用尺规作角：基于学生理解的探究教学的实践思考

赵徐敏

［摘  要］ “用尺规作角”是一节颇有趣味性和挑战性的探究课. 文章旨在基于学生理解找准教学起点，设计量身打造的探究路径，并在逐步优化中获得作图方法，从而提升学生的数学思维能力和探究能力，培养学生的优化意识，发展学生的数学学科核心素养.

［关键词］ 用尺规作角；前置性学习；优化策略；数学学科核心素养

问题提出

“用尺规作角”是一节颇有趣味性和挑战性的探究课，很多教师都做出过富有创造性的教学尝试. 蓝海鹏老师在文章《尺规作角原理的探究活动与思考》［1］中给出了三种探究方案（如图1所示）：（1）借助量角器量角、画角探究“弧上取点”，即引导学生从“一般量角器量角、画角—极简量角器量角、画角”的探究遷移到用尺规作角的探索. （2）借助角的概念探究“圆上取点”，即利用角的两种定义（静态与动态）引导学生得到确定D′点的两个条件，从而获得用尺规作角的原理和方法. （3）借助等角重合原理探究“三角形取点”，即利用木棒摆角活动将两角相等问题转化为两个三角形重合（全等）问题，从而掌握用尺规作角的方法.

在上述三种探究方案中，不少公开课展示的是第一种，笔者备课时也偏向于此. 但学生的真实想法是怎样的呢？他们在课前的前置性学习任务单中提出的设想给了笔者一些新的启示，在此基础上笔者修改了原来的教学设计. 现将这节课呈现出来，与读者共享.

内容与目标

“用尺规作角”是北师大版七年级下册第二章“相交线与平行线”第4节的内容，位于“相交线与平行线”之后、“三角形全等的判定条件”之前. 本节课主要探索用尺规作一个角等于已知角的方法，使学生在初步掌握尺规的用法和用途的基础上，进一步用尺规作更复杂的图形. 用尺规作角需要学生联系“线线相交得到点”的思维确定角的另一边，体会确定性思想，感受用尺规作图的价值. 本节课为学生在本册第四章中学习判定两个三角形全等的基本事实（“SAS”“ASA”），运用尺规“过一点作已知直线的垂线”“过直线外一点作已知直线的平行线”等内容起着基础性作用.

基于上述分析可获得如下教学目标.

（1）经历用尺规作一个角等于已知角的探究过程，掌握用尺规作角的方法，感悟确定性思想，体会用尺规作图的价值.

（2）优化用尺规作角的步骤，体会优化策略的重要性，积累优化策略的意识.

前置性学习任务

交给学生的前置性学习任务是让学生思考并尝试解决下列问题.

问题1：回顾用尺规作一条线段等于已知线段的方法，并思考这对你解决问题2有什么启示.

问题2：请尝试用尺规作一个角等于∠AOB（如图2所示），并说一说每一步的理由.

在查阅学生所完成的前置性学习任务单时，当看到一位学生在图形中画的线段CD（如图3所示）时，笔者在他的任务单上打了个“？”，猜想他是否运用了“SSS”（判定两个三角形全等的方法）来作角，毕竟个别学生提前了解第四章的知识也是很有可能的. 但是当看到越来越多的学生作图的第一步都是这样的，笔者意识到需要了解学生的真实想法. 通过与学生交流，笔者推翻了自己原来的判断. 他们认为，要画出一个角等于已知角，需要让这两个角的“张口”一样大，而直尺能够画线段、圆规能够“量”线段，于是想到将角的“张口”大小转化成线段CD的长短. 也就是说，学生作图时设想的是将“作角”转化为“作线段”. 这是一个富有创造性的想法. 事实上，这就是“作一个角等于已知角”的基本策略. 由此笔者意识到，学生最先考虑的是用尺规作“三弧两线”中的最后一条弧，并非如上述方案一那样按顺序作三条弧. “有效的教学活动是学生学和教师教的统一”［2］，只有基于学生学习中存在的真实问题才能真正激发学生的学习兴趣，引发学生深度思考. 基于对学生思维的了解，在本节课中，笔者以“确定线段CD”为教学起点，组织学生深入探究本节课的内容.

