一道与斜率和积关联的定值定点问题溯源与推广

广东省惠州仲恺中学 (516229) 陈伟流 黄 培

作为解析几何中的经典知识背景,“手电筒模型”内容在近年的全国高考试题中频繁亮相.试题通常以斜率和积为定值,直线过定点或有定斜率的呈现形式灵活有序地在条件和结论进行合理编排,以热点和难点的试题定位吸引了一线师生和专家学者的广泛关注.

文[1]中笔者以定点在圆锥曲线上为例,探索出在斜率和积为定值的前提下,动直线有定斜率或过定点的属性;文[2]以圆锥曲线的右焦点为例,全面论证双弦中点所在直线过定点的有关命题及其逆命题.在此基础上,笔者从2023届汕头一模的解析几何试题出发,经历推理论证,进一步得出双弦中点所在直线有定斜率或过定点的相关性质.

1 试题再现

如图1,已知E(m,n)为抛物线x2=2py(p>0)内一定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线交于A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点.

图1

⑴若m=0且k1k2=-1,求△EMN面积的最小值;

解：⑴(S△EMN)min=p2(过程略).

⑵设A(x1,y1),B(x2,y2),联立

评析：试题以双直线与抛物线的位置关系为载体,因试题中涉及的定点、直线、曲线等参数过多,着重考查运算求解,逻辑推理,数学建模能力,体现了以数学运算,逻辑推理,数学抽象等核心素养为测评导向的命题特点;同时以两弦中点所在直线为研究对象,既反映对解析几何中大量必备知识的考查,又打破了常规高考试题的命题套路,充分体现“四翼”(基础性、综合性、应用性、创新性)的鲜明特点,强调新时代高考中知识融会贯及综合运用等方面的重要性,传达出关注学生从“解题”到“解决问题”的学科素养的的培养理念,双向引导师生在高考备考中加强教学一体,教考衔接的新方向.

2 背景溯源

经历上述定点问题的推理论证可知:无论定点E在抛物线内部或外部,均只影响直线MN所过定点的纵坐标,且直线MN的斜率只与两直线的斜率和有关.经笔者深入探究,有

命题2 已知E(m,n)为抛物线x2=2py(p>0)内(或外)一定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线交于A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点,若k1k2=λ(λ≠0),则直线MN过定点(0,n-pλ).

3 纵向深化

若改变抛物线的开口方向,则上述命题在新的几何载体中是否仍有一致性?以抛物线y2=2px(p>0)为例,经笔者探究,有

命题4 已知E(m,n)为抛物线y2=2px(p>0)内(或外)一定点,过E作斜率分别为k1,k2(k1k2≠0)的两条直线,与抛物线交于A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点,若k1+k2=λ(λ∈R),则直线MN过定点.

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立

命题5 已知E(m,n)为抛物线y2=2px(p>0)内(或外)一定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线交于A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点,若k1k2=λ(λ≠0),则直线MN过定点.

证明：在②式中令y=0得x=-t1[p(t1+t2)-n]+pt12+m-nt1) =m-pt1t2=m-pλ,故直线MN过定点(m-pλ,0).

可见,开口向上与向右的抛物线在定点或定斜率上的命题上有着前后呼应的关联性,充分体现了数学内在知识蕴含的对称美、和谐美、简洁美和统一美.

4 横向推广

将抛物线的载体背景进一步类比迁移到圆锥曲线体系,经笔者深入探究,有

证：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立

命题10,11,12与椭圆背景中的证明相似,故从略.

5 反思回顾

命题1到命题12的表述均是以斜率和积为定值作条件,以直线过定点或有定斜率为结论,若将其在条件和结论上重新排列,经笔者研究,得到的逆命题依然成立,故上述命题在逻辑深度上可进一步为概括阐述为充要条件,此处不再赘述.

随着新课程标准在教学指导中的稳步推进及“三新”背景下课程改革的不断实施,高考试题命制已从能力立意转变为素养导向,凸显数学核心价值的引领,关注学生对所学知识的融会贯通及综合运用,注重从解题到解决问题等思维品质的培养,这无疑给广大一线师生的备考工作提出了不小的挑战.所以身为一线教师,要研透,吃透教材资源及经典试题,从专家学者的高度明晰试题命制的底层逻辑,才能以高观点的思想正面引导师生的教与学,时刻提升学生对数学本源,核心概念等本质内容掌握效果,从而带领学生跳出题海,完成高质量的备考工作,在师生解题,研题,赏题的课堂中培育好学生的核心素养.