注重数学探究 演绎精彩课堂

崔文

【摘要】优质课是课堂教学中的优秀课例，为课堂教学提供范例.2016年山东省德育优质课注重数学探究，巧妙的问题设计提升学生的数学素养.探究过程中的问题导学，利于优化学生的思维结构，提升学生的数学思维能力.

【关键词】数学探究；问题设计；数学思维

12月21日—23日，笔者去淄博十一中参加山东省优质课观摩活动，选手是优中选精，课亦是精心准备，亮点频现，节节精彩！《普通高中数学课程标准》提出的基本理念：学生发展为本，“立德树人”，提升素养.课堂教学以学生为主体，重视调动学生的积极性，促进学生数学学习的发展，成为优质课教学设计的共性.如何进行教学设计，让导学案的“引”和“导”更有效，笔者认为要注重数学探究教学.

数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.使学生在这一系列的数学活动中进行数学创造和获得数学经验.

1数学探究教学的原则

1.1立足教材，精选内容

探究问题的选择要基于以下几点考虑：（1）突出关键的知识点；（2）突破学习中的难点；（3）凸显知识的易错点；（4）注重思维的增长点.分析本节课在本章中的地位和作用，本节课在本知识模块中的地位和作用，以及本节课在高中数学中的地位和作用十分必要.一节课不可能开展次数过多的探究活动，要根据教学的重点和难点，进行一次或两次高效的探究活动即可.

1.2基于学情，启发思考

探究学习要让学生利用已知发现未知，所以要对学情进行评估.问题设置要注意起点合理，提倡“跳一跳摘桃子”.可以采取“小步子”的策略，化大为小，分解难点.必要时进行小组合作学习，让学生的思维进行碰撞，产生新知识的增长点.

1.3提升素养，优化思维品质

数学探究要帮助学生提高兴趣，认识自我，激发自信，提高学习的质量.数学探究活动要注重数学思想方法培养，使学生在学习的过程中认识数学、理解数学、热爱数学，能抓住“主线”进行学习，进而提升发现问题、分析问题和解决问题的能力.在探究结束后，要注意进行小结，彰显规律性.

2数学探究教学的方法

多年来，我们一直强调“用教材教”而不是“教教材”.其实，这就是要求教师要研究教材，创造性地使用教材，教师要有开发校本课程资源的意识，提升课堂教学内涵.探究性问题设计可以将教材内容优化，变平淡为精彩.

2.1从“特殊”到“一般”

特殊到一般的方法重点在于“铺垫”，教师创设问题情境，学生借助问题情境循序渐进，得到问题的解决思路.

案例1平面上两点间的距离公式推导（课例：两点间的距离.）

问题1：在直角坐标系中，x轴上有两点P1（x1，0）和P2（x2，0），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于x轴呢？

问题2：在直角坐标系中，y轴上有两点P1（0，y1）和P2（0，y2），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于y轴呢？

问题3：在直角坐标系中，已知x轴上一点P1（x0，0）和y轴上一点P2（0，y0），那么P1和P2之间的距离为多少？

问题4：一般地，已知平面上两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），如何求P1和P2之间的距离？

这4个探究问题的设计：问题1和问题2提供与坐标轴平行或重合的线段长度求法；问题3的解决办法是勾股定理；问题4与前面3个问题自然衔接，解决办法是构造直角三角形，利用勾股定理求解，必须首先利用问题1和问题2的方法求出两条直角边长.

从“特殊”到“一般”的问题探究思路是优质课中大部分选手采用的方法，递进的问题设计，得出一般问题的解决思路，小梯度、慢节奏，最后思维得到提升.

2.2趣味性的问题设计

通常情况下，学生对数学公式的感受要差于对数学图形的理解，而对数学图形的理解要差于对空间几何体的感受.问题的设计能够激发学生数学学习的兴趣很关键.

案例2点到直线的距离公式的推导（课例：点到直线的距离.）

引入：有一天，笛卡尔生病卧床，但他一直在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？同样几何图形可不可以通过代数形式来表达？

不经意间，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗.他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？据此，他创建了直角坐标系，在代数和几何上架起了一座桥梁.

同学们请看：

现在蜘蛛网上有一只蜘蛛P.

思考1：蜘蛛网上粘住一只蜻蜓M，蜘蛛如何爬行才能最快到達蜻蜓的位置？为什么？

思考2：蜘蛛要用最短的时间到达蜘蛛网上的直线l，蜘蛛应该如何爬行？为什么？

总结：这个最短距离就是点到直线的距离.

假设蜘蛛的位置P（1，-1），

问题1：如何求出点P到x轴的距离？

问题2：如何求出点P到y轴的距离？

假设直线l的方程为x+y-2=0，

问题3：如果蜘蛛在蜘蛛网中心的位置，如何求出蜘蛛到直线l的距离？

问题4：如何求出点P（1，-1）到直线l的距离？

小组合作学习：有几种不同的解决办法？

注：选择最优化的解决方案.

