职业本科教育背景下高等数学课堂教学探究

王燕

【摘要】课程是职业本科教育最重要的元素，课堂教学是学生素质养成和能力培养最重要的途径.高等数学作为一门通识课，课时多、战线长，教师应该在讲授教学内容的同时，积极探究能够提高教学效率、有利于学生能力发展的教学方式.基于此，文章以职业本科高等数学课程中“定积分的概念”的教学为例，依据教学理论和学习理论展开了相关的教学设计，通过启发、类比、归纳、总结引导学生学习知识，在教学设计中体现了职业本科课堂教学中以学生为中心和主体的理念，在传授学生数学知识的同时，起到德育作用.

【关键词】职业本科；高等数学；定积分概念；教学设计

【基金项目】2022年度西安汽车职业大学校级教育教学改革重点研究项目，项目编号：2022JG002，课题名称：“课程思政”視域下高等数学教学探究；陕西省职业技术教育学会2023年度教育教学改革研究课题，课题编号：2023SZX239，课题名称：职业本科《线性代数》课程思政教学设计与实践.

数学类课程是高校各专业学生都要学习的公共基础课程，旨在培养学生的逻辑思维及分析问题、解决问题的能力.其知识体系中有很多抽象的概念，对于其内涵和外延，教师讲起来抽象，学生理解起来也很困难.传统的教学方法大多单纯讲授知识，过于理论化，与其他专业课程结合得不够紧密，相对比较枯燥乏味，学生学习的主动性也较弱，导致学习效率低、效果差.那么如何使数学教育教学生动有趣，从而提高学生学习的主动性和学习效果呢？现在许多教师逐渐尝试将思想政治教育工作融入数学课堂，将知识传授、能力培养与价值引领相统一，使得数学教学与思想教育协调同步，相得益彰.以学生为主体，将数学教学与思政教育相结合，就像是洒向数学教学这块土地上的雨露与阳光，滋润一颗颗职业本科的“幼苗”茁壮成长.

一、教学分析

（一）内容分析

第一，通过学习“定积分的概念”体会定积分思想，启发学生发挥创新思维，“积”聚力量.

第二，在讲授“定积分的概念”的过程中，嵌入“持之以恒，积极进取”的人生观，告诉学生要积极对待人生，厚积薄发，永攀高峰，每天进步一点点，为实现梦想而努力.

（二）教学背景

“定积分的概念”是学习定积分的基础，它上承导数和不定积分，下启重积分、曲面积分和曲线积分.该节课的学习为后面讨论定积分的性质、计算和应用奠定了基础.

只要是一个连续量连续变化的“积累”问题，例如变力的冲量、电量、变力沿直线做功、变速直线运动路程等，都可以归结为这种特殊和式的极限进行计算.

（三）学情分析

本节课的授课对象是职业本科一年级学生，虽然学生在高中学习了与定积分有关的一些知识，但只是初步认识，并未进行系统的学习与运用，并未涉及一些复杂的概念和计算.因此，学生在学习本部分内容时，依然存在一定的困难，并不具备独立自主求解定积分相关题目的能力.具体有如下表现：

第一，学生已经有了基础，在前面已经学习了导数、微分、不定积分相关内容，本节课是对前面内容的延伸；

第二，对于数学课来说，单纯的理论教学学生接受程度较低，注意力也无法长时间集中，在教学中引入故事、实例等能够增强教学效果；

第三，很多学生并不理解抽象的概念、定理，只会机械做题.因此，教师应引导学生分析问题，培养其解决问题的能力.

二、教学目标

（一）知识目标

了解定积分的来源、理解“定积分的概念”、会用定积分定义求定积分.

（二）能力目标

第一，通过求解曲边梯形面积，学会用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法分析问题和解决问题，提高逻辑思维能力；

第二，深切感受“以直代曲”“逼近”的相关思想，在学习的过程中掌握极限的思想方法，在实际生活中善于利用此方法思考和解决遇到的问题，增强创新意识.

（三）情感目标

第一，不同问题有着不同的解决方法，也蕴含着不同的数学内涵，在整个解决实际问题的过程中，学生要认识到数学和实际生活之间的联系，发自内心欣赏数学之美；

第二，通过学习，培养学生积极向上的心态，使其拥有正确的人生观、世界观、价值观.

三、教学重、难点

教学重点：深刻理解“定积分的概念”，了解唯物主义思想以及辩证法.

教学难点：引导学生认识定积分重要数学思想的具体形成过程及对人生成长的影响.

四、课堂组织与实施

（一）教学方法

“问题教学法”和“讲授法”结合使用，采用“启发式”和“互动式”相结合的教学模式，以多媒体工具为辅助，引导学生思考定义的构建过程及方法的形成过程，体会数学之美，感受数学之用.

（二）情境展示

首先开始“定积分定义的两个引例”内容的学习.教师用多媒体播放了我国某处农田的航拍视频，对于视频中形状规则的农田面积，可以用公式求解；对于视频中形状不规则农田的面积求解问题，可以转化为求解曲边梯形面积的问题.

（三）教学设计

任务一：引入课程

实现方法：通过讲解我国古代相关数学故事、历史故事、人物故事等，引出定积分的来源，循序渐进地引导学生对定积分的学习产生兴趣.

