从“第一课”到“数学学习的价值”

郑毓信 (南京大学哲学系 210093)

无论是小学生、初中生或高中生入学以后,还是后来每一学期的“第一课”,又无论所涉及的是数学、语文还是别的什么学科,这都应说具有特别的重要性．又由于中央电视台和教育部从2008年起联合推出了“开学第一课”这一专题节目,从而自然引起了人们对“第一课”的更多重视．

在这方面可以看到不少很好的实例,尽管这未必是数学课:

例1“我的第一节语文课”[1]．

“语文自身的魅力,是学生对语文产生浓厚兴趣的最重要因素……我努力让第一节课展现语文的独特魅力……

“‘语文里藏着什么呢?’我轻点鼠标,屏幕上出现了‘语文里有美妙的音乐’几个大字．学生一脸疑惑,而我则开始背诵《声律启蒙》的选段:‘云对雨,雪对风,晚照对睛空……’

“诵完,我问学生是否好听,他们都说‘好听,好听’．我问他们是否愿意自己读读,他们连呼‘愿意’．屏幕上的文字一出现,他们就迫不及待地读了起来,越读越感受到文字的悦耳．尽管他们还不太清楚其中的意思……

“‘语文里除了动听悦耳的音乐,还有什么呢?’随着我的发问,‘语文里有深深的智慧’出现在屏幕上．‘我要开始讲故事了．’一听有故事,学生们兴奋得不得了,几乎要欢呼雀跃．

“有一次,美国代表来我们国家访问,代表团里有名官员当着周总理的面说:‘中国人很喜欢低着头走路,而我们美国人却总是抬着头走路．’此语一出,震惊四座,因为谁都听得出来,这位官员在嘲笑、讽刺中国人．周总理却不慌不忙,面带微笑地说:‘这并不奇怪．因为我们中国人喜欢走上坡路,而你们美国人走下坡路．’话音刚落,那位官员立即低下了头,不敢出声了．

“学生听后哈哈大笑,我朗声说:‘周总理的话就是智慧!学好语文,你也会拥有智慧!’……

“‘语文里还有浓浓的情感．我将要为大家朗读一篇文章,题目就叫《娘,我的疯子娘》,里面就蕴含着浓浓的情意,不信你听!’……我读了起来……读着,读着,教室里越来越安静,到后来几乎能听到彼此的呼吸声……

“我的声音有些哽咽!读完整篇文章,大家都沉默了．有些学生眼中闪动着晶莹的泪花．我说:‘树儿的娘对他的爱让人十分感动!我们每个人的妈妈都非常伟大．她们的爱让我们感到温暖,快乐,谁愿意说说你的妈妈对你的关爱?只要说一件,并讲讲,母爱让你感觉像什么?’……

“快要下课了,我总结道:语文里有‘音乐’,有智慧,有情感,想必这节课我们已经有所体会了,但是语文里其实还有很多有意思、有意味的宝藏,这就有待你们以后自己去寻找、挖掘了．”

数学教育领域中当然也有不少相关的努力．以下就是一个实例:

例2“春种一粒粟,秋收万颗子——初中数学‘入学第一课’教学设计与反思”[2]．

活动1 小学到初中,感受数学的严谨性．

问题1:我们学习数学离不开数,你能列举出一些数吗?

追问1:生活中,你在哪里见到过负数呢?请举例说明．

追问2:正数与负数是表示一对具有相反意义的量,小学时我们知道,正数可以进行加减乘除运算,负数是否也可以进行类似的运算呢?

……

问题2:用小棒按图1(略)所示的方式搭三角形,你能提出并解决哪些问题?

……

活动2 用数学的眼光观察现实世界,发现数学之美．

问题3:用数学的眼光观察图2、图3、图4(略),你有哪些发现?

……

追问3:生活中还有平移、翻折、旋转的例子吗?

……

追问7:通过这个活动的讨论,大家有什么收获呢?

活动3 从数学视角决策,感受数学的价值．

问题4:力新小学和春风小学的篮球队上学期一共进行了5场比赛,图6(略)是这5场比赛得分情况统计图,观察后你有哪些发现?

……

师:通过本节课的学习,你有哪些收获呢?

对于上述课例你有什么评价?显然,尽管不同的人对此很可能有不同看法,但我们应当首先思考一个问题,即应当按照什么标准对“第一课”做出评价,包括相对于一般意义上的“日常课”而言,“数学第一课”是否也应有一些特殊的要求?

以下可以视为这方面的两个具体要求:(1)我们应当通过“第一课”帮助学生了解教师,包括教师自己对于学生学习数学有哪些具体要求,特别是,如果这是他第一次在这个班级任教的话;(2)对于课程内容与特点的简要介绍,包括学习相关内容的重要性．

当然,在这两点之间也有一定的联系．具体来说,如果相关教师并非只是简单地去转述教材或其他论著中的论述,那么,学生由“第一课”获得的关于课程的初步了解主要就反映了教师的看法,而这自然也有助于学生了解教师本人,特别是,能从姓名、年龄、长相等“外部特征”过渡到更重要的一些方面,即如教师的专业水准和教学能力等,尽管大多数学生在这方面还不能说具有较强的判断能力,“以一概全”也可能有很大的局限性．

显然,后一分析更清楚地表明了上好“第一课”的重要性．因为,尽管学生对课程与教师的看法并非一成不变,但仍然会对他们后继的学习活动产生重要和持久的影响．因此,我们应确保自己在“第一课”上表达的观点不会对学生产生消极的影响,并认真地思考如何进行表述才能给学生留下深刻的印象．

从上述立场进行分析,以下实例即使不应被看成纯粹的反例,显然也应归属于真正的奇葩:

例3一名“奇葩”的物理老师．

这是一名中学物理教师在刚刚接手初三年级的教学任务时所做的“开场白”:如果你听了我的课有什么不懂,不用来问我,因为,我的课是专门为聪明学生设计的．

但在她接手物理课以后,全班的物理成绩都下降了．以下则是她在课堂上对学生所做的“解释”:我的特点就是善于将差生变成优秀生,因此,你们完全不用着急!

