高中数学中变式训练教学的实效性探析

艾焰

摘 要： 高中数学相比初中阶段所学的数学知识有更强的理论性和逻辑性，难度也增加了很多.为取得更好的教学效果，教师经常会使用变式训练这一教学方式来促使学生增强对知识和方法的理解，让学生在解题过程中能迅速理清解题思路，得到正确有效的解题方法.

关键词： 高中数学教学；变式训练；实效性

1 变式训练的必要性

变式训练教学是指学生在掌握了基本知识和基本解题方法之后，在原有的问题上进行适当的改变，这种改变可以是对原问题中的部分条件加以调整，也可以对原问题的结论进行调整，变成一个新的问题.新问题与原问题在所用知识和解决方法上有一定的关联和相似度，但又不完全一样，这就对学生带来一定的挑战，好的变式训练能高效地培养学生对知识的理解能力以及对问题的解决能力，能促使学生拓展思维，增加思考的广度和深度，极大地增强课堂的教学效果.

2 变式训练的几点基本原则

2.1 明确变式训练的目标

我们的课堂始终是围绕明确的教学目标开展的有效活动，所设计的变式训练也是为了更好地完成教学目标而进行的.数学课堂中的每一个例题都有明确清晰的目标导向，例题对应的变式训练的功能则是更加全面深入地完成这一目标.

2.2 提高学生参与变式的主动性

变式训练的作用是帮助学生更全面深刻地理解某个知识点或某种解题方法，遇到新问题时也能轻松自如的应对.高中生面对的数学问题有很强的逻辑性和系统性，思维难度也较大，所以在进行例题的变式时，应积极地启发学生，让学生在掌握例题的数学本质的基础上，去提出、分析并解决新问题.在这一过程中，学生会对这一问题所涉及的知识点和方法有一个全面深入的思考，并做一些预判，如何改会降低问题的难度，如何改会加大难度，或者改动某个条件和某数据就会变成不一样的问题等等.这种研判的过程正是学生主动思考自主创新的过程，当学生思考成熟后提出的变式就成了学生原创的数学题，这会极大提升学生学习数学的自信心和满足感，刺激学生学好数学的强烈的愿望.所以教师一定要引导学生积极主动地参与到变式训练的研究中来.

2.3 增加变式训练的思维广度与深度

在教学过程中，基于每堂课的教学内容、教学目标不同，我们对变式训练的要求也不同.我们有的课以概念定理为主，有的课以专题复习为主，也有的课以练习讲解为主，不同的课有不同的教学任务，这就对变式训练提出不同的要求.比如以概念为主的新授课，做变式时应为概念的辨析服务；而我们在以例题讲解、定理应用为主的课堂中，所设计的变式就要求在数学思维方面有所拓展，引导学生从多个角度多个层次去改编原有的问题，增加课堂的逻辑思维量.这对于提高课堂的思维容量、锻炼学生的逻辑思维能力有极大的帮助.

3 变式训练的运用策略

3.1 深化学生对数学概念的理解

高中数学中，学生需要掌握许多抽象的数学概念，这些基本概念是高中数学的根基，它们揭示了数学知识的本质与内涵.许多同学在初学时无法理解或者只是一知半解.这时我们需要借助变式训练，将抽象的数学概念借助某个对象来形象化、具体化，体现出概念的外延，使学生更容易接受.比如高一阶段学生在學习函数性质时，有一个重要概念是函数的单调性，单调性的概念是：设函数y=f（x）的定义域为D，且ID.如果对于任意的x 1，x 2∈I，当x 1＜x 2时，都有f（x 1）＜f（x 2），则称y=f（x）在I上单调递增.对于这个概念的掌握分为两个方面，一是对于任意两个字的理解，如果一味地和学生强调x 1，x 2是区间I上的任意两个量，学生依然觉得很抽象不易理解，这时如果给学生一个变式：如果1，2是区间I中的两个量，且f（1）＜f（2），能否判断函数f（x）在区间I上单调递增？学生经过思考，立刻会得出否定的答案，因为很容易举出满足条件但是在区间I上却不是单调递增的函数.所以通过这一简单的变式，能帮助学生更好地理解任意这两个字的内涵.二是对“当x 1＜x 2时，都有f（x 1）＜f（x 2）”这句话的理解，学生用自己的语言描述就是自变量小对应的函数值也小.这句话言简意赅，通俗易懂，但是我们需要将其转化为数学表达式.这时再引导学生给出另一个变式：如果对于任意的x 1，x 2∈I，均满足（x 1-x 2）［f（x 1）-f（x 2）］＞0，函数f（x）在区间I上具有单调性吗？学生通过该变式会发现函数单调递增的本质是（x 1-x 2）与［f（x 1）-f（x 2）］同号，许多学生会得出另一个变式：如果对于任意的x 1，x 2∈I，均满足 f（x 1）-f（x 2） x 1-x 2 ＞0，则函数f（x）在区间I上单调递增.这样的变式训练能很好地帮助学生深刻地理解那些抽象的数学概念.

