用几何的观点解释线性代数问题

王恒太　许友军　郑立景　冯军词

摘 要： 本文主要从几何角度解释了线性代数中的概念、定理和主要结论。

关键词： 线性代数 解析几何 嵌入式教学

一、线性代数和解析几何的分析和比较

线性代数是普通高等学校理工科开设的一门基础课，主要研究线性方程的解的结构及应用，课时短，概念多且抽象，与高中所学知识衔接不大，在现实中的应用背景少。目标已经从中学时的求解具体方程组转化为判断抽象的方程组有无解的问题。同时解的个数会出现无穷个情况，于是将无穷个解用有限个解表示出来成为大学里线性代数要解决的问题之一。因此，大多数理工科学生在学习中感觉困难大，理解起来困难。

所谓解析几何，就是在空间建立直角坐标系后，使空间的点与坐标一一对应，而空间中的线和面作为点的轨迹与它的方程建立联系[1]。理科里有专门的解析几何课程，有的与高等代数合为一门课程，工科专业学生的解析几何部分出现在高等数学某一章中。在解析几何中介绍二维和三维向量的几何表示及意义，二维的曲线和三维的曲面是后面研究的必备基础。正是有了直观的几何映像，学生更有兴趣和动力学习解析几何.

线性代数的语言是抽象且富于概括性的，因此是比较难以理解的。解析几何的研象主要是低维的，在现实世界中能够找到例子或者画出，相对来言更直观和易懂。可以用代数知识解决具体几何问题，也可以用解析几何形象地阐述代数问题，在教学中二者不可分离。

线性代数中的概念、定理比较抽象，对初学者来说难以理解，原因之一是在现实生活中缺乏实例和直观图示。解析几何中的曲线和曲面在线性代数教学中起着模型和示例作用。通过长期教学实践，我们发现这些具体模型对帮助学生理解抽象的概念和理论起着重要作用。这些模型将抽象的代数概念、代数过程、代数结构具体化，帮助学生完成从具体到抽象、再从抽象到具体的认知过程。

二、将二者结合起来学习的必要性

1.有助于加深学生对这两门学科的理解。

这两门课有一个共同的研究对象——向量。在线性代数中，研究的都是n维向量，由于现实世界的局限性，我们只能画出三维以下的向量，对于高维向量，只能将它的每一个分量写出来，不能给人直观的认识，也就没有直观的几何解释。这就要求教师从解析几何中二维和三维向量的直观几何映像推测出高维向量的性质，然后用代数严密的语言证明。在几何上，n维向量的每一个分量都决定了它在高维空间中的位置，在代数上，n维向量的每一个分量都有其具体的含义。换句话说，解析几何为线性代数提供了直观背景，线性代数为解析几何提供了研究工具[2]。事实上，线性代数的许多概念、过程和结论都存在几何原型，一些抽象的代数结论有了几何解释以后，常常会变得通俗易懂。相反，很多看起来复杂的几何结论，如果从代数观点来看，则十分简易且通俗易懂。更重要的是线性代数作为一门抽象思维学科，给出更为本质、更为广泛的结果，从这个角度讲，线性代数可以视为高维空间的解析几何。解析几何中的向量是线性代数中向量的具体和低维情形。通过研究高维向量的线性相关性和正交化等特点，对低维向量和空间图形的面积和体积有更深刻的理解。

2.有助于培养同学们多学科交叉学习能力。

未来的世界是信息时代，严格意义上讲已经没有学科的界限，我们获取的信息可能综合了各门学科的知识，必须具备各学科的知识才能将信息读懂并得到需要的资料，将线性代数与解析几何结合，正是让我们从另一个侧面将向量线性相关性正交化过程和曲线的方程转变形理解得更加深刻，对提高本科教学质量、培养更全面的人才有巨大的帮助。

三、教师应该注意的问题

1.应该对两门课都比较熟悉。

在全日制高校中教师要想上好线性代数课，前提是应该系统教过微积分中的解析几何部分或者给数学专业学生上过高等代数与解析几何，切实要求老师对各学科有较强的把握，对这两门课中各个知识点在大纲中要求的程度，学生掌握程度有一个直观了解，切忌想让两门学科结合起来，限于自己水平有限，学生一知半解、适得其反。

2.切忌用未讲过的内容解释正在讲的内容[3]。

线性代数和微积分都是大学一年级课程，各知识点的学习总有一个先后顺序，教师在使用解析几何知识的时候一定要注意学生是否学习此知识点。如果没有学习，教师就尽量不要使用此知识点解释代数问题，否则学生会处于同时接受两门课并且应用的处境，不仅起不到让学生加深理解的目的，反而打击学生积极性。

3.教师教学要不断创新，与时俱进。

解析几何是图形学科，因此具有直观性和形象性，为了形象地将解析几何知识渗透到线性代数中，需要教师画许多图形，如果在黑板上徒手画图，难度很大，因此需要教师充分利用多媒体技术将图形画出来，不同部位的颜色加以区别，必要时以动画形式显现，让同学们有更直观的认识，如在讲解线性方程组解的结构时，先将特解显现出来，然后将导出组的通解以不同颜色显现，再次利用向量合成的定义将二者合成为齐次线性方程组的通解。

4.充分利用MOOC教学的研究成果。

MOOC（massive open online course）是大规模在线开放课程的简称，有的地方称为“慕课”。自2012年以来，MOOC在全球发展迅速，获得了公众超乎想象的关注，对MOOC的继续发展当然大有益处。清华大学、国防科技大学等高校在国内处于领先地位，教师可以引导同学们到网上观看相关视频，吸收不同老师的上课风格，加深对相关知识点的理解。同时，利用网络上已有的成果，课后给学生布置一些代数与几何相结合的题目，培养学生用代数和几何两种观点和视角互相渗透的习惯，让学生学习线性代数时自觉从解析几何中找相关模型，在学习解析几何时自觉用代数语言验证并推广相关结果。学生学习线性代数时可以看与线性代数相关的视频，从一个更广更深的层面理解所学知识。利用并修改健全MOOC教学课后评价体系和考试系统，思考并创建一些开放性题目，培养同学们发散性思维能力，改变当前单纯知识点的模式。

四、结语

通过以上讨论，我们看到将解析几何渗透到线性代数中使我们受益匪浅，同时多学科交叉已经成为当前学习和研究的一种趋势，我们把这两门学科结合后的效果展示给大家固然重要，但是培养同学们自觉养成这种习惯更加重要，如果充分利用网络中已有成果，充分吸收各家之长，就会使同学们在学习数学的道路上越走越宽。

参考文献：

[1]王颖.将解析几何融入线性代数教学的思考[J].高师理科学刊，2013，33（4）：62-64.

[2]腾树军.线性代数的几何化与应用化教学探讨[J].河北工业大学成人教育学院学报，2008，23（3）：23-28.

[3]王颖.探析多媒体在线性代数教学中的正确使用[J].教育教学论坛，2013（6）：199-200.

本文受南华大学船山学院教学建设项目（2015CY011）资助。