例谈超级画板支持下如何优化解析几何教学

邓城

【摘要】超级画板在数形结合和动态展示方面有着强大的功能，能很好地弥补传统数学教学的不足.在解析几何的教学中，应用超级画板可以帮助学生加强对解析几何概念的理解，帮助学生探索定点和最值问题，优化解析几何的教学方式.

【关键词】超级画板；解析几何；数学探究

在教育教学中，利用信息技术促进教学，已成为现代教育的一个标志.超级画板在数形结合和动态展示等方面上有着强大功能，能有力地弥补传统数学教学的不足，但具体到教学中何时用、何处用、怎么用来优化教学却是亟待研究的问题.笔者对自身的教学实践进行了初步反思，得到几点粗浅的看法，望能起到抛砖引玉的作用.1应用超级画板帮助学生加强对解析几何概念的理解

高中数学中解析几何部分内容相对抽象和复杂，特别是圆锥曲线的概念涉及到的限制条件较多，定义方式不单一，对应图象的生成方式多样化，同时各种圆锥曲线间的性质容易混淆，这些都造成了学习上的困难.笔者曾经在讲授完椭圆的定义后给学生布置了课本中的一道习题作为作业（人教版选修2-1的习题22），题目如下：图1

如图1，圆O的半径为定长r，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

作业的效果不是很好，什么原因？学生知道椭圆的定义中有“动点到两个定点的距离之和为定值……”这样的条件，但此题并没有直接给出这个条件来，需要学生自己去构建，这时观察能力和联想能力就很重要了.事实上观察能力和联想能力恰恰是解析几何教学中需要重点培养的方面，基于轨迹的动态特征，借助超级画板等信息技术来辅助教学就很有必要.

笔者在后来上椭圆的新课时干脆把上面这个题目当成新课的引入部分，利用超级画板中的“跟踪”功能，慢慢拖动P点在圆上运动时，让学生观察轨迹的特点和其中隐含的条件，进而引出椭圆的概念.这样的椭圆概念新课处理方式激发了学生对Q点轨迹的好奇心，极大地方便学生观察变化规律，同时也给学生留下了一种印象深刻的椭圆生成方式.

上面用到的超级画板课件还可以在讲授离心率时派上用场，拖动A点使得OA的距离变大，利用超级画板的“轨迹”功能容易发现对应的椭圆越来越扁.在此过程中可引导学生观察发现OA的距离变大（即焦距2c变大）时，又由于圆O不变即有2a不变，从而离心率e=ca变大，与此同时椭圆越来越扁.如此一展示，学生容易理解离心率对椭圆扁平程度的影响关系.另外，在新授双曲线的概念时上述超级画板的课件仍然可以继续使用，拖动A点到圆O外时就得到Q点轨迹为双曲线，这个结果容易引发学生的疑问，为什么轨迹会由椭圆变成了双曲线？正所谓“学起于思，思源于疑”，教师应及时抓住这个学习的良机，让学生类比椭圆研究双曲线的特征.

借助以上几次超级画板课件的应用，学生对圆锥曲线的概念及生成方式能留下深刻的印象，并在知识网络结构中形成了合理的图式.值得一提的是这样的超级画板课件制作起来非常容易，当前学校的多媒体设备都较为普及，完全可以让学生亲自操作，教师只在关键时刻加以指导帮助，这样学生的探索积极性较高，且在动手做数学实验的过程中能够获得更加深刻的数学感悟.2应用超级画板帮助学生发现解析几何中的定点问题

解析几何中含参数的直线或曲线变化多端，但通常都隐藏着过定点的规律，如果学生不能发现这个规律则往往简单问题复杂化，事倍功半.在传统教学中限于信息技术的局限往往只能对这类问题通过常规推理证明，难以直观展示动态变化中的过定点特征，使得学生对该类问题印象不深，容易忘记相关结论，更不用说记得怎么推理出来的了.新课标提出：“高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容”.通过超级画板的轨迹跟踪功能将动直线或曲线的变化情况展示出来，将有助于学生发现新现象，并将极大地激发学生探索现象背后的规律证明，从而主动建构起新的知识，这样的教学方式要比原来直接告诉学生有新规律然后证明的接受式教学更加有效.

