例谈源于课本的高考试题

张之宁++马艳

分析近几年全国各地高考题可以发现，在试题中能找到课本习题、例题的影子，来源于课本，而又高于课本，因此只要抓住课本不放，强化数学思维、方法的训练，夯实课本教材知识，认真研究例题、习题，定能走出困惑的题海，变苦学、死学为乐学、活学，在备考中取得事半功倍的效果.下面就以部分试题来说明高考试题无论形式上还是方法上源于课本.

例1（2015年湖南高考）设函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），则f（x）是（）

A.奇函数，且在（0，1）上是增函数

B.奇函数，且在（0，1）上是减函数

C.偶函数，且在（0，1）上是增函数

D.偶函数，且在（0，1）上是减函数

分析此题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，该题出自高中

数学人教A版必修1第2章基本初等函数复习参考题A组第8题，该题为：

已知函数f（x）=lg1-x1+x，a，b∈-1，1，求证：fa+fb=fa+b1+ab.

该题虽是一道证明题，但老师们在授课时并没把它单纯看成证明题，往往都追问该函数的奇

偶性，该题解法为：

fa+b=lg1-a1+a+lg1-b1+b=lg1-a1+a×1-b1+b=lg1+ab-a-b1+ab+a+b=lg1-a+b1+ab1+a+b1+ab=fa+b1+ab，

如果a=-x，b=x则f-x+f（x）=f0=lg1=0，进而f-x=-f（x），所以f（x）为奇函数.

借鉴该题解法，解析2015年湖南高考试题.

解f（x）定义域为（-1，1），关于原点对称，因为f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln1+x1-x，

所以f-x+f（x）=ln1-x1+x+ln1+x1-x=ln1-x1+x×1+x1-x=ln1=0即f-x=-f（x），

因此f（x）为奇函数，f（x）在（0，1）上单调递增，故选A.

仔细分析该高考试题的解答过程，其本质与课本习题是一致的，因此解法也一样，该试题是以对数函数为背景的单调性与奇偶性，就比课本的入手高了很多，体现了源于课本，却高于课本的思想.

例2（2014年山东高考）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=-1n-14nanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

分析此题出自高中数学人教A版必修5第2章数列，习题23B组第4题，该题为：数列1nn+1的前n项和Sn=11×2+12×3+13×4+14×5+…+1nn+1，研究一下，能否找到求Sn的一个公式.该题解法为：

由于1nn+1=1n-1n+1，

所以Sn=1-12+12-13+13-14+14-15+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.

借鉴该题解法，解析2014年山东高考试题.

解（1）因为S1=a1，S2=2a1+2×12×2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4a1+12，

由题意得（2a1+2）2=a1（4a1+12），解得a1=1，

所以an=2n-1.

（2）由题意可知，

bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-112n-1+12n+1.

当n为偶数时，

Tn=1+13-13+15+…+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1.

当n为奇数时，

Tn=1+13-13+15+…-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.

所以Tn=2n+22n+1，n为奇数，

2n2n+1，n为偶数.或Tn=2n+1+（-1）n-12n+1

仔细分析该高考试题的解答过程，其解法是课本习题解法的迁移，该试题巧妙的与（-1）n-1相结合，起到了列项相消的功能，就比课本的方法高了很多，体现了解题方法的迁移与升华.

例3（2014年湖北高考）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：

ft=10-3cosπ12t-sinπ12t，t∈[0，24）.

（1）求实验室这一天的最大温差.（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

分析此题出自高中数学人教A版必修4第1章第16节三角函数模型的简单应用例1，该题为：

如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.

1）求这一天的最大温差；

2）写出这段曲线的函数解析式.

该题解法为：

1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃.

2）从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象，所以A=12（30-10）=10，b=12（30+10）=20.

因为12·2πω=14-6，所以ω=π8.

将x=6，y=10代入上式，解得φ=3π4.

综上，所求解析式为y=10sin（π8x+3π4）+20，x∈[6，14].

而2014年湖北卷就是该题姊妹题，该题解法为：

解（1）因为f（t）=10-2（32cosπ12t+12sinπ12t）=10-2sin（π12t+π3），

又0≤t<24，所以π3≤π12t+π3<7π3，-1≤sin（π12t+π3）≤1.

当t=2时，sin（π12t+π3）=1；当t=14时，sin（π12t+π3）=-1.

于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）≥11时，实验室需要降温.

由（1）得f（t）=10-2sin（π12t+π3），故有10-2sin（π12t+π3）>11，即sin（π12t+π3）<-12.

又0≤t<24，因此7π6<π12t+π3<11π6，即10

故在10时至18时实验室需要降温.

仔细分析该高考试题的解答过程，其本质与课本习题是一致的，因此解法也一样，该试题与两角和与差的正弦余弦公式结合，就比课本的难度高了一些，体现了课本知识间的联系与融合.

通过以上几个例题解法的比较，提示我们平时不能仅仅停留在课本表面，要用好课本，经常对课本上的例题、习题进行反思，对课本知识和方法进行“升华”，通过升华更深刻地理解知识和方法的内涵和外延，以做到融会贯通.

对2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第三题的完整解答

北京丰台二中100071甘志国

文献[1]，[2]，[3]均给出了2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题及其解答（且两者完全相同），笔者发现其解答有误，下面给出这道赛题的完整解答.

赛题（2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题）已知动点A、B在椭圆x28+y24=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（-1，0）.

（1）求线段AB中点M的轨迹方程；

（2）求线段AB长度的最大值.

解（1）ⅰ）显然，当AB⊥x轴时满足题意，得此时线段AB中点M的轨迹方程是y=0（-22

ⅱ）当AB与x轴不垂直时，可设点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），M（x0，y0），得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.

由点A、B均在椭圆x28+y24=1上，可得

x218+y214=1，x228+y224=1，

把它们相减后，可得

x0（x1-x2）=-2y0（y1-y2）（x1≠x2）.

若y0=0，得x0=0，所以点M即坐标原点O（0，0）.再由线段AB的垂直平分线过点P（-1，0），得AB⊥x轴，这与“AB与x轴不垂直”矛盾！

所以y0≠0，得x0≠0，再得

kAB=y1-y2x1-x2=-x02y0≠0①

又线段AB的垂直平分线过点P（-1，0），得kAB·kPM=-1，即

-x02y0·y0-0x0+1=-1，

x0=-2.②

再由弦AB的中点M（x0，y0）即M（-2，y0）在椭圆x28+y24=1内，可得

（-2）28+y204<1（y0≠0）

0

综上所述可得所求轨迹方程是：y=0（-22

（2）ⅰ）当AB⊥x轴时，当且仅当线段AB是已知椭圆的短轴时，ABmax=4.

ⅱ）当AB与x轴不垂直时，可设线段AB中点M（x0，y0）（x0y0≠0），再设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）.

由①②得kAB=1y0，所以直线AB的方程是y-y0=1y0（x+2）.

由y-y0=1y0（x+2），

x28+y24=1得

（y20+2）x2+4（y20+2）x+2y40+8=0，

所以

x1+x2=-4，x1x2=2y40+8y20+2，

由弦长公式，得

AB=k2AB+1x1-x2=（k2AB+1）[（x1+x2）2-4x1x2]=…=22·5-y20+2+4y20+2

由③，得2

所以线段AB长度的最大值是4.

参考文献

[1]中国数学会普及工作委员会组编.2015高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）[Z].上海：华东师范大学出版社，2014

[2]吴中麟提供.2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛[J].中等数学，2015（3）：34-38

[3]武增明.解析几何中两动点间的距离的最值类型[J].中学数学杂志，2016（1）：36-39