聚焦数学思维高度的解题研究*

刘 鹏 陈建新 (浙江省义乌市北苑中学 322015)

数学家波利亚说过,掌握数学就意味着善于解题.当前教育环境和素质教育背景下,作为教师,在关注解题答案的同时,更应该重视解题的思维过程,以促进学生核心素养的发展.用“题海战术”来代替思维能力的培养从而避开数学思维发展的观念,是不可取的.实际上,数学解题活动本身是一种数学的思维活动.在原有的思维结构下,思维活动呈现出同时性、历时性、多联系的特征[1].具体来说,一个数学问题的解决,思维品质起主导作用.尤其是探究、解后反思的环节,主要受思维深刻性的影响.然而,回顾理论之维和实践之径两个方面发现,试题中思维深刻性的研究普遍过于单一、片面,难以清晰地揭示解题与思维两者的关系.笔者认为,以教师专业发展为价值取向,借助“高观点”的视角审视解题中的思维深刻性,能够开拓初等数学问题的研究思路,更是一线教师提升自身专业水平的绝佳路径.基于此,本文依据高观点的基本内涵,着力深化对数学思维深刻性的认知,寻求两者之间的契合点,构建数学思维高度分析视角,以二次方程解的有关代数问题为例展开分析,试图启发解题研究的方法与智慧.

1 高观点的内涵

众所周知,菲利克斯·克莱因在其著作《高观点下的初等数学》中首先提出“高观点”这一思想[2].所谓高观点,即“高观点下的初等数学”,用高等数学的知识、思想和方法分析和解决初等数学的问题.包括现代数学的思想与方法在中学数学中的渗透、高等数学对中学数学的具体指导、借助高等数学的背景分析中学数学中不易处理的问题[3].于初中数学而言,以揭示数学概念本质属性,并根据其发生发展的过程,衍生出各种思想方法为目的,从而架起初等数学与高等数学之间的桥梁.简单来说,中学里的许多问题是高等数学的下位具体表现,高等数学是作为中学数学解题的上位宏观指导.这意味着在进行解题研究的过程中,应当站在更高的视角,加深对初等数学的理解.

2 数学思维深刻性的内涵

数学思维深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平,以及思维活动的广度、深度和难度.能够把握数学对象的内在特征,减少思维中表面化和绝对化的通病[4].不仅体现在解决问题过程中,更体现在解后的进一步思考中.具体表现为两方面:一是从知识角度来看,对数学概念理解的深刻程度;二是从方法角度来看,对数学问题的内容或形式进行重组、变式、举反例等,体现为层次性.

3 解题研究中的数学思维高度

当前,一线教师对试题中所蕴含数学思维深刻性的分析往往停留在初等数学的阶段.在讲解题目中的相关数学概念时,多以复述的形式将教材中的定义原封不动地呈现,机械地记忆使得数学知识孤立于学生大脑中,难以形成完整的结构,从而陷入零散型与碎片化的学习困境,以致学生在解题时概念模糊,运用方法不得当,在解题反思中只是将常规的解题方法再强化,而少有创新、突破.长此以往,思维深刻性的发展遇到了瓶颈.

在笔者看来,由于高观点与数学思维深刻性在知识与方法两个角度上具有共性,高观点的思想在一定程度上能够促进思维深刻性的发展.根据两者的基本特征得出以下两点:一方面,深刻性本身体现“联系”这一观点,即初等数学与高等数学是统一的整体.以知识的发生发展为线,追根溯源,从更高的视角看问题,体现了知识历时性与思维活动多联系结合的特征,即数学内容上的思维高度.另一方面,以思想方法为脉,由具体相应的解题策略逐步向一般性思维策略过渡,从而优化数学问题的重组、变式,体现方法的多样化与思维活动多层次、多水平结合的特征,即数学方法上的思维高度.综上所述,聚焦数学思维高度的解题研究,即借助高等数学的知识与方法来加深对初等数学知识与方法的理解,从数学知识与方法构成数学思维高度,并据此进行解题研究.现结合具体案例进行说明.

4 聚焦数学思维高度的解题分析

4.1 聚焦知识,呈现思维高度

问题1求方程5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0的实数解.

