一道安徽赛区预赛试题的多种证法与思考

陕西师范大学附属中学 (710061) 张锦川

一、题目呈现

二、证法展示

三、反思总结

证明1一开始“一路等价”,是证明不等式和寻找原不等式等号成立的充要条件的一个重要思路;接下来要进行猜测和判断,再进一步尝试证明.值得注意的是这个证明方法和教材里推导椭圆标准方程的方法有些类似,可以认为是受到教材内容的影响.同时,这个方法对逻辑关系和运算量的要求比较高,要扎扎实实,步步为营.

证明2是对证明1在中间过程中的一个方向的调整,从结构上主动联系向量不等式,通过构造,最终证明出结果.

证明3也是构造向量,利用另外一个不等式进行证明.现在再去思考,如果经历了证明1和证明2,证明3才会显得更有价值,因为这样思考的过程会暴露得更加充分,思考方向的调整也更有依据和选择性.