以知识整合视角看一道解几高考题

云南省昆明市第三中学 (650500) 俞 纲

云南省会泽一中文渊中学 (650000) 徐天祥

新高考着重考察学生灵活运用知识解决问题的能力,在“反刷题,反套路化”方向的指引下,我们要重视知识的变通使用与综合运用.对于高考题的研究不仅要会做,还要能认识问题的本质,更要会对问题做变式推广.若能把多个知识融合使用,就能通过少量做题提升数学思维能力.本文整合数列知识把2022年高考全国甲卷解析几何题进行变式研究与结论推广.

原题再现(2022年全国甲卷理20文21题) 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.

思路分析：第(1)问易得C的方程为y2=4x.

本质分析：上述做法的关键是能推导出kMN与kAB的等量关系,该结论具有一般性吗?其实对于抛物线C:y2=2px(p>0),M(x1,y1),N(x2,y2)为其上两点,则一定能得到以下两个常用结论:

结论2：若直线MN过点D(n,0)(n>0),直线MN的方程可设为x=my+n,与C联立得y2-2pmy-2pn=0,则必有y1y2=-2pn(*).反之,若直线交抛物线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且y1y2=-2pn,则该直线必过点D(n,0).

问题变式抛物线C:y2=4x,A1(1,0),A2(2,0),A3(3,0),A4(4,0)为x轴上四个定点.如图1,过A1作直线l交抛物线于M1、N1两点,射线M1A2,N1A2与C的另一个交点分别为M2,N2;射线M2A3,N2A3与C的另一个交点分别为M3,N3;射线M3A4,N3A4与C的另一个交点分别为M4,N4.求直线M1N1与M4N4的斜率关系.

图1

变式思考：上述解法结论与抛物线方程有关吗?与点列A1,A2,A3,A4有何关系呢? 我们可以进一步做一般性探究.

一般性研究抛物线C:y2=2px(p>0),点列{An(an,0)}(n∈N*)为x轴正半轴上n个依次向右的定点.直线M1N1过点A1,交抛物线C于M1,N1;射线M1A2,N1A2与C的另一个交点分别为M2,N2;射线M2A3,N2A3与C的另一个交点分别为M3,N3; …;射线Mn-1An,Nn-1An与C的另一个交点分别为Mn,Nn,如图2是n=6时的示意图.记直线M1N1,MnNn的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线MnNn的斜率.

图2

解：记Mn(xn,yn),Nn(sn,tn),由直线M1N1过点A1;直线M1M2,N1N2过点A2;直线M2M3,N2N3过点A3;…;直线Mn-1Mn,Nn-1Nn过点An.

系列1:y1t1=-2pa1①;y1y2=-2pa2②;y2y3=-2pa3③;y3y4=-2pa4④;y4y5=-2pa5⑤;…

系列2:y1t1=-2pa1;t1t2=-2pa2;t2t3=

-2pa3;t3t4=-2pa4;t4t5=-2pa5;…

tan(α-β)取到最大,则α-β最大.

上述解法就是紧紧抓住两个结论的本质,进行坐标间的多次代换得到.观察该结论发现,其结果与抛物线方程无关,只与点列的坐标有关系.

进一步我们还可以探究得到如下两个性质:

性质1当直线M1N1绕点A1任意旋转时,直线MnNn与x轴的交点为定点.

证明仿性质1,此略.

利用以上两条性质,我们可以用更简洁的几何对象揭示直线M1N1与MnNn的关系,即直线M1N1经过多个定点迭代产生的直线MnNn等效于M1N1通过一个定点T即可得到.原题一般性探究中繁杂的题设条件又可等效于原高考题所示的简洁结构,做法也与高考题完全一致即可.

进一步利用直线M1Mn与N1Nn交于定点T或直线M1Nn与N1Mn交于定点T这两条性质,根据圆锥曲线极点与极线定义,我们还可以推得直线M1N1与MnMn若相交,则交点必定在一定直线上,而该直线其实就是T点对应的极线.