本题普遍采用判别式法,将y看作是常数,构成关于x的一元二次方程,得如下解法.

解法1原方程即5x2+(6y-14)x+2y2-8y+10=0,由于方程有实数解,所以判别式大于或等于0,得Δ=(6y-14)2-20(2y2-8y+10)= -4(y+1)2≥0,当且仅当y=-1时,方程有实数解,得x=2,y=-1.

说明 这一思路说明解题者对中学阶段的判别式法已经烂熟于心,是常规方法.倘若对教材理解深刻,仔细观察解答过程中的Δ≥0部分,就能够发现这里实际上运用了配方法.追根溯源,教材中在讨论实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)是否有实数解的问题时指出需要利用判别式,对等式两边乘以4a,得4a2x2+4abx+4ac=0,变形得到(2ax)2+2·(2ax)·b+b2=b2-4ac,对等式左边配方,得b2-4ac=(2ax+b)2≥0.从数学思维高度的视角来看,这里配方法的本质是作了一次线性变换,令y=2ax+b,使得上述方程缺失x的一次项,并转化为y2=b2-4ac来求解.这就自然想到三次方程、四次方程都可以相应地缺失x2和x3项,进行线性变换[5].这里不再拓展.

教师应将教材中冰冷的知识加以锤炼,变成火热的思考,而这种思考应具有一定的思维高度,能够站在以中学直至大学为背景的知识发生发展的角度.不仅仅是本题配方法所运用的线性变换,还有其他许多内容.以配方法为例,在中学层面,在因式分解、二次根式、解方程、不等式、函数最值或性质等多个方面都涉及;大学层面,最小二乘法、二次型、矩阵打洞、积分换元等也有涉及[6].这就说明,数学知识不是孤立的个体,而是一个完整、庞大的体系.回过头来,我们对原问题所需的知识作了一个数学思维高度上的分析,那么是否能够将知识转化为方法呢?

4.2 聚焦方法,提升思维高度

根据上述线性变换的有关内容,结合一元二次方程的配方思路,亦可得到另一种解法.

解法2将原方程两边乘以5,得25x2+5(6y-14)x+5(2y2-8y+10)=0,配方得(5x)2+2×(5x)×(3y-7)+(3y-7)2-(3y-7)2+5(2y2-8y+10)=0,化简得(5x+3y-7)2+(y+1)2=0,得解x=2,y=-1.

说明 在代数方程问题上,从知识角度来看,由判别式的由来引出配方法.以高等代数中线性变换的思路出发,达到了消元的目的,减少未知数的个数,得到解法2.相比于解法1,学生更能理解教材中判别式的来路、去路,规避了解题思维的盲点,减少了思维走向中的坡道和可能的弯路、岔路.当然,本题对代数式恒等变形的过程与步骤要求较高,不适用于多数学生,却是一种思维提升的路径.既然利用线性变换的有关知识能够形成解法2,那么进一步思考是否还有其他的思路.先看问题2.

说明 不难发现,这一解法正是大学数学《高等代数》课本中有关二次型化为标准型的一种方法,其实质就是将其化为平方的形式,只不过配方的对象更为一般化.对形如a2+2ab+2ac的等式也能配方,变形为(a+b+c)2-b2-c2-2bc=(a+b+c)2-(b+c)2,那么对于问题1又会有新的思路:

说明 对比来看,解法2是乘上系数5,而解法3却是提取系数5,有异曲同工之妙.解法3先将含有x的项整理到一起,提取系数后配成平方,增减其余项.对剩下的项依次配方,即可完成整个式子的配方.借助高观点的思想,使得配方形式逐渐多样化,在方法的变化上,提升了数学的思维高度.那么,进一步反思:是否有第三种或者第四种配方的形式能够用来解本题呢?

