一题多解阔思路，发散思维形成中

洪坚

摘 要： 本文通过一道圆的相关题目，引导学生学习辅助线的多样添法，利用“一题多解”，归纳总结出圆中计算求值的基本方法，渗透、活化所学的知识，达到“讲好一题，带活一片”的效果.有关圆中计算求值的一般方法有：一、 构造相似三角形，利用对应边成比例求解；二、 构造直角三角形，利用勾股定理求解； 三、 寻找其他量，利用等量关系转化.讲好一道题，归纳多种解法，比较解法的优劣，做到举一反三，触类旁通，真正培养学生的发散思维、创新思维能力.

关键词： 一题多解；发散思维；创新意识

“怎样才能学好数学呢？”这是让绝大多数学生头疼的问题.常言道：熟能生巧.很多老师认为学好数学最为有效的方式就是多刷题，通过多做练习题来提升数学成绩.因此，“题海战术”便得到了部分数学老师的认同.确实“题海战术”会有一定的作用.但是数学题是做不完的.尤其在“双减”的背景下，既要让学生学好数学知识，还要减轻学生的课业负担，这就要求提升学生的数学思维能力.因此，教师要激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力，在尽可能减少练习题的情况下提升学生的学习效果.

圆是初中数学学习的一块重要内容，而圆中经常需要添加辅助线，这是学生学习的一个难点，学生思维不开阔，往往无从下手.笔者在教学中，通过圆中一个题目，引导学生学习辅助线的多样添法，利用“一题多解”，归纳总结出圆中计算求值的基本方法，渗透、活化所学的知识，收到“讲好一题，带活一片”的效果.［1］

例题   （原题） ：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ° ，以AB为直径的圆O交BC于点F，连接OC，过点B作BD//OC交圆O于点D.连接AD交OC于点E.

（1） 求证：BD=AE.

（2） 若OE=1，求DF的值.

分析：  （1） 第一小题的证明.AB=AC，∠AEC=∠BDA=90 ° ，∠ACE=∠BAD得△AEC≌△BDA，所以BD=AE.（2） 对于第二小题，当OE=1时，利用中位线性质，有BD=2OE=2，从而有AE=2，DE=2，OA= 5 ，AB=AC=2 5 ，BC=2 10 ，BF=CF= 10 .在这样的基础上，因考虑的角度不同，能得到不同的解法.

这样，通过一题多解，让学生对相关的基础知识有了更加深入的了解，对基础知识进行了强化和巩固，从而在解题过程中让学生发散思维，培养了学生探索问题的能力和解决问题的能力，这样可以解决圆中一大片有关计算的问题.现归纳如下：

1 构造相似三角形，利用对应边成比例求解

利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度，是初中几何计算的重要方法.我们首先要熟悉相似三角形常见的基本类型，如：平行型、斜交型、旋转型和垂直型等.利用相似三角形，本题提供如下四种解法：

（1）   分析：  因为DF是△BDF一条边，图中已有∠BFD=∠BAD，所以只要再有两个角对应相等，就可以构造相似三角形，连接BE，就有共点旋转型相似三角形△BDF和△BEA.

解：  连接BE，

∵∠ABC=∠DBE=45 ° ，

∴∠FBD=∠ABE.

∵∠BFD=∠BAE.

∴△BFD∽△BAE，

∴ DF AE = BF BA .

∴ DF 2 =  10  2 5  .

∴DF= 2 .

（2）   分析：  根据同弧所对的圆周角相等，有∠ABC=∠ADF，所以想到连接AF，构造DF边所在的△ADF，再利用∠DAF=∠DBF=∠OCB，构造相似三角形△ADF和△CBO.

解：  连接AF，

∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBF.

∵∠DAF=∠DBF，

∴∠OCB=∠DAF.

∵∠ADF=∠CBO，

∴△AFD∽△COB.

∴ AD CB = DF BO .

∴ 4 2 10  = DF  5  .

∴DF= 2 .

（3）   分析：  記AD，BC交于点G.利用OC//BD，联想到“X”型的三角形相似，有△CEG与△BDG相似.同时可证 △BEG与△FDG相似.

解：  连接BE，

∵BD=DE=2，∠BDE=90 ° ，

∴BE=2 2 ，∠BED=45 ° .

∵OC∥BD，

∴△CEG∽△BDG.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵∠ADF=∠ABC=45 ° =∠BED，

∴BE∥DF.

∴△BEG∽△FDG.

∴ DF EB = DG EG = 1 2 .

∴ DF 2 2  = 1 2 .

∴DF= 2 .

（4）   分析：  圆中有两条相交的弦，利用蝴蝶型相似，有△BAG与△DFG相似.

解：  ∵OC∥BD，

∴△CGE∽△BGD.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵DE=2，

∴DG= 2 3 ，EG= 4 3 ，BG= 2 10  3 ，AG= 10 3 .

∵△BAG∽△DFG，

∴ BA DF = BG DG .

