让“数学探究活动”成为高三复习的主旋律

陈艳 郭建华

摘 要： 以2019版苏教版必修二一道习题为例，通过数学探究活动，积极探索多样化的教学方式和多元化的学习形式，充分体现学生的主体性，促进学生数学核心素养的全面发展.

关键词： 高三复习；数学探究；核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作探究，并最终解决问题的过程，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动.特别是对于高三的数学课堂，更应该重视数学探究活动，提升复习的质量，落实新课程、践行新课标、培育学生的数学学科核心素养，既重视教，更重视学，帮助学生学会学习，增强解决问题的能力.

笔者在复习“解三角形”时，选择了课本上一道习题作为探究素材，开展了一次数学探究活动，旨在问题解决的过程中，发展学生的“四基”和“四能”，增进复习的有效性，培养学生的思维品质、实践能力和创新意识.此次活动取得不错的教学效果，现将教学过程整理如下.

1 问题呈现

问题   （2019版苏教版必修二教材 P  104复习题7） ：如图1所示，已知∠A为定角，P，Q两点分别在∠A的两边上，PQ为定长，当PQ处于什么位置时，△APQ面积最大？

2 教學实践

根据自组织理论，适度开放的数学课堂教学环境，将有利于“数学探究活动”的开展.学生是学习的主体，要为学生搭建探究的平台，让学生的思维动起来，让学生真正成为建构知识和课堂学习的主角.在远离平衡态的前提下，通过教师、学生、探究素材和方式等多维交互，让学生完成对知识的建构，实现教学过程从“他组织”向“自组织”的转变，让学生的认知从“无序”逐渐演变成“有序”，从而学会学习.

2.1 解法探究

学生很容易想到利用余弦定理求解，其解法如下.

解法1：  如图2所示，设∠A＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a为定值.

由余弦定理，得a2＝x2+y2-2xy cos  α≥2xy-2xy cos  α＝2xy（1- cos  α）.

因为1- cos  α＞0，

所以xy≤ a2 2（1- cos  α） ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin  α≤ α2 sin  α 4（1- cos  α）  ＝ a2 4 tan   α 2  ，当且仅当x＝y时取等号，

因此，当AP＝AQ时，△APQ面积最大.

解法1利用余弦定理化角为边，并结合基本不等式求解，解法简洁、运算简单.

在上述解法的基础上，利用正弦定理也是很自然的一种想法，其解法如下.

解法2  ：如图2所示，设∠A＝α，∠APQ＝β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a为定值.

在△APQ中，由正弦定理，得 x  sin  （α+β） ＝ y  sin  β ＝ a  sin  α ，

即x＝ a sin  （α+β）  sin  α ，y＝ a sin  β  sin  α ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin  α＝ a2 sin  （α+β） sin  β 2 sin  α ＝ a2 4 sin  α ［ sin  （2β-φ）+ cos  α］，其中 tan  φ＝  cos  α  sin  α ，

当 sin  （2β-φ）＝1时，（S △APQ）  max ＝ α2 4 sin  α （1+ cos  α）＝ α2 4 tan   α 2  .

解法2利用正弦定理和辅助角公式，将问题转化为求三角函数的值域，是问题求解的通性通法.

由于问题的背景为三角形，不一定就局限于用正余弦定理求解，有的学生从平面几何的视角求解，其解法如下.

解法3：  如图3所示，过点A作AB⊥PQ于点B，设∠PAQ＝α，PQ＝a，∠BAQ＝β，AB＝h，其中α，a为定值.

由图3易知，h· tan  （α-β）+h· tan  β＝a，即h＝ a  tan  （α-β）+ tan  β ＞0，

又 tan  α＝  tan （α-β）+ tan  β 1- tan  （α-β）· tan  β ，

所以 tan  α-［ tan  （α-β）+ tan  β］＝ tan  α［ tan  （α-β） tan  β］≤ tan  α· ［ tan  （α-β）+ tan  β］2 4 ，

令x＝ tan  （α-β）+ tan  β，

则 tan  α·x2+4x-4 tan  α≥0，解得x≥ 2-2 cos  α  sin  α ，x≤ -2-2 cos  α  sin  α （舍去），

当x＝ 2-2 cos  α  sin  α 时，h取得最大值，此时S △APQ最大，

所以（S △APQ）  max ＝ 1 2 ah＝ 1 2 a· a  2-2 cos  α  sin  α  ＝ a2 4 tan   α 2  .

解法3利用正切两角和差公式和PQ长建立方程，并借助基本不等式求解，运算过程较为复杂.

在解法2的基础上，有的学生发现该三角形的外接圆是定圆，于是利用数形结合思想求解，其解法如下.

解法4：  设B为PQ的中点，O，r分别为△ABC外接圆的圆心和半径，

令∠A＝α，PQ＝a，其中α，a为定值，则r＝ a 2 sin  α .

如图4所示，点A在优弧PQ 上运动（不与点P，Q重合），

要使（S △APQ）  max ，只要点A到直线PQ的距离h最大，

由图4易知，h≤AB≤OA+OB，当A，O，B三点共线时，h  max ＝r+OB，

在 Rt △OPB中，OP＝r，∠OPB＝  π  2 -α，故OB＝r· sin  ∠OPB＝r cos  α，

所以h  max ＝r+r cos  α＝2r cos 2  α 2 ＝2 cos 2  α 2 · a 2 sin  α ＝ a 2 tan   α 2  ，

所以（S △APQ）  max ＝ 1 2 ah  max ＝ 1 2 a· a 2 tan   α 2  ＝ a2 4 tan   α 2  .