3.2 完善学生的知识体系

高中数学的课堂教学中，对例题的变式训练的研究会极大地提高课堂教学效果，提升学生解决一系列问题的能力.

比如这样的一个问题：已知x，y满足x2+y2=1，求x+2y的取值范围.这个问题常见的解决方法是三角换元，令x= cos  α，y= sin  α，α∈ R ，将目标函数转化为三角函数求值域.另一种解法是令S=x+2y，则y=- 1 2 x+ 1 2 S，学生很容易能得到当直线与圆相切时S分别取到最大和最小值.这个问题在做变式训练的时候可以引导学生将条件做适当的变化，x2+y2=1表示的是单位圆的方程，学生自然能想到改变圆心坐标或改变半径得到不同的圆方程，也能想到将圆方程改为椭圆方程；再引导学生从另一个角度做变式训练改变目标函数时，学生想到x+2y是二元一次函数，它与直线的纵截距有关系，而我们学过的能直接表示几何量的数学表达式还有一次比一次的分式函数（它表示斜率），还有x，y一次式的平方和（它表示距离的平方）.沿着这个思路，学生很自然地想到这样的变式训练.

变式1：  已知x，y满足x2+2y2=1，求x+2y的取值范围.

变式2：  已知x，y满足x2+y2=1，求 y-2 x-3 的取值范围.

变式3：  已知x，y满足x2+y2=1，求（x+1）2+（y+2）2的取值范围.

由一个例题引出这样的三个变式训练，学生对于已知二元的约束条件求二元的目标函数的取值范围问题这样的一类型题就有了较为深刻的理解和掌握，真正做到舉一反三，使自己的数学知识以及解题方法系统化，取得很好的学习效果.

3.3 强化学生的探索性思维

高中数学中，学生经常会遇到一些探索性的问题，这类问题对于学生来说是一个难点.如果这类问题能得到有效的解决，将会极大提升学生的数学学习能力.而适当的变式训练就是解决这类问题的行之有效的方法之一.比如我们在高三立体几何的复习课中，遇到这样一个问题：

在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E是边AB上的动点，且AE =λ AB ，λ∈［0，1］，F是BC的中点，是否存在λ，使得直线BD 1⊥平面B 1EF.

这是一个探索性的问题，若存在满足条件的λ，使得直线BD 1⊥平面B 1EF，则直线BD 1一定垂直于直线B 1F，所以直线BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1与直线B 1F垂直，而在正方形BCC 1B 1中这样的垂直关系不成立，所以不存在满足条件的λ.在题目的分析过程中，发现直线BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1与B 1C满足垂直关系，所以可以引导学生对这一题做一个变式训练，将结论中的直线BD 1⊥平面B 1EF改为直线BD 1⊥平面B 1EC，则存在λ=0满足题意.

对于探索性问题进行适当的变式训练，在改变条件或结论的过程中能逐渐揭示问题的本质，能有效地降低这类问题的难度，能有效增加学生解决这类问题的能力和信心.

4 结束语

变式训练的教学在高中数学中是教师们的一大法宝，通过变式训练，使学生能更深刻地理解数学中的概念、定理，更灵活地运用各种解题方法，拓展解题思路.变式训练也能帮助学生提高知识迁移应用能力和创新思维能力，更加全面地提升数学的学科素养，是教师教学、学生学习过程中不可或缺的重要方式.

参考文献：

［1］ 史宁中，王尚志主编.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］ 刘军，何志奇主编.高中数学新课标案例解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2020.