追溯知识本源 深化概念理解——HPM视角下圆锥曲线单元复习课的教学

戴祥辉 (甘肃省兰州市兰炼一中 730060)

刘梦哲 (华东师范大学教师教育学院 200062)

雷沛瑶 (华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

圆锥曲线作为解析几何的重要部分之一,是高中数学教学的重点与难点．《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质;了解抛物线与双曲线的定义、标准方程及简单几何性质.也强调了教学中要创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[1]．

在已往的圆锥曲线单元复习课中,教师更多的是以试题为导向,关注圆锥曲线的代数特性,例如:陈静以一道高考题为源逐步展开变式,以此帮助学生建立知识的广泛联系[2];吴清清站在整体设计的角度,深入挖掘课本中的例题或习题中的思想方法,通过试题的重组加工,培养学生的数学核心素养[3]．然而,在“重代数(重解析)”的背后,却隐藏着“轻几何”的问题,学生迷失在“繁重的计算”和“复杂的技巧训练”之中,甚至学习完本章之后还会觉得圆锥曲线离他们很遥远,不明白到底圆锥曲线在哪里,又为什么要学习它．产生这样的困惑正是因为学生没有经历知识的形成过程,从而缺乏对知识本质的理解,也难以体会到数学来源于生活、用于生活．

数学史对学生具有丰富的教育价值,它有助于构建知识之谐、彰显方法之美、营造探究之乐、实现能力之助、展示文化之魅、达成德育之效[4]．鉴于此,本节课尝试从HPM的视角重构教学,用学生熟悉的情景再现圆锥曲线的产生和发展过程,揭示三种曲线的内在联系,统一轨迹定义与截线定义,让学生回到知识之源,体验像数学家一样的探索过程,认识到圆锥曲线的本质,从而对数学有更加完整的认识．

2 历史材料及其运用

公元前4世纪,梅内克缪斯(Menaechmus,约前380—约前320)为研究倍立方问题,用垂直于母线的平面分别去截顶角为直角、锐角和钝角的正圆锥,分别得到直角圆锥曲线、钝角圆锥曲线和锐角圆锥曲线,即今日之抛物线、椭圆和双曲线,被后人称之为“梅内克缪斯三线”,但梅内克缪斯只研究了双曲线的一支．后来,阿波罗尼奥斯(Apollonius,约前262—约前190)对前人的工作进行了综合和创新,并编著了《圆锥曲线论》.他是第一个使用同一正圆锥或斜圆锥来得到三种不同圆锥曲线的人,也是第一个发现双曲线有两支的人．其后的古希腊数学家囿于纯几何的方式,依然从静态的角度研究圆锥曲线性质,故而对圆锥曲线的研究贡献不多．

17世纪初,笛卡尔(R.du P.Descartes,1596—1650)和费马(P.de Fermat,1601—1665)创立了解析几何,圆锥曲线的研究进入一个新纪元,数学家开始从代数的角度,运用解析的方法,研究圆锥曲线的定义、方程和性质．1679年,法国数学家拉伊尔(P.de La Hire,1640—1718)在《圆锥曲线新基础》中给出了椭圆的轨迹定义(第一定义).1707年法国数学家洛必达(L’ Hospital,1661—1704)在《圆锥曲线分析论》中用该定义推导了椭圆的方程．1822年,比利时数学家旦德林(G.P.Dandelin,1794—1847)利用圆锥的内切球,得到了圆锥曲线的焦半径性质,直观地证明了截线定义与轨迹定义的统一性．

基于此,本课例采用多种方法来运用历史材料．首先,整体上采用重构式,如图1,按照圆锥曲线定义的发展历史创设情境,促进学生对圆锥曲线本质的深入理解;其次,利用附加式呈现了阿波罗尼奥斯的成就和对几何学发展的影响,从历史的角度说明轨迹定义产生的必要性,并对旦德林的贡献作了简单说明,同时,为了融入更多的数学文化,还呈现了阿波罗尼奥斯、拉希尔、旦德林的画像以及《圆锥曲线论》书影;最后,顺应式地改编了圆柱旦德林双球模型,把其作为例题,将平面斜截圆锥模型作为练习．

图1 数学史料的运用

3 教学设计与实施

3.1 数学实验——生活中的圆锥曲线

问题1我们把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们为什么叫圆锥曲线?和圆锥有什么关系?

