立足一般观念，关注研究思路

朱王乔 刘镱

摘 要： 立足于引导学生感悟并尝试自主构建研究数学对象的一般观念和研究思路.以“根式”第一课时的教学为例，一方面融入了对研究根式这一内容本身知识维度和方法脉络逐步生成的过程；另一方面，也展现了基于从特殊到一般视角研究数学对象时研究路径逐步形成的过程.之后分別阐述了对怎样在教学中引导学生自主构建知识维度、方法脉络、研究路径以及怎样围绕以上三方面以学定教的思考.

关键词： 根式;一般观念;研究思路;教学案例

1 引言

新高考改革以后，高考选拔人才的方式已经逐渐从“考知识”转变为“考能力”和“考素养”［1］，同时《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也强调了“四基”“四能”以及“三会”［2］.这些都对数学学科的课堂教学提出了新要求：课堂教学不能是纯粹的概念、定理、公式和法则的堆砌，教师应当立足一般观念，关注研究思路，不仅要让学生做到“知其然”和“知其所以然”，还要让学生领悟到“何以知其所以然”.

一般观念指关于一般性事物的观念.章建跃博士认为在数学教学中也存在“一般观念”，数学教学中的一般观念是对数学内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是数学教学应当遵循数学教材的体系结构［3］.在“一般观念”的要求下，教师需要引导学生用“联系”的观点来看待数学知识，从而帮助学生理解知识点之间的关系，并逐步搭建知识框架，构建知识体系.在中学数学的课堂中，对同一类数学对象的研究都是按照一定的“套路”来进行的，以研究思路贯穿教学实际上是让学生经历一遍完整的数学研究过程，从而对同类数学对象能产生共性的认识.

因此，如何立足于“一般观念”，关注研究思路进行数学教学，教师可以围绕知识维度、方法脉络以及研究路径三方面合理设计教学内容，现以“根式”一节课为例.

2 设计思路解析

本课时选自苏教版必修一4.1.1根式，主要内容包括n次方根的定义和性质以及对指数幂与根式之间转化关系的初步体验.

从知识维度来看，本节课首先将方根的次数由二次、三次推广至任意非负整数次，这实际上是对六则运算进行了一次初步完善.在此之后，利用特殊实例的变形，通过归纳，最终得到指数幂与根式之间的转化关系，这种转化关系其实也是对指数幂运算法则的一种完善.

从方法脉络来看，本节课以“从特殊到一般”的思想方法贯穿始终.无论是举出实例研究n次根式的定义和性质，还是在探究分数指数幂与根式之间的互化时，首先考虑m是n的倍数的情况，都是从特殊情形中归纳出一般的结论.除此以外，在进行性质研究时，教材首先带领学生回顾了二次根式和三次根式的相关内容，接着通过一道课本例题举出具体实例，最后归纳出n次根式的性质，此过程也体现出数学研究中的一般方法脉络：从类比到举例到猜想最后再验证.

从研究路径来看，教材中的编排设计是首先得到了n次方根的定义，接着规定了n次方根的表示形式，最后研究n次方根的性质，体现了数学概念学习由定义到表示到性质的一般结构.同时，本节课通过引入n次根式，研究得到了分数指数幂与根式之间的互化关系，实际上是完成了一个代数对象推广的过程，即以运算为统领，通过引入新的符号定义数，再通过运算性质把新数和原有的数联系起来，使得原有代数体系的内涵得到拓展.

从学生的学情来看，学生在初中阶段已经学习了二次根式、整数指数幂等数学基础知识，掌握了开平方、开立方等数学基本技能，积累了将指数幂从自然数扩充到整数的基本活动经验，为本课时的学习奠定了基础.但是在此之前的学习中，学生们的关注点往往在于如何运用法则进行具体运算，而忽略了对原理的理解，导致学生很难搭建出n次方根和指数幂推广的整体架构，使得学生在课堂上对每个环节的逻辑顺序产生困惑，从而单纯地跟着老师走，容易被动学习.

根据上述分析，本节课制定的教学目标如下：理解n次方根的定义，了解将根式推广至任意非负整数次的必要性；探索并掌握n次方根的性质，感受从特殊到一般的研究路径，发展数学抽象核心素养；掌握分数指数幂与根式之间的互化，了解如此互化的合理性，感悟数学定义的完备性.本节课的教学重点为n次方根的定义、性质以及分数指数幂的定义，设置的教学难点为n次方根性质的探索以及分数指数幂与根式之间的互化.

