析判断变化过程中两个变量之间是否为函数关系.

【应用关联概念】

（6）有效关联，形成网络.

问题5：x看作一个变量时，x+2也是一个变量，变量x+2是不是变量x的函数？

问题6：在方程2x2+3x-2-y=0中，如果将x，y看作两个变量，y是不是x的函数？为什么？

设计意图  通过代数式、方程等知识与函数概念的相互关联，引导学生深入认识新知识与旧知识之间的关系，形成知识网络.

教学反思与建议

（1）概念教学的目标设置.

目标是每节课的最终归宿，目标不明确将导致教学主线不清、策略不当. 数学概念的类型决定着教学目标的设定，不同概念的教学在指定教学目标时会有一定的区别，但不管何种概念，其教学目标都应该有以下几点.

①正确描述和表达概念，包含文字语言、符号语言和图形语言；

②正确理解概念的内涵和外延，理解概念的本质；

③建立所学概念与上位概念、下位概念及并列概念的关系，形成知识结构；

④运用概念解决相关问题，深化概念理解.

（2）概念教学的理论基础.

现代心理学认为，知识学习分为三个阶段：新知识的习得阶段、知识的巩固和转化阶段以及知识的迁移和应用阶段. 基于此，概念学习也可以分为三个环节：概念的习得和提炼环节、概念的巩固和内化环节以及概念的迁移和应用环节. 皮亚杰的知识建构理论认为，新知识通过转换、组织和重新组织旧知识建构起来. 探究和发现比教更重要. 基于这一理论，概念教学的重点应该是概念的发现、归纳以及和之前相关概念知识的关联整合. 奥苏泊尔的有意义言语学习理论将新知识的学习分为下位学习、上位学习和并列结合学习. 根据这一理论，可以将数学概念划分为下位概念、上位概念和并列概念.

（3）概念教学的基本路径.

任何教学都有一定的流程，也就是我们常说的“路径”. 那么对于数学概念的教学，教师该如何有效开展，形成一个有效“路径”呢？这是一个摆在所有教师面前不可回避的重要问题. 章建跃博士曾专门撰文《注重“基本套路”才是好数学教学》来强调教学路径的重要性，文章指出的“基本套路”如圖2所示.

从章建跃博士提出的“基本套路”中不难发现，数学学习至关重要的是类比、归纳（特殊化）和推广（一般化），对于概念学习尤为如此.

数学概念教学因概念类型的不一样，在具体实施过程中有一定的区别，哪怕类型相同的概念，根据实际情况也会在教学过程中有所取舍. 总的来说，笔者将概念教学归纳为“三环六步”来实施.

①概念的习得形成环节，包含概念引入、提炼和形成三个步骤.

②概念的巩固内化环节，包含概念辨识（正例、反例）和整合（衔前接后）两个步骤.

③概念的应用关联环节，是概念综合应用、关联建构的过程.

概念教学的基本环节和步骤如图3所示.

本节课的函数概念教学，可以用如图4所示的流程图来表示.

笔者认为，这既是教师应该明确的“教”的路径，也是应该给学生传递的“学”的路径. 当学生掌握并能运用这样的路径进行学习时，很多问题就能迎刃而解.

函数是初中阶段非常重要的一部分内容，而函数思想也是我们思考和解决问题非常实用的一个工具，因此函数学习的基本路径（如图5所示）应该让学生牢牢把握，当学生遇到新知识时能够用来指导自己学习.

像这样一些基本学习路径，虽然不是某节课的教学内容，不可能在一节课或几节课中完成，但这应该是在每一节课中需要逐步传递给学生的一种重要的思想方法.

总结

不管是从学生掌握眼前的知识着眼，还是从学生的长远发展来看，数学概念教学在数学教学中有着不可替代的重要作用，需要引起教师和学生的重视. 对于教师而言，如何有效实施概念教学是提高教学质量、落实学科育人的基础. “数学概念是构成数学教材的基本结构单位，是形成数学教材知识结构的核心，是学生进一步学习的基础. ”［5］因此，研究数学概念教学基本路径，以此提高概念教学效率，加强学生的基础，是非常有意义和有价值的事情.

参考文献：

［1］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］张鹤. 数学教学的逻辑——基于数学本质的分析［M］. 北京：首都师范大学出版社，2016.

［3］庞艳晶. 数学课堂突出概念建构  关注思维培养［J］. 考试周刊，2017（72）：134.

［4］徐斌艳. 数学教育展望［M］. 上海：华东师范大学出版社，2001.

［5］杜育林. 整体把握  精心设计——以一元二次方程的概念教学为例［J］. 中学数学教学参考，2019（32）：15-17.