几何画板，让初中数学课“活”起来

章苗

［摘  要］ 几何画板是数学教学中帮助学生直观体验图形变化，培养学生空间意识的重要工具. 几何画板的使用，使抽象的图形变化更加具体形象，从而从感性认识上升到理性认识，激发课堂的活力，使学生从亲身体验中生成自我认识，体会数学的实质和内涵，感受数学的魅力.

［关键词］ 几何画板；课堂活力；实质内涵

函数与几何是数学学习的两个重要方面，对于初中阶段的学生刚刚接触几何图形的相关证明来说，是一个困扰许多学生的难点. 同时初中阶段开始初步体现数形结合思想，函数图象的变化也常常让很多学生“望而生畏”，然而这些内容又是初中数学教学和考察的重点内容，不容忽视. 图形的变化较为抽象，学生缺少实际的体验和感受，在学习过程中只能依靠记忆和模仿，生硬的套用公式或者总结的规律进行运用，难以调动知识进行综合运用，在遇到复杂性的综合题时就变得一筹莫展了. 因此教师要尝试创造学生能够亲身感受的平台，让学生体会知识的发生和发展，真正开展思维活动，激发思维碰撞的火花，才能为课堂注入鲜活的生命力.

几何画板的使用为教师的教学提供了一个更加便捷的工具，使图形变化的呈现更加生动，使数学课堂“活”了起来. 几何画板能够使静止的图形呈现动态性，具备非常强大的图形、图象变化和动画演示功能，并且几何画板使用方便，简明朴素，为学生的学习提供了一种便捷的方法. 几何画板可以给学生在几何学习时提供一种几何实验的情境，为教学中研究几何图形的变化提供了更加便捷的平台. 因此，教学中研究几何画板如何更加有效地使用具有非常重要的价值.

几何画板，激发学生学习

数学学习带给很多学生的感受都是枯燥乏味的，为了应试被动学习，常常容易产生厌倦的不良情绪，对数学学习提不起兴趣. 事实上，数学是一门非常有魅力的学科，仔细观察可以发现生活中处处都有数学，数学的神奇无处不在. 之所以学生难以感受数学之美，是因为在教学中教师的教学模式过于僵化，一直停留在“教师讲学生听”的层面，没有为学生创造思考互动的平台，留给学生交流练习的空间非常有限，导致学生感受不到学习数学的乐趣. 新课程的学习理念要求课程内容活动化，学生能够在活动中收获知识，就需要教师在教学中开展丰富的体验活动，使学生增强自身感受，获得体悟. 几何画板能够向学生展示图形变化的全部过程，使图形、色彩、声音、文字集于一体，将复杂、静止的画面表现得更加简便、生动，枯燥的知识变得更加生动和具体，激发学生探究的好奇心.

几何画板，创设问题情境

问题是教学载体，有效的问题情境可以激发学生的学习兴趣和好奇心，使教学过程更加顺畅，课堂气氛更加融洽. 利用几何画板进行问题情境的创设可以使教学中的问题更加贴近学生的实际生活，更加生动具体.

案例1  九年级“图形的旋转”.

教师通过多媒体展示出几个图形动画，动画结束后，出现了一些图案（如图1所示）.

学生都被这样惊奇的变化吸引住了，立即产生了浓厚的探究兴趣，这样的导入可以使学生很快进入学习的状态，调动学生探究的好奇心. 好的开始是成功的一半，学生的学习兴趣已经为课堂教学的顺利展开奠定了基础，在学习动力的驱使下，学生能够结合具体的学习情境，调动已有的知识，运用思维能力进行分析、联想和类比等方法，深入学习探索，掌握图形的“平移”“旋转”等概念和知识，并且会运用知识迁移解决具体问题，学会怎样进行自主作图. 教师引导学生深入理解图形旋转的概念，不仅学会图形的旋转知识，并且引领学生自己设计图案，课堂进行展示，让学生感受收获学习成果的喜悦.

在本章节中的中心对称知识也可以利用几何画板进行演示，加强学生的印象，深入理解变换过程中坐标的变化. 如图2中，任意移动图中的点A、B、C以及A′、B′、C′中的任意一点，改变原有线段的长度或者方向，图中的坐标也会随之改变，呈现出具体的数值，可以让学生直观地看到各对应点之间的横坐标和纵坐标之间的变化与原有的横坐标和纵坐标之间的关系.

