几何画板平台上的问题探究设计与适时介入策略研究

陈敏军

[摘 要] 本文通过运用几何画板运动变化的特点，阐述几何画板平台上的数学探究问题设计、探索过程和反思过程。在探究过程中，教师根据问题思维的深度，利用几何画板适时介入，根据几何画板的数与形结合的特点，帮助学生探究问题，归纳知识，激发探究的欲望。

[关键词] 几何画板 数学探究 适时介入 反思提高

随着新课改不断深入，在“轻负高质”的理念指导下，数学问题探究教学设计已经被广大数学教师所重视，在数学课堂上呈现了丰富多彩的探究形式。数学问题探究是学生不断尝试、不断思考的过程。我们设计问题探究时，问题不宜过多，在提问难度和范围设计上要贴切学生实际。在教学中，我们要更新理念，转变问题探究的主体对象，保障学生探究问题的时间，提高学生的参与率，使学生的探究过程真实有效。

我们在长期教学研究中，提出了将问题探究建立几何画板平台上，教师利用几何画板适时介入，将抽象问题数学化，通过数与形几何处理，由浅入深。在学生充分思考、探究的过程中，教师利用学生之间相互交流、合作等学习活动形式，引导学生积极参与数学问题的探究活动。

一、创设情境，激发学生的探究欲望

充分利用几何画板运动变化的特点，创设问题情境，激发学生的探究欲望。

探究活动是从问题开始的，但问题的设置需要教师善于把握教材的内容，通过设置问题，让学生产生认知上的冲突，激发学生探究的望。

1.设计以数学实验为背景，使问题具有发现性，让学生体验发现的乐趣；

2.设计数学问题答案的多样性，一题多解，答案不唯一等，培养学生的创造性思维；

3.设计数学问题串，根据学生的认知特点，问题难度由易到难，由浅入深，使问题具有一定的层次；

4.设计学生小组合作学习的问题，培养学生合作的能力。

例如，近几年，初中数学中考屡屡出现利用函数图象探索函数表达式（含字母系数）中的系数取值范围的问题。这类问题往往比较抽象，需要学生理解函数表达式中字母系数的变化与函数图象的变化的规律，例如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的变化与函数图象的变化规律。在教学中，让学生理解系数a，b，c对函数图象的影响，有很大困难。究其原因，主要是学生缺乏抽象思维的能力，仅仅靠老师的传授，得到的一些规律，学生终究还是不理解，就不能运用得到的数学规律来解题。如何让学生直观感受这种数学规律呢？笔者借助几何画板的运动变化功能，适时介入，比较形象地、直观地展现了比例系数的变化引起图象的变化规律。

对于这个问题，我们可以设计一堂数学探究课，让学生经历体验、观察、探究等过程，亲身感受变化过程。

【问题设计目的】经历实验、观察、猜测、验证、应用等思维过程，让学生直观感受二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，图象与系数a，b，c的关系。

【体验】画出二次函数y=x2，y=2x2，y=3x2的图象，试比较他们开口的大小。

【探索】探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的变化与函数图象的变化规律。

当 增大时，二次函数的开口是怎样变化的？b，c的变化对二次函数的图像形状有什么影响？对图像的位置有影响吗？

二、根据学情，适时介入几何画板辅助

教师根据学生的探究情况，适时、合理利用几何画板辅助介入。

教师是学生探究问题的引导者，只有在学生探索问题有困难的情况下，教师才适时介入学生的探究活动。

1.当学生能探究结果的数学问题，教师不需利用几何画板辅助介入；

2.当学生探究数学问题具有一定困难时，并且在充分的独立思考的情况下，教师组织学生小组合作学习，利用小组智慧帮助；

3.当小组合作探究仍然存在理解困难时，教师可利用几何画板辅助适时、合理介入，充分利用几何画板的动态过程显示，帮助学生揭示数学量与量之间的关系。

根据前面设计的探究二次函数图象与系数关系的几个问题，我们需要做以下辅助。

【体验】学生独立完成，在动手操作中，直观感受图象的开口大小与a的关系：a的值越大，图象的开口就越大。此问题不需要几何画板辅助介入。

【探索】有了上面的经历，学生可能归纳出：a的值越大，图象的开口就越大。这只是学生初步的感受，而且是在二次项系数a是正数的情况下，得出的一个片面的结论。我们不需要急于纠正学生的这种想法。而且，b和c的值的变化对图像有何影响，学生还没有直观感受。因此，需要几何画板的辅助介入。

（一）几何画板辅助介入过程

1、打开几何画板，建立直角坐标系，在x轴上取一点计算该点的横坐标为a；同样的方法，计算b和 c。绘制二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像；