∴ 2 5  DF =  2 10  3   2 3  .

∴DF= 2 .

2 构造直角三角形，利用勾股定理求解

圆的证明与计算中经常会出现直径、切线等比较特殊的条件，那么在相关的证明或计算中必然利用圆周角定理及其推论、垂径定理、切线判定以及性质的相关条件寻找或构造直角三角形，在相关计算中运用勾股定理建立线段之间的关系，从而构造方程解决问题.利用勾股定理，提供两种解法如下：

（5）   分析：  由于∠BFD=∠BAD，是定值，并且由于直角△BAD边长确定，相当于∠BFD的大小是确定的，所以过D作DF⊥BC于M，构造以DF为边的直角△FMD，利用勾股定理，构造方程求解.

解：  连接AF，过D作DM⊥BC于M.

∵OE=1，∴BD=2.

∴AE=BD=2，OA= 5 ，AB=2 5 .

∵AF=BF，∠AFB=90 ° ，

∴AF=BF= 10 .

∵∠BFD=∠BAD，

∴ tan  ∠BFD= tan  ∠BAD= 1 2 .

设DM=a，则FM=2a，DF= 5 a，BM= 10 -2a，

∴a2+（ 10 -2a）2=22.

解得a 1=  10  5 ，a 2= 3 10  5 （舍去），

∴DF= 5 a= 2 .

（6）   分析：  由于∠ADF=∠ABC＝45 ° ，是特殊角，所以过点F作FH⊥AD于H，可以构造以DF为底边的等腰直角△FHD和直角△AFH，利用勾股定理，构造方程求解.

解：  连接AF，过P作FH⊥AD于H，

设DH=FH=x，則

x2+（4-x）2=（ 10 ）2，

解得x 1=1，x 2=3（舍去），

∴DH=FH=1，

∴DF= 2 .

3 寻找其他量，利用等量关系转化

对于一个数学问题，根据已知条件不能直接得出所求结果，需要借助其他一些数据，这个数据可以称为中间量，中间量是转化问题的桥梁，有时候是解决问题的关键，通过中间量的代换，从而建立等量关系达到解题的目的.利用等量关系转化，提供三种解法如下.

（7）   分析：  由题中△ABC是等腰直角三角形这个条件，连接AF，则AF是底边BC上的高，AF=BF= 10 ，又有BD=AE，∠DBF=∠DAF，联想到全等三角形，连接EF，有△BDF和△AEF全等，从而有DF=EF.

解：  连接EF，AF.

∵OE=1∴BD=2，

∵△ABD≌△CAE，

∴AE=BD=2.

∴DE=AE=2.

∵DF =DF ，

∴∠DBF=∠EAF.

∵△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF.

∴△BDF≌△AEF.

∴DF=EF.

∵∠EDF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEF是等腰直角三角形.

∴DF= DE  2  = 2 .

（8）   分析：  由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠ADB=90 ° ，联想到等腰直角三角形，所以延长FD可以构造等腰直角三角形，从而利用等量关系求出DF.

解：  过B作BH⊥FD于H.

∵∠BFH=∠BAD，

∴ sin  ∠BFH= sin  ∠BAD= BD AB = 2 2 5  =  5  5 .

∴ BH BF =  5  5 ，而BF= 10 .

∴BH= 2 ，HF=2 2 .

∵△BHD是等腰直角三角形，

∴HD=BH= 2 .

∴DF=HF-HD= 2 .

（9）   分析：  由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠DEF=90 ° ，联想到等腰直角三角形，所以延长DF交CE于H，就可以得到等腰直角△DEH，从而利用等量关系求出DF.

解：  延长DF交CE于H，连接EF.

由已知可得△BDF≌△CHF，

∴CH=BD=2，DF=HF.

∵CE=4∴EH=2=DE，

∵∠DEH=90 ° ∠ADF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEH是等腰直角三角形.

∴DH= 2 DE=2 2 .

∴DF=HF= 2 .

解决问题的策略、方法和途径可以是多种多样的，《数学新课程标准》（2011版）强调了这种“多样性”，并且希望学生由此发展创新意识.对于第一问出现不同的解决方法时，教师应该因势利导，引导学生自主讨论，分析和对比不同方法的优劣.学生在解决问题的过程中锻炼了解决问题的能力，培养了创新意识.

本题的多种解法，让我们看到了数学思想方法的多样性，培养了学生的发散思维、分析能力、创新意识.通过一题多解，可以寻找一种最优、最简便的方法，掌握“一题多解”能拓广思维力度，还能够对相关基础知识进行巩固，同时培养了学生的数学思维和创新能力.所以，讲好一道题，归纳多种解法，比较解法的优劣，能更大程度的激活思维.做到举一反三，触类旁通，让学生切身感受到数学的魅力和乐趣.

参考文献：

［1］ 李美华.“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的价值研究［J］.数学学习与研究，2018（10）：137.