为了回答问题1,教师给学生演示了3个实验,见表1．

表1 生活中的圆锥曲线

问题2实验中你得到了什么圆锥曲线?这些圆锥曲线是怎么形成的?

生:椭圆,双曲线,抛物线．液面与杯子的交线,墙面与光束的交线．

师:实际上,圆台形的杯子和手电筒的光束可以看成是哪种几何体的一部分?

生:圆锥!

师:杯子与水面相交、光束与墙面相交,尽管形式和内容不同,但是实质相同,都可以看成是“平面斜截圆锥面”的数学模型．

设计意图古希腊数学家从削尖的圆木桩发现了椭圆,截线定义便是源于这一原始形态.从发生教学的角度设计相似情景——生活中寻找圆锥曲线的数学实验,从引导学生找到共性,抽象出数学模型——平面斜截圆锥面,让学生体会到数学知识产生的本源,也为后面的“再创造”截线定义埋下伏笔．

3.2 溯本求源——历史上的截线定义

师:用平面去截圆锥面,可以得到椭圆、双曲线、抛物线,古希腊几何学家将这类曲线统称为圆锥曲线．这就是圆锥曲线的截线定义,也是圆锥曲线命名的由来．

学生观看平面斜截圆锥的动画．

问题3怎么才能截出椭圆、双曲线、抛物线?即圆锥截面的形状和什么有关?

生:圆锥截面的形状和平面与圆锥的位置关系有关．

设计意图通过数学实验和动画展示,让学生动态地认识圆锥曲线,并自主探究平面与圆锥的位置关系如何影响截线形状,教师进行补充完善,师生共同形成圆锥曲线的截线定义,实现“再创造”．

图2

A．圆 B．双曲线的一部分

C．椭圆 D．抛物线的一部分

师:实际上,大家刚才得到的结论与希腊数学家阿波罗尼奥斯得到的一样.早在公元前200年左右,他就在其所著的《圆锥曲线论》一书中总结了这一结论．这本巨著包括了400多个命题,将圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽,使后人难有插足的余地.但是这种单一的纯几何形式,也使其后近两千年的几何学裹足不前．到了16世纪,随着运动学、天文学的兴盛,行星运动和抛体运动要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线[5].直到17世纪末,法国数学家拉伊尔才摒弃了古希腊的截线定义,给出轨迹定义,即大家课本上学习的第一定义,为后续用方程研究圆锥曲线奠定了基础．

设计意图利用数学史的介绍,让学生了解阿波罗尼奥斯的成就和对几何学发展的影响,从历史的角度说明我们要从运动变化的观点研究圆锥曲线,也即阐明圆锥曲线的轨迹定义产生的必要性．

3.3 上下求索——圆锥旦德林双球模型

问题4截线定义与轨迹定义有什么关系呢?

师:事实上这个问题也困扰了数学家们100多年,直到1822年才由比利时数学家旦德林用模型巧妙地解决了这个问题,架起了圆锥曲线的截线定义与轨迹定义之间的联系．后人就以他的名字命名了该模型——旦德林双球模型．下面让我们以椭圆为例一起揭开旦德林双球模型神秘的面纱．

教师利用GeoGebra制作了旦德林双球模型,由此证明椭圆的第一定义(图3)．

图3 椭圆的旦德林双球模型

师:顾名思义,旦德林在截面的两侧分别放置两个小球,使得球与截面和圆锥内表面均相切.我们能观察到两球与截面各有一个切点.大家猜想一下,这两个切点可能是什么?

