《线性代数》教学中提高学生几何思维能力的培养研究

张开拓

摘要：线性代数和解析几何有着密切的联系，然而很多学生在学习行列式和矩阵时，常常只从代数角度强制记忆运算规则，事倍功半，同时导致其学习兴趣不足。本文结合笔者个人教学实际，浅谈如何引导学生通过几何思维方式来学习、理解线性代数中的若干问题，以期提高学生的独立思考能力和学习兴趣。

关键词：线性代数；解析几何；几何思维方式；独立思考能力

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）15-0151-02

线性代数作为一门工具学科，可以处理科学技术各个领域中广泛存在的线性问题，是理工科的重要专业基础课。例如：工程学中经常遇到某一动力系统在扰动下的稳定性问题，而能够处理此类问题的“李雅普诺夫方法”，就利用了矩阵本征值的性质。只有熟练掌握了这门工具学科，才能较好地运用到各个专业中。大多学生在中学时期并未接触过行列式及矩阵，而《线性代数》一开始就会出现许多代数符号和运算规则。因此，学生入门较困难，并且学生面对复杂的计算法则时会感到枯燥乏味，导致学习兴趣降低。本文从笔者个人教学实际，浅谈将代数与几何结合在课程教学过程中所起的作用，特别是对工程数学用书，做一具体分析。

x-3 2=-4 5，那么问题就变成了，能否找到一组数字x、x，使得x倍的向量21和x2倍的向量-3 2合成第三个向量-4 5（又可以称为能否用向量21和-3 2线性表示-4 5这个向量。学生较容易看出前两个向量是不共线的，且x、x分别取1和2即可成立。在此基础上提问：如果将常数项向量-4 5改成其他它的向量，例如42、 3-2、10 7等，方程有没有解。学生们经过思考，能够总结出：在二维空间中两个不共线的向量总可以唯一地线性表示出第三个任意的向量。接着，让学生计算由两个不共线的列向量组成的行列式，易得出其值不为零，进而在教师的引导下明白：系数项组成的二阶行列式不等于零，对应着列向量不共线的情况，因此方程组有唯一解。然后，推广到三维空间的情况，学生经过思考会得出结论：三个不共面的向量总可以唯一地线性表示出第四个任意的向量。在课堂的最后留下一个思考问题：猜想三个不共面的三维向量组成的三阶行列式值的情况，以及其值为什么会不等于零。以上从中学几何出发讲解行列式，利用学生已学过的向量合成法则推导出行列式与线性方程组的关系，一方面可以提高学生的学习兴趣和几何思维能力，另一方面为以后向量空间的教学内容做好铺垫。特别是在后面章节介绍完线性相关的概念后，可以很自然地过渡到接下来的结论：如果一个n阶方阵对应的行列式的值不等于零，则组成方阵的n个列向量不共“面”（此处的面指的是n维空间的n-1维超曲面），n个列向量中的任何一个都无法用其他向量线性表示，因此其列向量组是一个线性无关组。

第三、四章分别从代数和几何上分析线性方程组解的情况。首先一个很重要的概念——矩阵的秩，其定义为矩阵的最高阶非零子式所含有的阶数。以上是代数描述，从几何上来说，矩阵的行秩或列秩对应于矩阵的行向量组或者列向量组所含独立（线性无关）向量的个数，且行秩等于列秩。学生有了几何概念后，更容易理解秩的一些重要定理，例如，若AB=C，则R（C）=minR（A），R（B）。这需要结合我们上面介绍的矩阵的两种“几何”乘法（“列乘以列”和“行乘以行”），由（3）式可以看出：矩阵C的各个列向量是由矩阵A的列向量线性表示的，因此C的秩必然小于等于A的秩；同理，由（4）式可以看出：矩阵C的各个行向量是由矩阵B的行向量线性表示的，因此C的秩也必然小于等于B的秩。以上如果只用代数解释，学生们很难理解并记住，但是从几何上解释就较容易接受了。在熟练掌握秩的定理和性质后，便可以介绍它的应用。下面分析由m个s元一次方程组成的线性方程组（1）式，矩阵记法为Ax=c（简写成Ax=c）。先将增广矩阵B=（A，c）通过行变换化为行最简型，然后比较系数矩阵A的秩和增广矩阵B的秩：如果两者相等，则方程有解；反之则无解。这在几何上代表：如果秩相等，则向量c可以用A的各个列向量α，α，…α线性表示（即c=xα+xα+…+xα）；反之，如果秩不相等，则A的列向量α，α，…α不能线性表示出向量c。接着进一步讨论秩相等所对应的具体情况：若R=R=s，则方程有唯一解（相当于方程组有s个未知数，也有s个独立的方程，因此方程有唯一解）；若R=R=r

由此可见，对于这门课程，几何和代数是相辅相成、密不可分的。而且线性代数内容丰富，应用广泛，只看一本教材是不够的，需要学生参考其他中英文书籍文献[2-4]，多做习题。但是这对初学者来说是比较困难的，尤其大一新生课程很多。因此在教学过程中，需要老师将各章节连成一个系统来讲，并适当地引导学生思考，从一开始就培养学生的几何思维能力。以上内容浅谈了如何将单一的代数运算结合几何思维方式来讲解，有助于改善工科数学教学中多数学生将代数、几何分开学习的情况。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]Gilbert Strang，Linear Algebra and Its Applications，Thomson Brooks Cole Press，Fourth edition（2004）.

[3]Steven J.Leon，Linear Algebra with Applications，Prentice Hall Press，Sixth edition（2006）.

[4]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三册）[M].第二版.北京：高等教育出版社，1990.