2、改变a的大小，a的值与二次函数的图像也发生变化。如图1、图2、图3和图4；

3、改变b和c的大小，b的值与二次函数的图像也发生变化。如图5和图6；

（二）观察与归纳

当改变a的大小时，二次函数图像的开口大小也随之改变。当 越大时，二次函数的开口就越小；而b和c的大小變化不影响二次函数的形状，影响函数图像的位置。

三、倡导动手，让学生在体验中思考探究

设计动手操作问题，让学生体验问题探究的思想与方法。几何画板适时介入，解决学生动手操作、思维困难的问题。

新课标明确提出，数学学习要培养学生的动手操作能力。让学生在动手操作中，体验、感受数学的过程。设计一些让学生动手操作的探索问题，有利于提高学生的动手能力与思维能力。当学生在动手操作解决问题存在困难时，我们利用几何画板适时介入，帮助、引导学生解决困难。例如，当我们完成探索二次函数的系数与图象的关系时，为了进一步巩固二次项系数的变化与图象的关系，我们可以作以下设计，既可以巩固知识，又能培养学生的动手操作能力，还能培养学生的空间想象能力。

【合作交流】

（1）动手画一画：若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且经过（0，1），（-1，0），试探究a的范围。

（2）动手试一试：当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数a趋近于零时，函数图象的开口大小变化是怎样的？

（3）尝试与巩固：若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第二象限，且经过（0，2），（2，0）则S=4a-2b+c的范围是______________

【分析】

（1）学生可以通过画图，发现a的取值范围。

（2）教师利用几何画板适时介入，让学生观察：当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数a趋近于零时，函数图象的开口大小变化是怎样的？

学生小组合作，感受二次函数图象的变化趋势。当二次项系数a趋近于零时，抛物线趋近于直线。如图7、图8、图9。

（3）分析：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与直线x=-2的交点的纵坐标就是S的值。因此，只需要根据图像观察，交点的最低处和最高处即可。根据图像可以看出，当抛物线的开口最小时，顶点在y轴上，交点最低；当抛物线接近一条直线时，开口最大，交点最高（如下图10、11所示）。

由上图可以看出，S的范围是0

四、引导反思，让学生自主归纳方法与成果

探究活动后，引导学生反思、归纳探究的方法和成果，利用几何画板变式训练，提高学生的数学知识的成活率。

探究活动结束后，教师应设计一个重要的环节，就是要引导学生反思归纳探究的结果和探究的思想方法。通过引导学生反思整理探究的思维过程，回顾探究的思维策略，分析解决问题的本质和解决问题的方法，还有出错原因的分析等，引导学生分析反思是怎样发现问题和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，从中获得哪些经验教训，进行认真的剖析，逐渐培养随时监控自己的数学思维活动的习惯。引导学生自己去发现错误，产生“质疑”，在学生自我纠正错误的过程中透过表面现象，而抓住问题本质，引导学生全方位、多角度、多层次地分析、研究、解决问题，从而激发学生强烈的求知欲望，帮助学生理解认识问题的本质，培养学生的发散思维能力和反思能力。通过设计一些变式训练，加强数学知识和思想方法的训练，提高学生知识的成活率，将知识内化为学生自己的知识。促进学生全面发展。

例如，前面在探究二次函数的系数与函数图象关系的时候，我们设计一个环节。

【反思與变式】1、我们探索二次函数的系数a、b、c的变化引起函数图象的变化时，我们采用了哪些方法？或者受到什么启发？

2、我们通过观察探究，我们得到的那些结论？这些结论往往用于解决什么类型的问题？

3、变式与巩固：用探究的结论解决以下问题？

（1）已知二次函数y1=a1x2、y2=a2x2、y3=a3x2的图象如图所示，请你判断二次项系数a1、a2和a3的大小。

（2）在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为（1，4），（1，2），（5，2），（5，4），x轴上有一点E（-1，0）。若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在矩形ABCD内（包括边界），且经过点E，试求抛物线y=ax2+bx+c中a的取值范围。

【分析】本过程可以采用学生合作交流的学习方式，并交流学习情况。以下是我们学生的交流成果概要。

1、探索系数a的变化引起图象的变化时，我们保持系数b和c不变，观察图象的变化情况（其它同上）；数形结合、对比、归纳等数学思想和方法；通过几何画板做数学实验，研究数学问题；等等。

2、当改变a的大小时，二次函数图像的开口大小也随之改变。当 越大时，二次函数的开口就越小；而b和c的大小变化不影响二次函数的形状，影响函数图像的位置。这个结论可以帮助我们解决有关因开口大小变化引起某些数量关系变化的问题。

3、（1）根据结论“当 越大时，二次函数的开口就越小”，即可得到0

（2）如图13，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口最小时，顶点在A处，此时可求出a=-1；开口最大时，顶点在C处，此时可求得a=- ，因此a的范围是-1

基于几何画板平台的数学探究，能动态地呈现出数量之间的关系，也能借助于几何画板“数形结合”的特点，让学生经历以“数”解“形”、以“形”助“数”的过程，帮助学生理解问题，解决问题。我们在数学教学中，多设计一些基于几何画板平台的探究型问题，培养学生的观察、归纳等能力，也提高了学生解决问题的能力。

参考资料：

[1] 俞界岳. 《几何画板》背景下初中数学教学研究[J]. 中学数学教育，2005（12）.

[2] 张杏林. 几何画板多媒体课件制作实例教程[M]. 清华大学出版社出版，2004.

[3] 何林. 励耘新中考·数学[M]. 延边人民出版社出版，2013.