例谈高考复习中创造性数学思维的培养

陈桂明 刘新春

摘 要： 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：数学教育要促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展.数学创造性思维能力是高中生学习数学知识过程中应该具备的能力，也是高考数学考查的重要能力之一.本文将借助不同的案例探讨在高考复习中如何培养学生的创造性思维，提高创造性思维能力.

关键词： 高考数学；创造性思维；思维品质

创造性思维是一种综合能力，是一种新的、与众不同的思维，可以分为三个维度：发散思维、聚合思维和横向思维.创造性思维既是思维的结果，也指向思维的过程.在近五年高考数学全国卷中，考查创造性思维的题目共有191题，约占22.7 % ，这些试题区分度显著，得分率较低，考生普遍感觉解答这些试题非常困难.其实在平时的数学教学特别是高三数学复习中，我们往往将主要精力集中在解题训练中，对如何培养学生的创造性思维心中无数，只是将解题训练定位在题型识别、技能技巧上，而忽视了解题训练教学恰恰是培养学生创造性思维的重要载体，培养创造性思维的起点是产生创造性思维的意识，关键是形成创造性思维的方法，终极目标是提高创造性思维能力.

1 发散思维

以色列研究者哈代尔构建的数学创造性思维框架——“三维度九类型”框架表明，数学发散思维必须打破固化的思维模式，多角度分析问题，提供多种非常规的分析思路和解决办法，得到不同的解题策略.由问题中已有条件和结构以及所学知识联想到相关的多种问题情境和方法思想.发散思维主要有四种类型：（1） 提供替代解决方法；（2） 有多个答案；（3） 使用不止一种途径来解决；（4） 在数学之外发现数学知识.相应的在高三数学复习中，我们要为学生提供具有多种答案的多选题、具有多角度思考价值的问题、能够用多种方法分析解决的问题、隐藏数学知识的实际问题，引导学生进行思维碰撞，产生与众不同的见解，并能在解决问题的过程中发现新问题，让数学思维向不同方向发散，提升思维品质.

问题1  ：设椭圆E： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），圆C：（x-2m）2+（y-4m）2=1（m≠0），点F 1，F 2分别为E的左、右焦点，线段OC的垂直平分线为l.已知E的离心率为 1 2 ，点F 1，F 2关于直线l的对称点都在圆C上，求椭圆E的方程.

分析：

思路1：  （直译条件）直接按照题目条件，设F 1（-c，0），F 2（c，0）， 求出线段OC的垂直平分线方程x+2y-5m=0，再求出点F 1，F 2关于直线l 的对称点M，N的坐标，代入圆的方程，但求出c的值运算量太大.

思路2：  观察图形发现，由于O为F 1，F 2的中点，C也是M，N的中点，从而M，N为圆C的直径，可直接得到|MN|=2，求出c的值.

思路3：  由于线段F 1F 2与MN关于直线x+2y-5m=0对称，故|F 1F 2|=|MN|=2，即得c=1，由离心率为 1 2 得a=2，从而求得椭圆E的方程为 x2 4 + y2 3 =1.

为什么思路3能够快速求出椭圆方程？就是因为思路3找到了“题眼”——解决问题的突破口与关键.机械运用解析法把全部条件直接转化为数量关系，忽视题目条件的几何特征，缺少整体思维意识，会造成数形分离，不利于发现“题眼”，而仔细观察图形，发现线段MN的两个特征：一是MN是圆C的直径，二是|MN|=|F 1F 2|，从而豁然开朗，得到题眼|F 1F 2|=2，轻松求出椭圆的方程.

2 聚合思维

数学聚合思维要求能从具体个别的事物中找到数学知识和数学原理；将多种类型的知识融合起来，综合运用多种数学思想方法，能从复杂的情境中快速提取数学信息进行分析处理解决实际问题，主要表现为三种类型：（1） 识别和应用数学原理；（2） 将多个数学概念及其概念中蕴含的数学方法相关联（融合）；（3） 用数学解决现实情境问题.在高三复习中，我们要重视引导学生从一个个孤立的数学试题中寻找数学本质规律，从个别结论中归纳猜想一般原理.将问题中众多条件各自蕴含的知识用思想方法有机串联，发现内在联系，打通条件与结论的关节，获得解题方法.

问题2：  过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）交椭圆C： x2 9 +y2=1于M，N两点，交y轴于R点，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由.

解析：  若直线l与x轴重合，则M（-3，0），N（3，0），R（0，0），

由题意可知，λ=- 3 4 ，μ=- 3 2 ，所以λ+μ=- 9 4 .

若直线l与x轴不重合，设直线l的方程為y=k（x-1）.设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-1），

x2+9y2=9， 消去y，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，则Δ＞0，x 1+x 2= 18k2 1+9k2 ，x 1x 2= 9k2-9 1+9k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 1-x 1 ，μ= x 2 1-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 1-x 1 + x 2 1-x 2 = x 1+x 2-2x 1x 2 1-（x 1+x 2）+x 1x 2 = 18k2-2（9k2-9） 1+9k2-18k2+9k2-9 =- 9 4 .

回顾以上解题过程，其实不必考虑直线l与x轴重合的情况，且由题意可知，直线l的斜率一定存在，但考虑到直线l与x轴重合的特殊情形，即有利于特殊引路，发现解题思路，也有利于解决问题后验证结果是否正确，且符合学生的认知规律，即从特殊到一般的规律.但我们在实际教学中往往缺乏问题意识，或忽视了基本认知规律，或浅尝辄止，只把一些基本规律用于解题，而忽视了把基本规律应用于培养学生的数学思考，即在培养学生学会数学的思考问题的过程中，有意识地教会学生善于运用基本规律思考问题、发现问题.

