解三角形中的最值问题

赵志桐+高文华

【摘要】解三角形是历年高考题的考察重点，属于必考内容。在解三角形的问题当中，关于最大值、最小值、结果的范围等问题属于其中的难点问题。本文对于常见的解三角形中的极值问题进行了分类、归纳总结，使得学生能够学会这类问题的通式通法，在考场上节约时间，提高做题效率。

【关键词】高考 解三角形 重要不等式 最值

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0147-02

在解三角形中，仅仅应用正弦定理以及余弦定理是不足以解决最值问题的，需要与其他知识相结合才能解决。接下来本文就对解三角形中最值问题常见的几种情况进行讨论。

1.利用重要不等式得出最值

有些题目通常利用正弦定理、余弦定理对题目的已知条件进行转化，可以产生形如“ab”或“a2+b2”的形式，此时便可利用重要不等式“a2+b2≥2ab”，将其带入得到最值。

例1已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为 。

解答：利用正、余弦定理以及同角三角函数基本关系可得到sinA=■。

根据正弦定理S△ABC=■bcsinA=■bc，由题目已知条件可得bc=c2+b2-4，将重要不等式带入可得bc=c2+b2-4≥2bc-4，即bc≤4，带入之前的式子得到△ABC面积的最大值为■。

在这道题目当中，通过对于正、余弦定理以及同角三角函数的基本关系综合应用，将题目的已知条件进行转化、变换，将所求的三角形面积化简为■bc，将求三角形面积的最大值问题转化为求bc的最大值。

接着将已知条件进行转化从而产生包含重要不等式的形式，进而便能够得到bc的最大值从而解决本题。

2.利用图形来找到所求量的范围

例2 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 。

解答：∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°。又BC=2，所以当点D与点C重合时，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■；

当点D与点A重合时，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因为ABCD为四边形，所以AB∈（■-■，■+■）。

在这道题目之中，当点D与点C重合时，无法构成四角形，此时为AB边长度的最小值；同理当点D与点A重合时，此时AB边长度最大。所以只要分别求出这两种情况下的AB的边长，也就得到了边长的最大值与最小值。

3.利用辅助角公式求解最值

例3：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

解答：（1）通过正弦定理可以解出∠B=■，具体过程略。

（2）由正弦定理可知，S△ABC=■acsinB，且有■=■=■=2■，由此可得，S△ABC=2■sinAsinC=2■sinAsin（π-A-B）=2■sinAsin（π-A-■）=2■sinAsin（■π-A）=2■sinA（■cosA+■sinA）=2sinAcosA+2sin2A=sin2A-cos2A+1=■sin（2A-■）+1，所以△ABC面积的最大值为■+1，当A=■时，取得最大值。

首先，利用正弦定理求解出∠B的值。第二问通过正弦定理将所求面积转化为求sinAsinC最大值。接着利用上一问求出的∠B的大小，通过三角形内角和、两角和与差公式、三角函数基本关系式以及诱导公式，将问题转化为只包含一个角与一个三角函数的形式，从而解答出本题。

在解三角形当中涉及到最值问题通常是考试中的难点，只要系统化掌握高中阶段所学知识，能够灵活運用、融会贯通，这类问题便将迎刃而解。