因此，本节课的设计思路为：让学生在学会n次方根定义的同时，关注到n次方根定义的由来，感受新知识的合理性以及数学的完备性；在研究n次方根性质的同时，合理运用数学方法，经历完整的数学研究的过程；在探究分数指数幂与根式相互转化的同时，感受代数对象推广的研究路径.

3 教学过程解析

引入：  回顾曾学过的运算及其联系.

问题1：  在此之前，我们已经学过哪些运算了？

追问1 1：  这些运算之间有怎样的联系？

追问1 2：  你能举例说明乘方和开方互为逆运算吗？

追问1 3：  将指数改为4、5或者是其他大于3的整数时，你还能得出类似的结论吗，为什么？

设计分析：  本节标题为指数，第一课时的内容为根式，本段教学需要起到承前启后的作用，向前承接初中学过的平方根与立方根以及幂的运算，向后为将整数指数幂推广到分数指数幂、实数范围内幂的运算以及对数和指数运算作铺垫.因此，在引入中设计了对初中运算类型的回顾，通过乘方与开方之间的关系回顾平方根与立方根，从概念的来源上帮助学生理解了指数与根式之间的关系.在回答追问1 3时，学生不难得到关于x4＝a和x5＝a的类似结论，并借助平方根和立方根做出类比说理，进而意识到为了进一步研究指数，需要把已有的开平方和开立方运算推广到一般情况，体会到n次方根的存在性以及学习的必要性.如此设计引入，学生能够非常深刻地感悟到：整个数学的运算系统相对来说是比较完善的，六种运算之间存在一个很好的“对应”关系.这实际上是将“数学定义的完备性以及合理性”这一极其抽象的一般理念和学生较为熟悉的“运算”联系在了一起，便于学生感悟的同时也为后续将整数指数幂的运算法则推广至分数指数幂打好了一个样本.

活动1：  探究n次方根的定义.

问题2：  你能仿照二次方根和三次方根的定义，说说n次方根的定义吗？

追问2 1：  你能举例说明吗？

追问2 2：  给定一个实数a，它有几个n次方根？如何研究这个问題？

设计分析：  在本活动中，教师引导学生根据“引入”环节对平方根与立方根的定义和对 xn＝a的认识归纳出一般意义上n次方根的定义，后立刻通过追问2 1让学生举出具体的例子来加深对此抽象概念的理解，并对定义中关于a做出限定的合理性有所认识.之后，利用追问2 2引导学生回顾实数a的平方根和立方根的个数，进一步提出：“a的n次方根会有几个呢？”、“n次方根的个数与哪些因素相关呢？”，在对这两个问题思考的过程中，引导学生关注到需要对n的奇偶和a的正负进行二维分类，也为活动2中学生分类检验n次方根的性质埋下伏笔.最后，让学生根据四种分类分别举出实例进行验证并说理，合理运用数学方法并经历整个分析、类比、提出猜想、验证猜想、解释结论的研究过程.

学生活动：  学生通过二次方根和三次方根的定义类比得出n次方根的定义：如果xn=a（n＞1，n∈ N ），那么称x为a的n次方根.学生认识到对n次方根个数的讨论可以类比平方根和立方根，进而提出猜想并逐步得到结论.

活动2：  探究n次方根的性质.

问题3：  在此之前我们已经研究了n次根式的表示，接下来该研究什么内容？

追问3 1：  可以从哪些角度研究n次方根的性质？分别如何研究？

追问3 2：  针对 n an  ，你是如何思考的？

追问3 3：  你能解释n次根式的两条性质吗？

设计分析：  活动2与活动1的研究方法基本一致，在学习完概念的定义及表示后直接提问学生接下来该研究什么内容，再开启后文对性质研究.接着，教师引导学生延续前一活动的研究思路，继续类比二次根式的性质，提出对n次方根性质的研究计划.追问3 1的设计不仅能够让学生感受到数学学习从概念到表示到性质的研究路径，还能让学生在教师的引导下经历完整的从类比到举例到猜想再到验证和说理的研究脉络，体会数学研究的一般方法.同时，由于在活动1中学生已经经历过了分类讨论的过程，因此，在研究追问3 2时学生也不难想到需要对n和a进行分类讨论.通过追问3 3，要求学生学会用较为通俗的语言去描述这两条性质，用于从说理的角度引导学生进一步内化理解两条性质.

