一类最大角问题的研究

贵州省凯里市第一中学 (556000) 贾士伟

1 问题提出

我校某次高三模拟考试理科第16题如下:

如图1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,E,F,G分别为AA1,CC1,DD1的中点,有下列结论:

图1

①EB∥平面A1GFB1;

其中正确的是________.(填写所有正确结论的代号)

相对来说,这道题只有第④个命题的真假判断复杂,在参考答案中直接取AB的中点Q,并直接指出当|PQ|最小时,θ最大,然后详细给出了求|PQ|min的方法.事实上,这一小问的难点不是求|PQ|min,而是为什么当|PQ|最小时,θ最大.

2 问题解决

要解决上面的问题,只需完成下面两个结论的证明.

结论1 给出定线段AB,定直线l,AB∥l,动点P∈l,则当|PA|=|PB|,∠APB取得最大值.

分析：这个结论通过作图,感觉结论显然成立,但如何证明,笔者尝试用正余弦定理、基本不等式、解三角形等知识进行证明,又尝试用解析几何方法证明,均难以实现,最后用初中知识得到下面的方法.

证明：如图2,过点A,B作圆O,使得圆O与直线l相切于点C,在l任取一点P,点P异于点C,直线PB交圆O于点P',连接P'A,则∠ACB=∠AP'B>∠APB,问题得证.

图2

结论2 给出定线段AB及其中点Q,定平面α,AB∥平面α,动点P∈平面α,则当|PQ|最小时,∠APB取得最大值.

图3

3 延伸思考

3.1 思考1

在结论1中,如果把条件“AB∥l”换成“AB⊥l,且线段AB位于直线l一侧”,如何探寻∠APB的最大值?

首先这个问题是常见的,例如,人教A版必修5第113页B组第2题:

如图4,树顶A离地面am,树上另一点B离地面bm,在离地面cm处的C处看此树,离此树多远时视角最大?

图4

这道题可以通过两角差的正切公式加基本不等式来解决:

图5

3.2 思考2

在结论1中,如果把条件“AB∥l”换成“线段AB位于直线l一侧”,如何探寻∠APB的最大值?这个问题如果按照思考1的思路定量分析,需要引入很多参数,而且推导过程也极其复杂,现在按照结论1的思路定性分析,碰到具体问题再具体分析即可.

如图6,过点A,B作圆O,使得圆O与直线l相切于点C,在l任取一点P,点P异于点C,直线PB交圆O于点P',连接P'A,则∠ACB=∠AP'B>∠APB,问题得证.

图6

3.3 米勒定理

可以发现,思考2解决的方法和结论1的完全相同,在网上搜索最大角问题时,发现上面的结论其实就是米勒定理,不过网上的内容基本上是与初中数学有关,事实上这个最大角问题在高考、模考、高中数学竞赛中也常常出现.下面将米勒定理的内容及证明叙述如下:

已知点A,B是角MO'N的边ON上的两个定点,点P是边OM上一动点,则当且仅当ΔABP的外接圆与边OM相切于点C时,∠APB最大.

证明：如图7,过点A,B作圆O,使得圆O与直线OM相切于点C,在OM任取一点P,点P异于点C,直线PB交圆O于点P',连接P'A,则∠ACB=∠AP'B>∠APB,问题得证.当∠APB最大时,P、C两点重合,OC2=OA·OB.

图7

有了米勒定理,不但可以定性分析∠APB最大值问题,还可以定量分析得到P的确定位置.

4 反思

每位教师由于学习经历、工作背景、兴趣爱好不同,所以在提升专业素养时,提升的方向、提升的深度各有不同.我们应该从自己的教学实践中发现问题、提出新问题,在发现和解决问题中,提升能力、拓展视野.