代数思维运算，几何思维直观

刘娟娟

摘 要： 解三角形问题融合了初中平面几何与高中三角函数等知识，是数学知识交汇的一个重要桥梁，成为高考数学试卷中的一个重要主干知识点.结合一道高考真题进行实例分析，从不同思维视角切入，总结解题规律，启示教学学习，指导数学教学与学习.

关键词： 解三角形；三角函数；平面几何；面积

解三角形模块知识是高考解答题中的一个重要主干知识，该问题的解决离不开平面几何、三角函数、平面向量等相关知识，有时还交汇融合了函数与方程、不等式、平面解析几何等其他知识，是落实数学新课标中“在知识交汇点处命题”的指导思想，成为高考命题中的一个基本考点，倍受各方关注.

1 真题呈现

【高考真题】   （2023年高考数学新高考Ⅰ卷·17） 已知在△ABC中，A+B=3C，2 sin  （A-C）= sin  B.

（1） 求 sin  A；

（2） 设AB=5，求AB边上的高.

2 真题剖析

本题通过两个小题的合理设置，以题设中的三角形三内角的线性关系式，以及三内角的三角函数关系式为问题背景，通过三角恒等变换公式的应用与转化来求解相应角的三角函数值；并在此基础上，借助三角形中一边的长度条件，结合平面几何图形的性质来确定该边上的高.

该问题相对比较基础，作为解答题的第一题，难度中等.问题的合理设置，很好地考查了考生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

在具体解题时，要善于审题，巧用“定理”（三角形的内角和定理、正弦定理等），妙借“公式”（诱导公式、三角恒等变换公式、三角形的面积公式等），采用有效的策略，合理化归，巧妙转化，优化解题过程，提升解题效益.

3 真题破解

解析：  （1）   方法1  （三角恒等变换法1）

由于A+B=3C，结合三角形内角和定理A+B+C= π ，可得C=  π  4 ，

由2 sin  （A-C）= sin  B，可得2 sin   A-  π  4  = sin    3 π  4 -A ，

展开有2 sin  A cos    π  4 -2 cos  A sin    π  4 = sin   3 π  4  cos  A- cos   3 π  4  sin  A，整理可得 sin  A=3 cos  A.

又 sin 2 A+ cos 2 A=1，可得 cos  A=  10  10 ， sin  A= 3 10  10 .

方法2  （三角恒等变换法2）

由于A+B=3C，结合三角形内角和定理A+B+C= π ，可得C=  π  4 ，

由2 sin  （A-C）= sin  B，可得2 sin  （A-C）= sin  （A+C），

展開有2 sin  A cos  C-2 cos  A sin  C= sin  A cos  C+ cos  A sin  C，整理有 sin  A cos  C=3 cos  A sin  C，

可得 tan  A=3 tan  C=3 tan    π  4 =3，则有 sin  A=3 cos  A.

又 sin 2 A+ cos 2 A=1，可得 cos  A=  10  10 ， sin  A= 3 10  10 .

解后反思：  解三角形中涉及内角的三角函数值的求解，往往离不开三角恒等变换公式的应用.而不同视角的三角形内角关系的变换，也为不同视角的三角恒等变换公式的应用提供基础，有效开拓逻辑推理的思维视角，殊途同归.

（2）   方法1  （三角形面积法）

由（1）得C=  π  4 ， cos  A=  10  10 ， sin  A= 3 10  10 ，

所以 sin  B= sin  （A+C）= sin  A cos  C+ cos  A sin  C= 2 5  5  ，

利用正弦定理，可得 AB  sin  C = AC  sin  B = BC  sin  A ，则有 5   2  2  = AC  2 5  5  = BC  3 10  10  ，解得AC=2 10 ，BC=3 5 ，

而△ABC的面积S △ABC= 1 2 AC·BC sin  C= 1 2 ×2 10 ×3 5 ×  2  2 =15，

设AB边上的高为h，则有S △ABC= 1 2 AB·h= 1 2 ×5h=15，解得h=6，所以AB边上的高为6.

