从一道模拟题探寻最小二乘法的简证

江西省赣州中学 (341000) 廖志勇 赖小恬

在线性回归分析中,教师对学生的要求就是套用公式求解线性回归方程,究其原因:一是课本推导的过程难以理解;二是对考查的要求局限公式的简单应用,这样往往忽略线性回归方程公式生成的过程,以及公式变形和非线性拟合的困难,学生在解题过程因不明白其原理导致在知识的应用停留在简单和肤浅的层面.厦门市2023届高三毕业班第二次质量统计概率检测试题,为我们教学警示,应该更加明白:高考数学关注数学的本质,强调理性思维的价值,注重数学的基础性,突出关键能力考查,应该引导学生对数学概念、方法有更深刻的认知,在基础性、综合性、应用性、创新性等方面都进行了全面深入的考查.

一、试题呈现

(2023届厦门市高三毕业班第二次质量检测)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底,我国移动物联网连接数达18.45亿户,成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.图1是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图,其中年份2018-2022对应的t分别为1-5.

图1

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),并推断它们的相关程度;

附:样本相关系数r=

二、最小二乘法简证

三、等式恒等化简

四、试题求解

著名数学家陈景润先生在谈起数学解题时说过:“题有千变,贵在有根”.题根是一个题系中的源头,是一个题群中的典例,把握住了一个题根,叩源推委,通过平时练习和反思,积累做题方法和技巧,便能寻觅解决此类问题的“金钥匙”.最小二乘法思想的理解和证明是处理回归分析的题根,只有真正理解其原理才能灵活应用.