课堂教学简录

1. 提出问题

问题1  如何用尺规作一个角等于∠AOB（如图2所示）？

在运用“前置性学习任务单的问题1”引导学生回顾“用尺规作一条线段等于已知线段”的基本步骤的基础上，归纳获得两点启示：（1）先画一条射线，则“用尺规作一条线段等于已知线段”的要求最终简化为确定线段的另一个端点，蕴含了简化思想. （2）确定一个点的位置需要两条线，依据的是“线线相交得到点”，蕴含了确定性思想.

追问：用尺规作一个角等于已知角，归根结底，是要用尺规确定什么？

通过思考，学生得到基本作图思路：先画一条射线（角的始边），根据“两点确定一条直线”，将角的终边的确定简化为终边上的第二个点的确定.

2. 引导探究

问题2  你是如何确定终边上的第二个点的？

学生甲提出，需要把代表角的“张口”大小的线段CD复制到所求作的角上的相同位置C′D′.他在射线OA上随便找一点D，在射线OB上随便找一点C，连接CD（如图3所示），然后通过目测在O′A′上找到差不多的位置固定圆心D′，以CD的长为半径画弧，再通过目测在弧上找到点C′（如图4所示）.

其他学生指出学生甲作图的问题：圆心D′的位置不精确，就无法保证能在所求作的角上的相同位置找到C′D′. 如果点D′靠近点O′，画出来的角可能就会大一些（如图5所示）；如果点D′远离点O′，画出来的角可能就会小一些（如图6所示）.

教师点拨：学生甲通过确定线段的长度来确定角的大小，并希望在两个角上的相同位置作出C′D′=CD. 但他的操作只能实现C′D′=CD，而它们的位置无法确定.

问题3  为何在两个角上的相同位置作出C′D′=CD就表示两个角相等呢？

学生联想到七年级上册用叠合法比较角的大小的方法，发现让两个角的顶点对齐，在相同位置上的代表“张口”大小的线段CD和C′D′如果完全重合，那么角的两条边就完全重合，也就说明这两个角重合，从而得到这两个角的大小相等.

教师点拨：如果两个角相等，那么就意味着这两个角完全重合，因此学生甲的作图愿望是可以理解并且是正确的.

教学思考  问题2让学生分享前置性学习任务中的设想，并引导其他同学思考学生甲的设想与实际操作之间的不一致，进而明晰线段CD和C′D′的位置和大小必须同时满足要求的必要性和合理性. 课堂以此设想为探究起点，为后面的探究路径提供了思考方向.

问题4  如何实现线段C′D′和线段CD在两个角上的位置相同呢？

学生乙认为，确定线段的位置就是确定线段的两个端点的位置，也就是点C′和点D′的位置，它们到角的顶点O′的距离与点C和点D到角的顶点O的距离要相等. 学生丙认为，点D′的位置很好确定，它在射线O′A′上，又O′D′=OD，所以只需要以O′为圆心，OD的长为半径画弧，弧与射线O′A′的交点就是点D′；然后以D′为圆心，以CD的长为半径画弧，那么点C′就在这条弧上.

教师追问：如何确定点C′的位置呢？

根据“线线相交得到点”可知，确定点C′的位置还需要第二条弧，学生发现这跟刚才确定点D′的位置是一样的道理，需要让O′C′=OC，故以O′为圆心，OC的长为半径画弧，与前一条弧的交点就是点C′.

教学思考  在这个尺规作角的探究活动中，基于学生的理解得到初步作图顺序是“代表角的‘张口大小的线段CD→代表‘相同位置的点D′→代表‘相同位置的点C′”，梳理出作图步骤是“画线段CD→画射线O′A′→以O′为圆心，OD的长为半径画弧交射线O′A′于点D′→以D′为圆心，CD的长为半径画弧→以O′为圆心，OC的长为半径画弧交前一条弧于点C′→画射线O′C′（即射线O′B′）”. 这个作图步骤需要画一条线段CD、度量三次、画三条弧、画两条射线（如图7所示）. 比标准的作图步骤要多画一条线段和多度量两次.