设计意图：在枯燥的数学教学中讲解数学文化相关知识，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以实施德育.在引入课程的同时，激发学生内心的崇拜之情，树立榜样的力量，让学生深切地感受我国数学文化成就，培养文化自信.

任务二：面积求法探讨

实现方法：用投影仪呈现与本节课内容相关的图片或视频，引导学生学习、思考、讨论.

设计意图：联系实际，引出曲边梯形面积求解问题，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，启发学生思考.通过类比图形面积的求法，让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学探究过程.

任务三：几何引例———求曲边梯形面积

设函数y=f（x）在区间[a，b]上非负连续，求由曲线y=f（x），直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积.

实现方法：对于求曲边梯形面积的难点———曲边，教师引导学生利用y=f（x）的连续性，用直线来代替上面的曲边：将大的曲边梯形分割为小的曲边梯形，用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积（教师用课件动态演示），让学生观察到分割得越精细，两者面积越接近，然后让学生分组讨论求曲边梯形面积的思路，最终得出结果：所求的面积实际上是对一个特定结构进行计算的和式求极限.

设计意图：建构求解曲边梯形面积的步骤（分割—近似—求和—取极限），求解过程中用到了分而治之的思想.教师利用具体的几何图形进行演示，让学生可以直观地了解到相关数学思想的形成过程.在讲解过程中，对于有限向无限、直与曲的转化过程，教师可着重演示，以启发学生的辩证唯物主义哲学思想，同时培养学生的总结、归纳能力.

具体方法及目标：

（1）分割（化整为零）：将区间[a，b]分割成n个小区间，这样大的曲边梯形就被分割成了n个小曲边梯形.为什么会进行这样的操作呢？这其实可以类比为人们将难以达成的大目标拆分为多个简单的小目标去完成的过程.每完成一个小目标，学生都会体验到成功的乐趣，这将激励学生继续完成其他目标，培养学生不屈不挠的精神.

故事启发：“曹冲称象”

无法直接去称一整头大象的重量时，曹冲就用等量石头来代替.先“化整为零”（将大象的体重用很多块石头的质量代替），再“积零为整”（石头的总质量就是大象的体重）.借此让学生认识到：要达成人生目标，就要“化整为零”“积零为整”，一步一个脚印.

（2）近似（以直代曲）：用第i个小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积.

故事启发：数码照片放大后，是由一块块的小正方形构成的，为什么会这样呢？教师在这里向学生介绍了刘徽的割圆术：为了求出圆周率，这位古代的数学家应用“以直代曲”“以不变代变”及“无限逼近”的思想方法创造了割圆术，体现了曲与直的辩证统一思想.

（3）求和（积零为整）：将n个小矩形的面积加起来，就可以近似求出曲边梯形的面积.

故事启发：这一环节，教师想到了“积少成多，集腋成裘”“不积小流无以成江河，不积跬步无以至千里”.从这种思想出发，还可以延伸到“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”.教师可以借此引导学生树立正确的人生观、价值观.

（4）取极限：和式的极限如果存在，就是曲边梯形的面积.

故事启发：手机像素越高，图片越清晰，如果探究者精益求精，将大曲边梯形进行无限细密的划分，那么所有小矩形的面积之和就可看成大曲边梯形的面积，这个无限细密的划分就对应于“取极限”的步骤.这正是“有限和无限对立统一”的辩证观.

任务四：物理引例———求变速直线运动的路程

某物体做变速直线运动，速度函数v（t）是时间间隔[a，b]上关于t的连续函数，并且v（t）≥0，求时间间隔[a，b]内物体经过的路程.

实现方法：通过“分割、近似、求和、取极限”可以计算出变速直线运动的路程.

任務五：由以上两个引例抽象出定积分的定义

实现方法：寻找两个引例的共性———解决问题的步骤相同、表达式结构相同.摒除不同的背景，就可以提炼出“定积分的概念”.

设计意图：通过学习，学生对于本部分内容的印象更加深刻，理解也更加充分.生活中的经验、故事、思想品质可归结为“定积分的概念”涉及的“化整为零、以直代曲、积零为整、无限细分”的数学思想，进而提炼出“以退求进”“从有限到无限，量变到质变，近似到精确”的哲学思想，借此让学生意识到：遇到问题时，若直接解决有困难，可转变思想，先解决接近或容易解决的问题，然后分析求解方法，逐步解题.探寻解题方法的过程才是令人难忘的.教师应充分挖掘教学内容中的素质教育素材，增强课程的趣味性和吸引力，寓教于乐，丰富学生的精神世界，才能升华课堂教学，展现数学课程的“科学”和“人文”价值.

结 语

上述教学过程以学生为中心，不仅让学生对数学之美有深切的感受，还实现了教学育人的目标.教学过程中，教师引入曹冲称象的案例，在与“定积分的概念”中求不规则图形的面积紧密联系的同时，鼓励学生努力动脑，创新思维，启发学生每天进步一点，为自己的梦想奋斗、为中国梦奋斗.在以后的教学中，教师应秉承“以学生为中心”的教学理念，积极创新教学方式，提高学生的课堂参与程度，将学生的思想教育与价值观培养润物细无声地融入课堂教学之中.

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