问题5：请同学们自主推导，平面直角坐标系中点P（x，y）到直线l∶Ax+By+C=0的距离公式.

2.3开放性问题设计

这里讲的开放性的问题，是指答案不固定的题目.高考中数学问题的答案一般唯一，但是日常教学有些问题的答案不必唯一，给学生足够的想象空间，发散思维，利于学生的思维拓展.

案例3习题设计（课例：两点间的距离.）

习题：精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在实施精准扶贫的工作中，为帮助位于省级公路同一侧的A、B两个贫困村实现脱贫，准备在该公路的边上选择一点P，修两条可直达A、B两村的乡村公路.

（1）假如你是决策人，你将如何选择P点的位置？

（2）若以该公路所在直线为x轴，公路上某一点O为原点，建立平面直角坐标系.此时A（-1，2），B（2，7），当点P满足到两村的距离相等时，试求出点P的坐标，并求出|PA|的值.

本题（1）的答案开放，合理即可.

思路1：到两村的距离之和最近，成本最低，体现节约；

思路2：也可以是到两村的距离相等，体现公平、公正.

众所周知，国家“精准扶贫”的目的是为了“人民幸福”，所以这道题目体现了“中国梦”、“四节”和“核心价值观”，与时俱进，德育渗透较好.既拓展了学生思维，又体现了《普通高中数学课程标准》数学教学要 “立德树人”的基本理念.

2.4选择“入口宽”的题目

“入口宽”的题目是指容易寻找突破口，思路多的题目.高考中许多题目都属于这种类型，这种类型的题目既适合自主探究，又适合开展小组合作学习.

案例4一题多解（课例：点到直线的距离.）

习题：求三角形ABC的面积，这里A（-1，0），B（3，1），C（1，3）.

注：事先老师准备好小黑板，把图形画在黑板上，分到每个小组.

师：大家小组合作学习，将你的结果画在小黑板上，然后小组展示.

生1：（展示方法1，分割法）过B作直线平行于x轴，分成两个三角形求面积，利用底乘以高的一半.

生2：（展示方法2，补形法）过B、C作x轴、y轴的垂线，构造矩形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积.

生3：（展示方法3，点到直线的距离公式）求出AB的长度，再求出点C到直线AB的距离，得到三角形ABC的面积.

可能老师原来的预设是进行小组合作学习，每个小组选择不同的底边，然后求出第三个点到底边所在直线的距离作为高，这样会得到三种不同的做法.学生的解法尽管与本节课的教学重点“不合节拍”，但是展示了更多的数学方法——“分割法”、“割补法”、“公式法”，从数学学习的角度讲，数学素养得到提升.

2.5形成结论

某些数学问题不容易理解，并且难以抽象出一个结论，我们可以采用问题探究的方法寻找结论，然后加以证明.

案例5经过两条直线交点的直线系方程（课例：两条直线的交点坐标.）

问题1：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？

问题2：当λ变化时，这些图形有什么共同的特点？

探究：变换λ的值，并把这个值与此时对应的方程填写到下列表格中，然后在同一坐标系中画出这些图形.

合作探究：小组合作，汇总全组所有成员的图形，寻找共同点，选派代表投影展示.

发现：这些直线的共同特点：.

证明：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示的直线恒过定点.

总结：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0具体表示什么图形？

提升：经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0的交点的直线的方程如何表示？

至此，经过两直线交点的直线系方程结论呈现，完成本节课的一个教学重点.

这种问题探究的方式起点低，衔接自然，符合学生的认知规律.当然，探究结束后，应该有必要的数学证明和说明，譬如讲清楚这不是经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0交点的所有的直线的方程.

3对数学探究教学的思考

3.1 数学探究有助于学生了解数学概念和结论产生的过程.

日常教学中我们有时会“简化”教学过程，直接给出概念或结论，让学生记忆，然后“套公式”解题.学生尽管会做题了，但是不知道概念和结论的来龙去脉，不会分析一些概念性的问题，不利于数学思维的培养.

3.2数学探究有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯.

数学探究离不开“问题串”教学，在问题解决的过程中，会涉及一些相關的边缘知识，或者出现思维“死角”.这样就会产生“新知”与“旧知”的思维碰撞，学习新知需要质疑探索，温故旧知需要反思，能将主动学习落到实处.

3.3数学探究有助于发展学生的创新意识和实践能力.

问题探究的过程就是一个寻求问题解决办法的过程，思维发散容易创新.探究过程中的合作学习往往是一个头脑风暴的过程，众人拾柴火焰高，会产生许多奇思妙想，譬如一题多解，知识的交汇运用等.

4结束语

教师和学生交流的主阵地是课堂，在课堂上将数学知识、数学思想、数学思维方法传授给学生.对课堂教学的研究是无止境的，课堂教学艺术涵盖教师对数学的理解、教师语言表达、教师的教学策略、教师的课堂管理能力、教师的亲和力等若干要素.现场观摩，身临其境，从优质课中汲取精华，将促进教师业务能力快速提升.