学生首先考虑到的是直线l在特殊位置的情形，教师也应该想到从特殊椭圆到一般的情形，即对于一般椭圆，以上的结论是否成立呢？

问题3：  设椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），直线l过点Q（t，0）（t≠0）与椭圆C交于M，N两点，交y轴于点R，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由.

分析：  以上问题既将特殊椭圆变为一般椭圆，又将原来的“Q（1，0）”变为“Q（t，0）”，这样思考的理由是假设一般椭圆不一定具有以上性质，或随着椭圆C的变化，可能引起Q点变化，采用原来的方法得到以下过程.

解析：  设直线l的方程为y=k（x-t）.设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-t），

b2x2+a2y2=a2b2， 消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2tx+a2k2t2-a2b2=0，

则Δ＞0，x 1+x 2= 2a2k2t b2+a2k2 ，x 1x 2= a2k2t2-a2b2 b2+a2k2 ，

因为RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 =  2a2k2t2 b2+a2k2 - 2a2k2t2-2a2b2 b2+a2k2  t- 2a2k2t b2+a2k2 + a2k2t2-a2b2 b2+a2k2  = 2a2b2 2a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ为定值，则与斜率k的取值无关，从而t2-t=0，则t=1（t=0舍去），此时定值为 2a2 1-a2 .

以上探究既让我们发现了一个具有一般性的结论，即一般性质.又在探究过程中，潜移默化地提升了运算能力，学生从探究问题的过程中增强了问题意识，感受探究过程与方法，增添了数学学习的乐趣，学生认识到学习数学原来不是单纯地做做题目，而是可以从题目背后发现数学的奥秘.

归纳和类比是数学发现的两个重要的方法，具有类比的眼光不难想到作为椭圆的孪生兄弟——双曲线、抛物线是否具有类似性质，即：

问题4：  设双曲线C： x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），直线l过点Q（t，0）（t≠0）与双曲线C交于M，N两点，交y轴于R点，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由.

解析：  设直线l的方程为y=k（x-t）.设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

b2x2-a2y2=a2b2， 消去y，得（b2-a2k2）x2+2a2k2tx-a2k2t2-a2b2=0，

则Δ＞0，x 1+x 2=- 2a2k2t b2-a2k2 ，x 1x 2=- a2k2t2+a2b2 b2-a2k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = - 2a2k2t2 b2-a2k2 + 2a2k2t2+2a2b2 b2-a2k2  t+ a2k2t b2-a2k2 - a2k2t2+a2b2 b2-a2k2  = 2a2b2 a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ为定值，则与斜率k的取值无关，从而t2-t=0，则t=1（t=0舍），此时定值为 2a2 1-a2 .

问题5：  设抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过点Q（t，0）（t≠0）与抛物线C交于M，N两点，交y轴于点R，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由.

解析：  设直线l的方程为y=k（x-t）.设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

y2=2px， 消去y，得k2x2-（2k2t+2p）x+k2t2=0，

则x 1+x 2= 2k2t+2p k2 ，x 1x 2=t2，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 =  2k2t2+2pt k2 -2t2 t- 2k2t2+2pt k2 +t2 = 2p k2（1-t）-2p .

若λ+μ為定值，则t=1，此时定值为-1.

3 横向思维

横向思维要求学生打破思维的局限性，思考和提出新的数学问题，创造新的方法来解决问题，得到新的结论，主要类型为：（1） 提出数学问题；（2） 探索数学方法.在数学复习教学中要引导学生善于联想、质疑、批判，掌握发现问题和提出问题的基本方法，鼓励学生用两种以上的不同方法解决同一个问题，创设条件不充分、不完善、结构不稳定、目标不明确、方法不明晰的“半成品题”，让学生补充条件，设计结论、寻找方法、一题多解、反思感悟、逐步提升横向思维能力.

问题6：   过双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点F 作双曲线渐近线的垂线FM，垂足为M，线段FM与双曲线交于点A，且满足FA =2AM ，则双曲线的离心率为（  ）

A.   2

B.   3

C.   5

D.    3 +1 2

解法1：  如图，在 Rt △OMF中，OF=c，MF=b，

故OM=a，过点M，A分别作x轴的垂线，垂足分别为点N，B，

结合三角形的等面积法可得MN= ab c .

又由于FA =2AH ，可得AB= 2 3 MN= 2ab 3c ，

且BF=AF sin  ∠BAF= 2 3 b· b c = 2b2 3c ，

则点A的坐标为 c- 2b2 3c ， 2ab 3c  ，

代入双曲线方程有  c- 2b2 3c  2 a2 -   2ab 3c  2 b2 =1，

化简，得  e 3 + 2 3e  2-  2 3e  2=1，解得e= 5 .

思考：  解法1是把问题的每一个条件一一等价转化为数量关系式，思路清晰，容易想到，但运算量大.由FA =2AH 联想如何表示双曲线上的点到焦点的距离，想到双曲线的定义，困难在于双曲线的右准线在哪里.由平面几何中的射影定理容易发现准线正好经过M点，这样就获得了几个直角三角形，而由相似三角形的性质，容易获得线段之间的比例关系，因而易求得双曲线的离心率.

解法2：  如图，过点M作x轴的垂线，垂足为点N，过点A作AH垂直于直线MN，垂足为H，

易知MN即为双曲线的右准线.

由双曲线的定义知 AF AH =e，则AH= AF e = 2AM e .

又在 Rt △FMN中， AH AM = FM OF ，即 2 e = b c ，

两边平方，得 4 e2 = b2 c2 = c2-a2 c2 =1- 1 e2 ，得e= 5 .

参考文献：

［1］ 中 华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 颜思璇，唐恒钧.高考数学创造性思维考查研究——基于2018—2022年高考數学全国卷试题分析［J］.中学数学教学参考，2022（11）：31 35.