解法4利用几何的方式求解，联想三角形的外接圆，使得题目直观形象、简单易懂，这是求解该类问题的优法.其实，解法4利用的是正弦定理的几何意义，更能体现问题的本质.

下面，从几何的视角对该类型的问题做如下探究.

2.2 性质探究

在△ABC中，若∠A为定角，BC为定长，由正弦定理，得 BC  sin  A ＝2r（r为△ABC外接圆的半径）为定值，则点A在半径为r的圆弧上运动.引导学生发现，当A为锐角时，点A在优弧BC 上运动，如图5所示；当A为钝角时，点A在劣弧BC 上运动，如图6所示.

我们不妨把上述三角形中的这类问题称为“定边对定角”问题.

根据以上分析，让学生探究获得如下的一般性结论：

结论1  ： 在△ABC中，若∠A为定角α，BC为定长a， 则△ABC面积的取值范围为 0， a2 4 tan   α 2   .

问题1：  如图7所示，在△APQ中，∠PAQ为定角，PQ为定长，△APQ的周长存在最大值吗？

分析：  設∠A＝2β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中β，a为定值.

要求△APQ的周长取最大值，只要求x+y取最大值.

可以利用代数的方式求解，也可以从几何的视角思考.

如图7所示，延长PA至点B，使得AB＝AQ，连接BQ，

易求∠PBQ＝β，其对边为PQ，则△BPQ在定圆O 1上，

由正弦定理，得圆O 1的半径R＝ a 2 sin  β ，显然，当PB为圆O 1的直径时，x+y取得最大值，即（x+y）  max ＝2R＝ a  sin  β ，

此时△APQ周长的最大值为a+ a  sin  β .

当动点B接近点Q（或点P）时，S △BPQ接近0，故△APQ周长的取值范围为 2a，a+ a  sin  β  .

于是，得到如下更一般的结论.

结论2：  在△ABC中，若∠A为定角2β，BC为定长a，则△ABC周长的取值范围为 2a，a+ a  sin  β  .

问题2：  如图8所示，在△APQ中，∠A为定角，PQ为定长，根据问题1求解PA+AQ的思路，能否求解PA+kAQ（k＞0）的范围？

解： 设∠ABQ＝β，∠A ＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a为定值.

延长PA至B，使得AB＝kAQ，则PA+kAQ＝PB，连接BQ，

在△ABQ中，由正弦定理，得 AB  sin  ∠AQB ＝ AQ  sin  B ，即 ky  sin  （α-β） ＝ y  sin  β ，

化简整理，得（k+ cos  α） sin  β＝ sin  α cos  β.

（1） 当k+ cos  α＞0时，则 tan  β＝  sin  α k+ cos  α ＞0，故 sin  β＝  sin  α  k2+1+2k cos  α  ，即β为定角，其对边为a，故点B在定圆O 2的优弧PQ 上运动.

若α-β∈ 0，  π  2  ，则 tan  （α-β）＝ k sin  α 1+k cos  α ＞0，即k cos  α＞-1，由图8易知，当PB为圆O 2的直径时，PB取得最大值，此时，△PBQ为直角三角形，PB＝ a  sin  β ＝ a k2+1+2k cos  α   sin  β ，则 min {a，ka}＜PB≤ a k2+1+2k cos  α   sin  β .

若α-β∈   π  2 ， π  ，则 tan  （α-β）＝ k sin  α 1+k cos α ＜0，即k cos  α≤-1，此时k＞1，所以a＜PB＜ka.

（2） 当k+ cos  α≤0时，  π  2 ≤β＜ π ，点B在定圆O 2的劣弧PQ 上运动，如图9所示，此时0＜k＜1，故ka＜PB＜a.

3 教学反思

数学探究是围绕着一个学生能够提出、发现、解决、理解、拓展的问题或问题串展开的过程.在探究过程中强调学生的自主性、开放性、实践性，强调“问题”和“问题意识”，重视学生主动学和学的过程.

3.1 以探究促思维，教会学生思考

在高三数学复习中，不仅要教学生正确的思考方法，更应该让学生学会思考.数学探究活动是一个非常好的发展学生思维的载体，引导学生从类比、模仿到自主创新，让学生经历“发现和提出数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，自主研究、合作研究论证结论”的过程.在数学探究活动过程中，教师要适度点拨，引领学生深度思考，不仅解决一类问题，更应该让学生感受数学的“源”与“流”和价值，能用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.

3.2 以探究促评价，发展学生素养

教师应引导每一位同学都参与数学探究活动，及时给予学生多元化的评价.通过评价发现学生已经掌握了哪些知识与技能，得到了哪些方面的提升，已经具备了哪些关键能力，还存在哪些不足之处等，以此更好地促进学生的学.基于数学核心素养的数学探究活动，在形成性评价的过程中，不仅要关注学生对知识技能的掌握程度，更应该多关注学生在实际活动过程中的亲历和体验，注重学生学习方式的转变，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的能力.