生:焦点．

师:我们就记这两点分别为F1,F2,既然这里涉及球的切线问题了,我们不妨先来复习一下:过圆外一点作切线,可以作几条?切线长有何关系?

生:两条,且切线长相等．

师:类比到空间,过球外一点作切线,可以作几条?切线长有何关系?

生:无数条,切线长也相等．

师:在圆锥与截面的交线上任取一点P,过点P作圆锥的母线,与两球相切于点M,N,连接PF1,PF2,由切线长相等可知什么?

生:PM=PF1,PN=PF2,则PF1+PF2=PM+PN=MN为定值,所以截线为椭圆．

师:利用这个方法,旦德林不仅证明了椭圆的定义,也证明了双曲线与抛物线的定义,从而统一了圆锥曲线的截线定义与轨迹定义,填平了截线定义与轨迹定义跨越2000年的历史鸿沟．

设计意图从截线定义到轨迹定义,学生自然会产生“这两者有何关系,能否统一”的疑问,于是,教师顺势提出旦德林双球模型,并以椭圆为例进行证明．证明过程中借助GeoGebra演示,并类比圆的切线结论,得到球的切线结论,由此为学生搭建“脚手架”,降低学生思维难度.在这个过程中也对旦德林的贡献作简单说明,让学生体会到旦德林模型之“妙”.

3.4 自探模型——圆柱旦德林双球模型

师:实际上,旦德林发现的这个数学秘密就隐藏在我们身边．

问题5我们用点光源照射小球,观察它形成的影子,可能是什么(图4)?

图4 点光源照射小球示意图

生:椭圆、双曲线、抛物线．

师:从“旦德林的视角”,你能发现什么?

生:点光源可以看成圆锥面,小球内切于圆锥面!

师:除了用点光源照射小球,我们还能用什么光源照射小球呢?

生:平行光!

问题6现在我们用太阳光照射小球,会形成什么形状的影子呢(图5)?

图5 平行光照射小球示意图

生:椭圆!

师:一定是椭圆?

生:垂直照射得到圆,斜射得到椭圆．

师:请大家再次进入“旦德林的视角”,可以发现什么?

生:小球内切于圆柱．

探究2 请大家类比“平面斜截圆锥”的证明方法,证明平面斜截圆柱得到的截线是椭圆．

学生展示如图6所示．

图6 学生展示

设计意图利用光照小球,让学生体会到旦德林双球模型实际上就隐藏在我们身边,数学无处不在,提醒学生要善于观察和思考,学会用数学的眼光观察世界;从点光源到平行光源,自然地从圆锥过渡到圆柱的旦德林模型,类比迁移,让学生自主探究,学会用数学的思维思考．

3.5 乘风破浪——学以致用

例2如图7,在一个高为10、底面半径为2的圆柱体内放两个小球,球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切,则此平面截圆柱边缘所得的图形是一个椭圆,该椭圆的离心率为．

图7

练习正方体ABCD-A′B′C′D′中,点P是侧面BB′C′C上一点,且满足:

(1)若∠BD′D=∠PD′D,则点P的轨迹是( );

(2)若∠BD′D=∠BD′P,则点P的轨迹是( )．

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

3.6 开源引流——小结课堂

师:今天的圆锥曲线单元复习课大家有什么收获?

生1:我学习了如何用平面斜截圆锥得到不同的圆锥曲线,平面图形也可以在空间几何体中得到．

生2:我知道了圆锥曲线的发展历史、来源,还有椭圆、双曲线、抛物线是有内在联系的．

生3:数学就在我们的生活中,那些看似平常的现象中也蕴含着数学,我们要有一双发现数学的眼睛,去观察身边的现象．

师:伽利略曾经说过,“大自然这本书是用数学语言写成的”,当我们用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界时,你会发现圆锥曲线就在身边,希望同学们也能在追求真理的路上继续开拓和创造!