几何画板，指引思考方向

学生学习经验的增加是从体验中不断获得知识和产生感受的过程，只有从直接的体验中才能收获知识学习的意义. 因此教师需要创设学生体验的情境和活动，让学生能够从做中学，实践和做事的过程就是学习的过程.

案例2  “直线与圆的位置关系”教学.

本课的教学内容较为抽象，因此学生在理解直线与圆的不同位置关系时容易出现较大的困扰，为了便于学生的理解，笔者在课前要求学生收集大量相关的实际素材，从实际生活中查找相关的资料. 同时笔者在研究具体教学内容的基础上预设了相关的探究问题，尝试利用几何画板制作教学课件增强感官刺激，加强视覺印象，为理性探究奠定基础. 这一教学内容中，直线与圆的相切关系是其中的思维难点也是这一课的教学重点. 课件操作如下：

（1）如图3所示，画出一条任意直线l和一个圆O，圆O的半径为r，过该圆圆心O作直线l的垂线，垂足为E.

（2）拖动直线l或直线l上的任意一点A或点B，使直线与圆的位置发生改变，学生可以从不同的位置动态地观察直线与圆位置的变化，并让学生思考：直线与圆有几个交点？同时注意观察圆心到直线的距离，即线段OE的长度的变化，猜想它的长度与圆的半径之间的关系.

经过实践操作，引导学生总结在圆与直线变化的过程中呈现的规律和特征：当圆心与直线的距离小于圆的半径时，直线与圆有两个交点，它们的位置关系称为相交；当圆心与直线的距离与圆的半径相等时，直线与圆只有一个交点，它们的位置关系称为相切；当圆心与直线的距离大于圆的半径时，直线与圆没有交点，它们的位置关系称为相离.

通过几何画板的使用，学生的观察更加直接，得到的感受更加深刻，摆脱了依靠生硬的记忆和生硬模仿的学习方式，提升了对知识的理解程度.

案例3圆的内接四边形.

教师首先应用几何画板展示如图4所示的图形，引导学生思考四边形ABCD与圆O之间的关系，同时带领学生回顾已学的平行四边形、菱形、正方形等四边形的相关知识. 接着借助几何画板学生开始动手操作，任意画圆以及圆的内接四边形，通过亲手度量四边形的边、角等要素，开展小组讨论，梳理四边形的边、角等与圆的半径之间的关系. 经过观察、动手实践、度量等过程，学生证明了自己的猜想，得到了相关的结论.

以探究性问题引导学生进行实践操作，经过实验观察，总结形成结论，这种在问题引导下进行的探究学习类似于数学家发现数学定理的探究过程. 正是这种探究实践和精神启发学生能够主动发现问题、独立思考研究，在主动获取中感受数学知识形成的神奇过程，体会数学之美，感受知识的发展和形成. 实践体验真理，学生在自己的亲手实践中学习数学，能够增强学习数学的兴趣，感受数学与生活的联系，拉近数学与实际生活的距离，从而主动轻松地掌握数学知识.

几何画板，培养创新意识

几何画板不仅能够帮助学生理解一些图形的变化和抽象的数学概念以及定理，使课堂教学更加生动外，还能使传统解题中枯燥乏味的讲解更加直观和立体，使生硬的讲解更加生动，可以弥补传统讲解的缺陷.

案例4  证明等腰三角形底边上的点到腰的距离与腰上的高之间的关系.

如图5所示，等腰三角形ABC中，AB与AC相等，BC上有任意一点D，DE与AB垂直，垂足为E，DF与AC垂直，垂足为F，BH与AC垂直，垂足为H. 证明：DE与DF的和与BH相等.

这是一道经典的证明题，难度虽然不大，但是题型经典，方法多样，问题较为开放，对于训练学生的思维具有非常好的作用. 传统的解题方式是通过几何的证明完成的，较为抽象，利用几何画板通过平移线段可以让学生直观地观察图形之间的变化，强化思维印象.