4.3 探究反思,突破思维高度

解题研究中,解决问题固然重要,但是解题反思依然是锻炼思维的关键步骤,而真正有价值的反思决不是为了多几种解题方法,如此并没有揭示本质.能够根据问题回归教材,依纲靠本,才是当前解题所倡导的.因此,针对问题1,我们从教材中的公式ax2+bx+c=0(a≠0)出发,根据前文配方法的多样化可知并不是无规律可循.有了以上分析,马上可以看出顶点式就是将含x的二次项和一次项进行配方所得到:

那么,进一步思考,能否对公式中含x的二次项和常数项进行配方呢?形式如下:

同理,对公式中含x的一次项和常数项也进行配方的尝试:

说明 至此,根据配方的不同对象进行组合,得到以上三个不同的配方形式.说明同一个数学式子的配方形式往往不止一种,可以配多个平方式,每个平方式又可以含有多项,每一项又可以用来解决不同的数学问题或者是为同一问题提供不同的方法.从数学思维高度来看,是由具体的配方策略向一般性配方策略逐渐过渡的体现,可以说是数学“再创造”的过程,明确配方的方向与对象是产生多种配方形式的根本所在.数学探究就是数学思维活动的过程,学生若是能够经历这样的环节,那么提升思维高度的效果是不言而喻的.并且,基于方法层面的数学思维高度来看,当数学方法达到一定的数量或程度时,为了能够清晰地揭示问题的本质,我们应当继续深入思考:是否能将方法一般化呢?于是我们又可以将问题1进行重组.

问题3方程5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0的解为x=2,y=-1,可得哪些配方形式?

解5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=a(x+2y)2+b(x-2)2+c(y+1)2+d(x-y-3)2+e(x+y-1)2=x2(a+b+d+e)+x(4ay-4b-2dy-6d+2ey-2e)+y2(4a+c+d+e)+y(2c+6d-2e)+4b+c+9d+e,对应方程系数有a+b+d+e=5,4a+c+d+e=2,2c+6d-2e=-8,4b+c+9d+e=10.得

(出现无穷多解).

说明 在问题1的基础上,逆向重组得到问题3.已知方程的解,发现问题3中根据对应系数可得满足方程的字母系数有无穷多组,从而可以写出无数个满足方程解的配方形式.同时,也揭示了前文的方法并不是空穴来风,而是有据可循.只不过在日常的解题活动中,几乎不会有教师或学生对问题1进行类似的反思:如何解这样的方程?为什么要这样解方程?还能怎样解方程?只是将固定的解题程序搬到课堂中,学生也只能靠着死板的记忆将其吞下,而没有“消化”.以上的探究突破了原有的数学思维高度,充分把握知识发生与发展的不同阶段,并找到了各个阶段之间的联系,为开展丰富的思维活动创造了空间.我们说,人的思维依赖于必要的知识与经验,而数学知识正是解题思维活动的出发点与依据,知识的“整体观”为题意的本质理解与思路的优化提供了成功的条件,使得我们在探讨解题方法时,透过机械的解题程序,找到不同的方法与数学知识之间的对应性,最终提炼出方法的一般性,以达到“一题可破万题山”的解题策略.这样的解题研究,才能突破思维的局限性,开拓思维高度.

5 结语

从解题研究来看,试题的研究本身是一个封闭性的学科问题,其结果是固定的,解决这些问题所需要的知识、方法大体上也是比较明确的.从思维活动来看,这些是作为数学思维品质的具体表现形式.简而言之,部分数学问题中体现的思维品质也是特定的,只不过由于思维结构的特殊性、思维活动的复杂性,我们难以独立地对试题进行分析.因此,本文从解题和思维两个方面出发,指出当前解题研究中关于思维深刻性探讨的局限,注入了高观点的思想与方法,对原有的缺陷进行了一定的弥补,形成应用于试题分析的数学思维高度概念,并优化知识与方法两个客观指标,用以描述解题过程中思维深刻性所体现的程度.并以代数方程问题为例,进一步解释聚焦数学思维高度的解题研究,既要体现数学知识历史的发展性,又能体现知识的整体性,真正突出“高度”.进而在知识的“高度”上,落实为方法实施的“高度”,使得整个解题分析的思维活动深刻、有效.当然,对于解题过程的探讨远远不止这些,思维的研究更是一个漫长、艰难的任务,需要广大数学教师进一步思考与实践.