3.7 举一反三

扩展作业:类比椭圆的证明方法,利用旦德林模型证明截面图形是双曲线和抛物线．

设计意图将课堂上未完成的探究延伸至课外,让学生数学核心素养的提升得以持续．

4 总结与反思

4.1 深化概念理解

数学心理学家斯根普(R.Skemp)把数学理解分为“工具性理解”和“关系性理解”[6].在此基础上,任伟芳等提出了数学理解的三个层次,即工具性理解、关系性理解和创新性理解[7]．

传统教学中的“两钉一线”“拉拉链”等数学活动服务于圆锥曲线的轨迹定义,这些数学活动脱离了学生的经验范围,让概念的产生有种“从天而降”的感觉,也导致学生无法理解三种曲线内在的联系,对圆锥曲线概念的理解停留在“工具性理解”层次．

回到知识产生的源头,平面斜截圆锥所形成的交线是圆锥曲线的原始定义,基于此先设计数学实验——生活中的圆锥曲线,让学生在不同情境下抽象出同一数学模型,动态地认识圆锥曲线,并形成截线定义.这不仅能揭示知识发生的过程,也能促进学生理解三种曲线之间的本质关系;接着利用圆锥旦德林双球模型揭示两种定义之间的联系,把截线定义联结到学生已有的认知结构中,揭示了知识的发展过程,让学生对圆锥曲线的概念理解达到“关系性理解”层次．

通过光线照射小球启发学生提出新问题“平面斜截圆柱的截面图形是什么?”得到新猜想“平面斜截圆柱的截面图形是椭圆”,进而完成新验证“证明平面斜截圆柱的截面图形是椭圆”,把已有的知识推广、扩展,推陈出新,让学生对圆锥曲线定义的理解达到“创新性理解”的层次,让数学史的融入真正有效地深化学生对数学概念的理解．

4.2 落实立德树人

HPM视角下的数学教学在数学与人文之间架起了一座桥梁,因而可以发挥独特的德育优势．已有的HPM教学实践表明,数学史可以在培养学生的理性、信念、情感和品质上发挥重要作用[4]．

一是“理性”．历史上几何学的概念经历了三个步骤:一是直观感知,即无意识几何阶段;二是实验操作阶段;三是演绎证明阶段．本课例隐含的主线是直观感知、实验操作、演绎证明,学生通过观察—建模—证明,把直观感性的认识通过演绎证明上升到了理性的认识,培养了学生的理性思维方式——不仅要知道是什么,还要知道为什么．

二是“信念”．任何知识背后都有其发生和发展的历史动因,所以本课例借鉴数学史创设情境,让学生体会到数学知识不是从天而降的,了解圆锥曲线的现实来源,促进学生对其数学本质的理解,从而树立正确的数学观,形成数学信念．

三是“情感”．本课例中学生探究出的截线定义与阿波罗尼奥斯提出的一致,甚至考虑到双曲线两支的问题,超越了古代数学家;学生经历猜想(太阳光斜射篮球的影子是椭圆)—建模证明(类比得到圆柱旦德林双球模型)—应用(例2解椭圆的离心率)的过程,体会像数学家一样思考和解决问题．这样人人性化的数学,让学生更亲近数学,感受数学知识的发生、发展,体会创获知识的快乐,增强对数学积极的情感和自信心．

四是“品质”．从阿波罗尼奥斯的伟大成就及对几何学发展的影响,到拉伊尔顺应科学发展勇敢摒弃统治两千年的截线定义,提出轨迹定义,再到旦德林巧妙架起了沟通两种定义的桥梁,本课例从圆锥曲线两千多年的发展历史中选取学生能够理解且具有教学价值的部分按照历史顺序进行重构,将这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和认知规律的教学形态呈现给学生,让学生跨时空与数学家对话,体会到数学的曲折发展、数学家追求真理时锲而不舍的精神、对待科学求真务实的态度、敢于质疑权威的无畏精神等优秀的品质．