解三角形中的模型探究

吴玮

【摘要】解三角形问题时需引入几何模型，常见的有“背靠背”型、“母抱子”型、“拥抱”型，探究学习要解读模型，生成解题策略.本文探究分析三大解三角形模型，并结合实例开展应用探究，与读者交流学习.

【关键词】解三角形；“背靠背”型；“母抱子”型

解三角形是初中数学的重点问题，解题时常需要使用模型，如“背靠背”模型、“母抱子”模型、“拥抱”模型等，可利用模型的性质特征来转化条件，构建思路，下面结合实例具体探究解三角形中的三大常用模型.

模型探究一 “背靠背”型

“背靠背”模型，即解三角形时构造两个三角形“共侧边、反向靠”的模型.如图1所示，解三角形ABD，此时可过点A作垂线AC，构造两直角三角形：Rt△ACD和Rt△ACB.AC为两直角三角形的公共边，也是解题的关键，模型中有DC+CB=DB.

例1 如图2（a），海中有個小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为海里.

解析 本题目实则为解三角形ABD，可构造“背靠背”模型.过点A作AC⊥BD，如图2（b），根据方位角及三角函数即可求解.

依题意可得∠ABC=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，

AB=20（海里），则AC=BC=AB·sin45°=102（海里）.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°，

评析 上述解△ABD求AD长时构造了“背靠背”模型，Rt△ACD和Rt△ACB有公共边AC，解三角形时充分利用进行线段长推导.

模型探究二 “母抱子”型

“母抱子”模型，即解三角形时构造两个三角形“共侧边、同向靠”的模型，且两个三角形有明显大小差异.如图3所示，解三角形ABD，此时可过点A作BC上的垂线AC，构造两直角三角形：母型三角形——Rt△ACB、子型三角形——Rt△ACD.在两个直角三角形中，AC为公共边，有DC+BD=BC.

例2 如图4（a），在一条笔直的海岸线l上有相距4km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km.

解析 本题目实则为解三角形ABC，求点C到l的距离，可构造“母抱子”模型.过点C作CD⊥AB于点D，如图4（b）所示，后续根据等腰三角形的判定和性质解直角三角形即可求出答案.

根据题意可得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，

所以∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，

可推得∠CAB=∠ACB，

所以BC=AB=4km.

评析 上述解△ABC时，构造了“母抱子”模型，Rt△CBD和Rt△CAD为相互拥抱的结构，并有公共边CD，解△ABC可求CB长，后续解Rt△CBD即可推出CD.

模型探究三 “拥抱”型

“拥抱”模型，即解三角形时构造两个“底边共线、定角相对、侧边平行”的模型.如图5所示，Rt△ABC和Rt△BDC底边共线，侧边AB和CD相平行，充分利用底边BC（EF）进行转化求线段长是解题的关键.

例3 大楼AB是某地标志性建筑，如图6所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的

解析 本题目求线段AB长，可构造“拥抱”模型，过E作EF⊥AB于F，如图6虚线所示.分析可知四边形ACEF是矩形，所以EF=AC，AF=CE.

在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45（米），

所以BF=EF瘙簚tan72°=239.78（米），

可推知AB=BF+AF=239.78+1.5≈241.3（米），

即大楼AB的高为241.3米.

评析 上述解三角形时构造了“拥抱”型模型，Rt△ACD和Rt△BEF可视为是“相对拥抱”的结构，求解时充分利用底边相等这一特殊条件，串联两直角三角形，进而求出AB长.

结语

总之，上述所探究的几何模型在解三角形问题中有着广泛的应用，探究学习中要从以下两个视角进行：视角一，探究模型结构，总结结构性质，生成类型题的解题策略；视角二，探究模型应用，结合实例开展模型应用解析，总结解题方法.