学生活动：  学生得出接下来需要研究n次方根的性质，基于活动1的经验和平方根以及立方根的性质提出研究角度和相应研究计划.学生提出对两条性质的猜想，并完成对n的奇偶和a的正负的讨论.最后，从定义和举例两个角度解释所得性质.

活动3：  探究分数指数幂与根式之间的互化.

问题4：  关于 n am ，你是如何思考的？

追问4 1：  你能自己设计研究方案对 n am 进行研究吗？

追问4 2：  如此定义a m n 合理吗？

设计分析：  本活动承接对活动2的研究，也与后续教学相衔接.本活动从n次方根 n an 的形式入手，引导学生观察出这条性质实际上是 n am 当中的指数和根指数相同时的情况，进而激发学生思考当指数和根指数不相同时的情况.对于活动3，教师可以引导学生回顾之前几个活动的方法脉络，引导学生想到可以先选取特殊值代入分析，进而发现可以分为m是n的倍数和m不是n的倍数两种情况分别研究，并构建相应的研究计划，感悟分数指数幂和根式之间的转化关系，为后续课程中将整数指数幂推广到分数指数幂做好铺垫.

最后设计的追问4 2对学生来讲是一次认知上的冲击.因为在此前的学习中学生很少涉及到对定义“合理性”的思考，但考察合理性是探究新概念与旧知识之间联系的一个重要环节.教师可以先帮助学生确定思考的方向：首先关注“新概念与旧概念之间是否冲突”，引导学生联系n次根式，学生不难发现当m取1时，正好就是n次根式的定义式；接着关注“新概念作为一个代数对象和运算之间是否冲突”，引导学生联系初中所学习的整数指数幂的运算，从运算的角度进一步理解合理性.以此问题作为一节课的收尾， 一方面是回答了“为什么指数一章节的第一节课是根式”，完成了整个课时的闭环；另一方面也是将完整的代数对象推广的研究路径，以抽丝剥茧的形式呈现给了学生们.

4 启示

4.1 指向一般观念，固“本”溯“源”

要使学生在学习的过程中感受到数学的一般观念，教师不仅要在教学中呈现知识是什么，更需要呈现知识“怎样是”和“为什么是”，使学生在掌握知识的同时追溯知识背后存在的意义和规律.将每个单独的知识点都置于那些具有统摄性的一般观念下，使教学内容编排为连续、紧密的教学进程，帮助学生形成对知识及其研究方法的过程性认识.

4.2 内嵌方法脉络，拆“散”汇“整”

立足“一般观念”的课堂教学不能以堆砌的方式呈现知识点，否则教学内容就会变成一些离散的、不连贯的碎片化知识.教师应当从教材出发，先将教材的前后知识进行解构，然后以“结构”为经、“方法”为脉内嵌入教学当中，重新搭建起整个教学体系，按照课程标准所设置的四条主线进行组织，以体现数学思想方法的一致性与层次性.

4.3 外显研究路径，化“虚”为“实”

“一般观念”是藏在数学知识和数学方法中的“大道理”，本身是极其抽象的，对其的理解必须要通过研究具体的对象来完成，同时在解决具体问题的过程中彰显其力量.因此教师在进行教学编排时不妨直接外显研究路径，在研究数学对象的过程中让学生经历一个从接触、熟悉到领悟再到自觉运用的过程，同时联系前后知识不断接触、反复领悟，当然在必要时也可采取直接讲解的方式，将“一般观念”直接呈现给学生.

4.4 立足思维育人，以“学”定“教”

立足数学育人要求教师时时刻刻以学生为主体、以学情为依据.在教学中通过简化设问、层层追问的方式逐步“逼”出学生的已有经验和思考，在让学生经历完整思考的同时引导学生建立先前学习与当前学习之间的联系，注重为教学决策留出弹性化调整空间，让学生在“最近发展区”中获得最优发展，做到同时兼顾数学思维的两翼——合理推理与逻辑推理的平衡发展.

参考文献：

［1］ 于涵，任子朝，陈昂，等.新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］.课程·教材·教法，2018，38（6）：21 26.

［2］ 史宁中.数学课程标准修订与核心素养［J］.教育研究与评论，2022（5）：18 27.

［3］ 章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.