例如笔者在必修2中讲直线系过定点问题时先引入一个问题：判断直线l：ax+（2a-1）y+a=0（a∈R）与圆O：x2+y2=1的位置关系.学生一般都会先尝试下判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，于是写出d=a5a2-4a+1，但接着大部分学生就发现很难将d与半径1作比较.正在学生一筹莫展之时，笔者笑着说：“何苦单恋一枝花呢，不如使用超级画板画出直线l和圆O，看看它们的位置关系到底怎样.”相对比几何画板，超级画板在参数变量的设置和操作方面特别方便，且直观明了，方便教师和学生使用.图2操作如下：在超级画板中使用“变量尺”新定义一个参数a（可以自定义取值范围），接着利用绘制“直线”的功能直接输入直线l的方程ax+（2a-1）y+a=0即可得到含参数a的直线，然后将圆O也绘制出来.拖动变量尺中参数a的取值，利用“跟踪”功能可以发现直线l一直过定点（-1，0），直线l与圆O相交或相切（如图2所示）！

面对这样魔术般的直观效果，学生们大开眼界，同时也对为什么会过定点（-1，0）感到好奇，笔者乘热打铁，提示学生可以先验证直线是否真的过点（-1，0），学生将点（-1，0）代入直线方程发现方程等式成立，且与a无关.笔者继续引导道：“从验证过程可以发现怎样才能跟a无关？”学生很快发现a与0相乘时就与a无关，于是笔者顺势提出可以将方程中的a提取出来，变成a（x+2y+1）-y=0.此时学生容易发现当x+2y+1=0且y=0时，方程恒成立，联立上面两个方程便发现直线真的过定点（-1，0）.笔者进一步指出：“这类问题属于含参数的直线系过定点问题，知道动直线过定点对于解决直线与曲线的相关问题非常有益.”笔者举例人教版必修2的“复习参考题”（P144）中的一题作为应用，题目如下：

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.

（1）求证：直线l恒过定点.（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度.

通过超级画板作图演示发现l恒过定点（3，1），笔者引导学生类比直线ax+（2a-1）y+a=0的研究方法，证得直线l恒过定点（3，1）.另外，学生发现直线l恒过定点解决后通过数形结合很容易解决第2问.

从上面笔者对直线系过定点的教学案例可以发现，超级画板不仅给课堂呈现了实验的结果，定点数据还给我们提供了研究的突破口，教师在应用超级画板时一定要将课堂的重心放在如何利用超级画板的演示效果引导学生对背后的规律本质进行深入研究.

在圆锥曲线中还有其它重要的动直线过定点问题，一样可以应用超级画板辅助教学，例如：点A和点B均为抛物线y2=2x上的动点，且OA⊥OB，试问直线AB恒过何定点？

使用超级画板演示发现直线AB恒过点（2，0）（如图3所示），教师此时应注意引导学生多加观察，可提问：点（2，0）和y2=2x都有共同的2，是否巧合？通过这个提问进一步激发了学生的好奇心，在超级画板中调整抛物线为y2=2px，发现直线AB恒过点（2p，0），于是新的猜想就出来了，而怎么证明这个猜想也成了学生迫不及待想知道的事情，此时教师应顺势引导学生思考过定点问题该如何解决.图33应用超级画板帮助学生探索解析几何中的最值问题

解析几何中常涉及长度、斜率和面积等变量的最值问题的探讨.这原本是解析几何的重点研究内容，也是高考难题命制的青睐对象，更是展示解析几何的魅力之所在.然而，在传统教学中由于画图和测量的不便，师生对最值问题的处理只能靠手工演算，但由于图形复杂和数据繁多容易导致推导出错，还难以检查哪个步骤出错.另外整个推导过程还枯燥无味，大部分学生难以保持高强度的注意力，容易游离在课堂之外，变成教师自己的独角戏.而对于需要自主探索结论的开放性问题，学生对推导下去能否成功更是缺乏信心，容易半途而废.