变化1：当延长线或者反向延长线上有一点D，结论就和刚才不一样了，即DE与DF的差的绝对值等于BH.

变化2：当点D运动到等腰三角形的内部设为点O（如图6所示），根据等腰三角形的形状进行分类讨论. 第一种，当等腰三角形的顶角小于60度时，三角形三段高的和比腰上的高大. 第二种，当等腰三角形的顶角大于60度时，三角形三段高的和比腰上的高小. 第三种，当等腰三角形是正三角形时，即每个角都等于60度，就可以得到结论：正三角形内任意一点到三条边的距离的和都等于等边三角形的一条高.

变化3：如果这个点不在三角形的内部，而运动到等边三角形的外面时，那么结论与刚才有所不同，但是研究的方法是一样的. 下面我们就来进行研究：

如图7所示，设正三角形ABC的外面有一点P，点P到正三角形ABC三条边或者延长线即AB，AC，BC的距离分别为h，h，h，正三角形ABC的高为h，通过观察和数据计算，学生很容易能够发现等边三角形外一点到边的距离与等边三角形的高之间的关系. 利用几何画板使深奥难懂的知识变得较为容易理解，同时提高学生的抽象思维和概括能力. 学生通过自己的亲手操作后，使本来无形的知识通过现实的有形操作来呈现，便于学生进行掌握，数学学习也从无趣变得更加生动有趣，学生对知识的形成感到非常亲切，对知识的理解自然水到渠成，学习变得轻松愉快.

几何画板，发展数学思想

数形结合是解决数学问题中的一种重要的数学思想，图形为数学的运算提供了直观的表现，数字为图形的展示提供了依据，两者结合可以使问题的解决更加形象和便捷. 在数学的发展变化中，数字与图形在内容上是相互联系的，两者相辅相成，互相推进，在一定的条件下还能进行相互转化. 数形结合思想使代数与几何方法在解题时相互渗透，融合了两种方法的优势，能够使形象思维与逻辑思维完美统一. 几何画板为数形结合思想的应用提供了平台，能够有效将两者结合在一起，为解题能力的提高提供了条件.

由于图形和图象的静态性使原本相互联系的知识和事物割裂开来，导致学生不能从整体上进行观察，也难以察觉知识之间的内部联系，在探究解题路径时出现了障碍，难以调动知识进行综合应用. 教学中通过几何画板的应用，动态地展示问题，学生能够自然地从整体上观察事物，克服了静态图形的缺陷，调动了思维，实现知识的综合运用.

案例5九年级“相似”一章中研究随着动点变化引起的三角形内接矩形的面积变化.

如图8所示，在△ABO中，OA边上任意一点C，以点C为顶点作△ABO的内接矩形CDEF，使矩形的一边CD在OA边上，点C在边OA上运动，矩形CDEF的面积也在发生变化. 设OC为x，建立x与矩形面积之间的函数关系. 当x发生变化时，矩形面积也会相应变化，总结变化规律. 矩形的面积有最大值吗？最大值是多少？

利用几何画板制图，建立关于x与矩形面积之间的函数关系，接着利用几何画板自动显示当点C运动时，对应的动点I（x，S）（S为矩形的面积）的运动轨迹，改变△ABO的形状，当△ABO的底边OA或者OA边上的高发生变化时，抛物线的形状也随之变化. 如果已知底边OA或者OA边上的高，可以计算出矩形的最大面积.

数学中的综合性复杂问题需要运用抽象思维能力、逻辑推理能力等，单纯依靠教师很难讲清楚，利用几何画板的强大功能，可以充分运用数形结合思想，将数字与图形充分结合起来，使学生被课堂教学深深地吸引，增强了课堂的趣味，活跃了课堂氛围，大大激发了学生的好奇心，落实了学生的主体地位.

综上所述是笔者在教学中对于如何使用几何画板进行的教学实践，应用几何画板与信息技术相结合可以大大提高数学教学的生动性、准确性和趣味性，为传统的数学教学注入新的活力，让学生感受到数学课堂“活”了起來. 学生在几何画板的助力下探究问题，真正实现主体地位的落实，有效提高了课堂教学的实效性，对于学生的数学学习和综合素质的提高提供了有利的条件.