解答平面解几的另径

梁义

摘 要：将解析几何中繁杂、冗长的计算问题转化为几何问题，尤其是解三角形问题，达到精炼、准确处理解析几何问题。

关键词：解析几何；圆锥曲线；解三角形

解析几何是“经典”的坐标法，就是用代数的方法解决几何问题，就是计算几何，但这种计算通常十分繁杂、冗长、甚至无法得出结果。其实解几问题也可以通过数形结合的思想，将问题转化为几何问题。这里我将主要以转化为解三角形的形式，这样很多问题会变得简单、有趣。下面就以近四年高考全国卷（理科）试题为例，举例说明。

例1：（2016年全国理11题）。已知F1、F2是双曲线E：■-■=1的左右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2 F1=■，则E的离心率为（ ）

A.■ B. ■ C.■ D.2

解法一：在Rt△MF1F2中：

∵sin∠MF2F1=■

∴|MF1|=■|MF2|

∴2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-■|MF2|=■|MF2|

2c=|F1F2|=■=■MF2

∴e=■=■

故选A。

解法二：由sin∠MF2F1=■

∴tan∠MF2F1=■

∴xm=-cym=■

代入双曲线■-■=1

？圯2b2c2-a2c2=2a2b2

？圯2（c2-a2）c2-a2c2=2a2（c2-a2）

？圯2c4-2a2c2-a2c2=2a2c2-2a4？圯2e4-5e2+2=0

∴e2=2或e2=1（舍去） 即： e=■

点评：（1）此题就是圆锥曲线的“焦点三角形”，也是解析几何中的重要三角形。“边”就是圆锥曲线的元素，所以很容易想到解三角形，而且结题效果很凑效。

（2）也可通过解方程计算（方法二）达到目的，但运算量较大，不太精炼。

例2：（2015年全国卷理11题）。已知A、B为双曲线E的左右顶点。点M在E上。△ABM为等腰三角形，且顶角为 °120°，则E的离心率为（ ）

A.■ B.2 C. ■ D. ■

解：由双曲线的对称性，∠AMB不可能是顶角，不妨设∠MBA=120°。连MF2（F2为E的右焦点）。

在△BMF2中， ∵BM=2a， ∠MBF_2=60°

∴xm=2a ym=■a

？圯■-■=1？圯a=b ∴e=■

故选D

点评：此题就是“顶点三角形”，也是圆锥曲线的重要三角形，自然也是解三角形的问题。由于三角形形状已确定，进而解△BMF2，思维合理、自然。

例3：（2014年全国卷理10题）。已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为L，P是L上一点。点Q是直线PF与C的一个交点。若■=4■则|QF|=______

A.■ B.3 C.■ D.2

解：设|QF|=a， ∴|FP|=4a？圯|PQ|=3a.

过Q作QM⊥L交L于M.

∴OF=4， |MQ|=a

∵△OPF～△MPQ？圯■=■？圯■=■

？圯a=3.

点评：由抛物线的定义|QF|=|QM|，问题马上化解为两个相似Rt△边的关系，迅速解答。

例4：（2013年全国卷理11题）。设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F。点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点（0.2）。则C的方程式为______

A.y2=4x，或y2=8x. B.y2=2x，或y2=8x.

C.y2=4x，或y2=16x. D.y2=2x，或y2=16x.

解：设N（0.2），连NM、NF.

∴△NMF是以N为直角顶点的Rt△，

由抛物线的定义：xm=5-■.

y2m=2p.（5-■）=10p-p2. 不妨设ym=■

∴■（5-■）-2■+4=0？圯p=2或者8，故选C。

点评：将以MF为直径的圆的过点（0.2）化为△NMF是Rt△是本题的关键。因为垂直，所以可以考虑是勾股数，斜率积、数量积。都较为容易获解。

以上四例都是近四年高考“圆锥曲线”的四道压轴题，其解法却可化为三角形问题。说明三角形解法在“圓锥曲线”问题中很是有效。敬请各位同仁共赏。