方法2  （正弦定理法）

由（1）得C=  π  4 ， cos  A=  10  10 ， sin  A= 3 10  10 ，

所以 sin  B= sin  （A+C）= sin  A cos  C+ cos  A sin  C=  2 5  5 ，

利用正弦定理，可得 AB  sin  C = AC  sin  B = BC  sin  A ，则有 5   2  2  = AC  2 5  5  = BC  3 10  10  ，解得AC=2 10 ，BC=3 5 ，

设AB边上的高为h，则有h=AC sin  A=2 10 × 3 10  10 =6，所以AB边上的高为6.

方法3  （平面几何法1）

由（1）得C=  π  4 ， tan  A=3 tan  C，

在△ABC中，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点C作CH⊥AB，垂足为H，

如图1所示，设AE=x，则BE=CE=3x，在 Rt △ABE中，AB= 10 x=5，解得x=  10  2 ，

利用等面积法可得EF= x×3x  10 x = 3 2 ，

结合比例性质可得 EF CH = AE AC = 1 4 ，所以CH=4EF=6，所以AB边上的高为6.

方法4  （平面几何法2）

由（1）得C=  π  4 ， tan  A=3 tan  C， cos  A=  10  10 ，

在△ABC中，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点C作CH⊥AB，垂足为H，

由于AB=5，则有AE=AB cos  A=  10  2 ，

则有BE=CE=3AE= 3 10  2 ，可得AC=AE+CE=2 10 ，

利用等面积法可得CH= AC×BE AB = 2 10 × 3 10  2  5 =6，所以AB边上的高为6.

解后反思：  求解三角形中对应边的长度问题，往往是借助对应边所在的三角形的结构特征，从解三角形思维、平面几何思维等角度突破.而涉及三角形中的高的长度问题，经常用三角形的面积、三角函数的定义等来转化与应用，这些都是突破问题的关键所在，也是解决问题的切入点.

4 变式拓展

在“一题多解”的基础上开拓并发散思维，举一反三，灵活变通，巧妙进行“一题多变”，达到“一题多得”的目的.

变式   已知在△ABC中，C为钝角， sin  （A+B）= 3 5 ， sin  （A-B）= 1 5 .

（1） 求证： tan  A=2 tan  B；

（2） 设AB=6，求AB边上的高.

解析：   （1） 由于 sin  （A+B）= sin  A cos  B+ cos  A sin  B = 3 5 ，

sin  （A-B）= sin  A cos  B- cos  A sin  B= 1 5 ，

以上兩式变形并整理可得 sin  A cos  B=2 cos  A sin  B，

两边同时除以 cos  A cos  B，可得 tan  A=2 tan  B.

（2） 由（1）知， tan  A=2 tan  B，

利用平方关系可得 cos  （A+B）= 1- sin 2 （A+B） = 4 5 ，

则有 tan  （A+B）=  sin  （A+B）  cos  （A+B） = 3 4 ，而 tan  （A+B）=  tan  A+ tan  B 1- tan  A tan  B = 3 4 ，

结合 tan  A=2 tan  B，整理可得2 tan 2 B+4 tan  B-1=0，解得 tan  B= -2+ 6  2 （负值 tan  B= -2- 6  2 舍去），

所以 tan  A=2 tan  B= 6 -2，

设AB边上的高为CD，则有AB=AD+DB= CD  tan  A + CD  tan  B = 3CD  6 -2 =6，解得CD=2 6 -4，

所以AB边上的高为2 6 -4.

5 教学启示

5.1 代数思维

解三角形问题中的代数思维，是以解三角形中定理应用实现三角形中边与角的转化，借助三角恒等变换公式加以合理应用；以平面直角坐标系的坐标运算，借助平面解析几何思维来合理运算.

代数思维中，经常还要综合函数与方程、三角函数、不等式、平面解析几何等相关知识来分析与处理.

5.2 几何思维

解三角形问题中的几何思维，是以解三角形的本质出发，作出对应的平面几何直观图形，借助边或角之间的几何关系，结合平面几何知识进行合理直观想象与逻辑推理来分析与求解问题.

几何思维中，经常还要综合平面向量、三角函数、平面解析几何等相关知识来分析与处理问题.