问题5  观察刚才的作图步骤，我们发现作∠A′O′B′时，并不需要连接C′D′，那么是否可以不连接CD而同样完成愿望呢？

学生开始认为需要用线段CD表示角的“张口”的位置和大小，但后来发现作图中真正起作用的是线段CD的两个端点C和D. 而且在进一步作图尝试中发现，作图顺序可以简化为：以O为圆心，任意长为半径画弧交射线OA于点D后，不改变圆规的半径，直接到射线O′A′上画弧即可找到点D′. 不仅少了画线段CD这一步，还少了一次度量.确定点C的位置也是一样的道理.

教学思考  作图优化是作图探究的进一步提升，但当线段CD的作用在学生头脑中如此重要时，学生很难将其省略掉，这需要教师用问题去引导学生发现另一种更简便的方法——对线段CD“去其形而取其用”——只需确定点C和点D的位置即可：用圆规以O为圆心，任意长为半径画弧，与∠AOB的两边相交来确定点C和点D的位置. 这样作图只需要画五条弧、度量一次和画两条射线（如图8所示），比之前的作图步骤优化了一些，离标准的作图步骤也非常近了.

追问：我们这个作图方法、步骤是否还可以进一步优化呢？请大家再作图尝试看看.

学生发现，OC和OD可以一样长，这样一条弧就可以直接确定点C和点D的位置，从而作图步骤就优化为画三条弧、度量一次和画两条射线，作图顺序再进行适当调整，最终与标准的作图步骤的“三弧两线”达成一致.

教学思考  在“想得到”问题解决方法的基础上，通过对作图过程的不断优化，使思路更加清晰可观，从而“想得透”问题解决方法的本质，最终用尺规作角“做得妙”.

3. 拓展延伸

问题6  已知∠α，∠β，用尺规作∠AOB=∠α+∠β.

教学思考  经历之前的探究活动和优化作图活动，学生很快发现作一个角等于两个已知角的和，不是简单地叠加两次作角步骤即“六弧三线”（两个角有一条边重合），而是在∠α和∠β所画的弧的半径相同的基础上，可以简化为“五弧两线”（如图9所示）. 学生在应用尺规作图中，既巩固用尺规作一个角等于已知角的方法，又積累优化作图方法的思维经验.

4. 评价反思

问题7  经历本节课用尺规作角的探究，你有什么想法？

教学思考  以问题为载体，通过对学习目标的解析、对作图方法的探索、对优化过程的反思，学生基于自己的理解，概括用尺规作角的方法——确定两要素（代表角的“张口”的线段CD的位置和大小）；学生可从自己提出的设想中获得成就感，从优化策略中学会举一反三，培养理性思维和科学精神.

教学思考

1. 基于学生的理解找准教学起点

在日常教学中，教师容易从自己的角度和经验出发，确定学生的最近发展区和学习起点. 但在教学中有时会发现，学生的表现并不符合教师的“预设”，这说明教师备课时，找准教学起点并不是一件容易的事情，这需要基于学生的真实学情来作判断. 本节课借助前置性学习任务单，初步了解学生对尺规作角的设想，并在与学生的交流中进一步了解学生这种设想的由来，知道了学生在∠AOB上画出线段CD的真正目的，由此改变了笔者先前对学生是利用“SSS”这个三角形全等的基本事实进行尺规作角的解读，找准了教学起点. 事实证明，像这样基于学生的理解而确定的教学起点更符合因材施教的教育理念，学生能更加积极主动地参与课堂探究活动.

2. 基于学生的理解设计探究路径

有了探究起点，探究课还需要基于学生的理解设计探究路径. 根据学生提出的设想和愿望——在求作的角上的相同位置作出与CD等长的线段，学生很快发现暂时无法达成“相同位置”这个目标，于是将其分解为几个小目标，并依据确定性思想和尺规工具使用的规则，一步步实现确定位置的愿望. 接着通过调整操作顺序和步骤，优化作图过程，最终达成了“标准”的用尺规作角的目的. 这个探究过程是在学生已有知识和经验的基础上量身打造的，以目标为导向，以问题链的方式引向深度思考，用逆向推理的方式找到实现愿望的路径. 而最后的优化策略则鼓励学生进一步改进和完善自己的探究成果，让学生识得用尺规作角的真面目，眼前豁然开朗的同时，思维清晰且更有深度.

参考文献：

［1］蓝海鹏. 尺规作角原理的探究活动与思考［J］. 中学数学教学参考，2020（23）：32-35.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.