超级画板具备强大的动态跟踪、动态测量和复杂计算功能，能够弥补传统教学中画图和测量困难，使用者可以选取解析几何动态变化中的任意一个位置来进行静态观察和研究，也能在动态变化中通过观察测量值的变化情况发现规律.在最值问题的教学中适时借助超级画板能帮助学生掌握动态变化情况，轻松发现取到最值时的特征，合理形成初步的数学猜想，也为学生对规律的证明提供了方向和信心.

例如笔者在教学中曾让学生探索如下一道解析几何的最值问题：已知点A（0，-2）和椭圆E：x24+y2=1，设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，求△OPQ的面积的最大值及此时直线l的方程.学生画图后很快发现直线l在绕着点A转动过程中确实存在最大值，通过解析几何的方法表达出△OPQ的面积并用基本不等式得到最大值为1，直线l的方程为y=±72x-2.接着笔者引导学生观察△OPQ面积的最大值1与椭圆方程E：x24+y2=1的关系，有学生发现1=12×2×1即有△OPQ面积的最大值1等于椭圆E中长半轴a与短半轴b围成的三角形面积12ab.是巧合还是真有这个结论？这个问题引起了学生强烈的好奇心和探索的热情，笔者建议学生在课后利用超级画板自主探索，看能否得出猜想并加以证明.

第二天的数学课堂上笔者让学生展示成果.

学生甲：我通过改变点A（与y轴的交点）的位置发现△OPQ面积的最大值仍然是1，改变椭圆的方程仍然有△OPQ面积的最大值为12ab.于是得到猜想：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1，过点A（0，m）的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，则有△OPQ面积的最大值为12ab.

学生甲对猜想证明如下：

依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+m，联立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，得到（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2（m2-b2）b2+a2k2.

原点到直线l的距离d=mk2+1，弦长L=1+k2（x1+x2）2-4x1x2，

所以S△OAB=12m（x1+x2）2-4x1x2=12m4k2m2a4（b2+a2k2）2-4a2（m2-b2）b2+a2k2

=maba2k2+b2-m2（b2+a2k）2，令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）则有

S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab.证毕.

师：“这个猜想和证明有没问题？”

学生乙：“我用超级画板发现有相同的结论，证明过程也跟猜想相符合，应该没问题.”其他学生也点头附和.

笔者当场演示超级画板，当点A的坐标为（0，-2），椭圆E的方程为x24+y2=1时，情况如图4所示：

图4

师：“就点A此时位置，猜想是对的.把点A的位置稍微上下移动，一样有相同的结论，所以你们就这样得到猜想？”

众学生点头，但似乎感觉到有点问题了.

师：“刚才的实验考虑到了全部情形吗？”

这时学生们才注意到点A的位置如果在更大范围移动可能有其它结果.随后笔者和学生一起动手实验探索，发现当点A的位置很靠近原点时△OPQ面积的最大值取不到1，且容易发现取到最大值时直线l的斜率为0，这与前面的实验情形大不相同（如图5所示）！

图5

师：“那么前面的证明哪里出了问题？”

学生丙：“从超级画板看出最大值跟点A的位置有关，也就是与m的大小有关，前面证明的最后一步用了含m的不等式，但没有说明不等式取等号时应成立的条件.”

师：“没错，前面证明中使用基本不等式时一定要考虑‘正定等的！”

经过师生合作，前面的证明修正如下：

（前面一样）令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）则有

所以S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2，

①当b2-m2≤m2即m≥22b时，由基本不等式有

S△OAB=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab，

当且仅当t=m4t，即t=m2时等号成立，此时有a2k2+b2=2m2.

②当b2-m2>m2即m<22b时，u（t）=t+m4t在t≥b2-m2时单调递增，所以当t=b2-m2，即k=0时，S△OAB有最大值mab2-m2b.

从上面的案例可以发现，在解析几何的支持下，学生容易发现部分情况下的规律，但也容易早下定论，以偏概全.教师应当适时地引导学生借助超级画板全面观察对象的变化情况，完整归纳实验的结论并得出数学猜想，还应引导学生对证明中的讨论分析与实验结果进行对比，加深对证明思路的理解.