也正因此,我们对于“第一课”应提出这样两个进一步的要求:(1)“第一课”应当帮助学生很好地认识学好相关课程的重要性,从而能够在这方面做出自觉的努力;(2)相对于简单地去引用各种现成的论述,我们应更加注重自己在这方面的体会和感受,这样才会对学生有更大的感染力和启发性．

例如,依据上述分析我们可以对以下论述有更好的理解,尽管它们并不是专门针对“第一课”而言的:

例4教师应有的“激情”．

“每一个学科背后都是一个广博的领域．数学,是理性之王;语文,是精神的母体,是文化的脉搏……这里有足够多的美,足够多的智力历险,足够多的探索发展,吸引每一个学生．”“然而,一个语文教师,如果从来没有过激情,没有过诗意,没有过精神高地,他就不可能‘占据’孩子的心灵,他的‘语文’也绝不会有感染力;一个数学教师,如果从来不懂得什么叫严谨之美,从来没有抵达过数学思想的密林,没有过对数学理性的深刻体验,那么,他的数学课自然是乏味的,甚至是令人生厌的．”[3]

例5一条绝对无误的教学法原则．

“有一条绝对无误的教学法——假如教师厌烦他的课题,那么整个班级也将无例外地厌烦它．这就足够证明第一和首要的一诫:要对你讲的课题有兴趣．”[4]

当然,由此我们可以清楚地认识到这样一点:作为数学教师,我们应对数学学习的重要性有清楚的认识,并将自己在这方面的感受和体会作为“第一课”最重要的内容很好地传递给学生,而不只是停留于纯粹的空话、套话．

以下就是这方面的两个实例:

其一,这是我国著名数学家姜伯驹先生在接受采访时,面对“什么是数学对您最重要的影响”这一问题所做的回答:“数学使我学会长时间的思考,而不是忽忙地做出解答．”(教育频道,2011年5月2日)

其二,作为20世纪最有影响的西方哲学家之一,维特根斯坦在谈及自己的学术生涯时,也明确提到了数学的影响,特别是这样一点:“能说的就应说清楚,说不清楚的就应保持沉默．”

在此,笔者愿特别强调这样一点:尽管这是一个十分常见的做法,为了调动学生学习数学的积极性,人们往往会特别强调数学的应用价值,但是,自已在这方面究竟有哪些真切的体会和感受,特别是,除去数学在日常生活中的应用以外,自己能否在这方面举出真正的实例?

例如,尽管以下两个论述并不能很好地说明相关的道理,对此我们仍应持肯定的态度,因为这反映了相关人士的独立思考,从而对于其他人、特别是学生都有一定的启示意义:

其一,“学好数学买菜可能用不上,但是它决定着你将来在哪里买菜．”(张道玉语)

其二,“数学圈内可能只会有怪人,而不会有真正的疯子,因为,数学的主要作用之一就是使人保持理性．”

笔者在这方面还有一个更重要的认识:相对于数学的应用价值,我们更应重视数学学习的这样一个功能,数学十分有益于人们思维的发展,或者说智能的提升．

对此我们可与语文教学做一简单的对照比较:如果说语文教学的主要目标是“用诗意的语言感染学生”,那么,数学教学的主要作用就是“用深刻的思想启迪学生”,更通俗地说,让学生通过数学变得更加聪明,或者说通过数学学会思维．

但是,究竟什么作用可以被看成这里所说的“智能”或“思维”的主要涵义?我们又如何能够通过日常的数学教学、特别是数学基础知识和基本技能的学习很好地实现所说的目标?以下就人工智能研究为背景对此做出简要分析,希望能引发读者、特别是一线教师的积极思考,并很好地落实于自己的教学工作之中,包括如何结合自己的感受和体会在“第一课”中对此做出很好的概述．

具体地说,由于人工智能研究的主要目标是用计算机代替人类完成各种原先被认为只有依靠人类的智能才能完成的任务,因此,相关研究事实上也就为我们如何能对“智能”做出清楚界定提供了重要背景．当然,这方面的一个基本事实是相关认识必然有一个不断发展、逐步深化的过程,特别是,有不少原先被认为很好地体现了人类的特有智慧、从而也就是机器无法实现的行为(如下棋、自主学习等),后来都被证明并非绝对不可超越的界限．

在此笔者愿特别提及国际上有较大影响的一部著作,由候世达(D.Hofstadter)撰写的《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成》(Godel,Escher,Bach:AnEternalGoldenBraid)．这一著作有一个明确论点:“谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里．事实上,认为存在明显界限也许是愚蠢的．”但作者同时又认为,“智能的基本能力还是确定的”,从而我们可以此为背景思考如何通过数学教学提升学生的智力．当然,后一方面工作必须遵循这样一个原则:我们不应将学生智力的提升与具体数学知识与技能的学习绝对地对立起来,而应更加重视如何能够通过后一途径促进学生的思维发展,包括什么是实现这一目标应特别重视的一些方面,我们并应注意引导学生在这些方面做出自觉的努力．

以下是上述著作中提到的“智能的基本能力”:

“它们是:

对于情境有很灵活的反应;

充分利用机遇;

弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息;

认识到一个情境中什么是重要的因素,什么是次要的;

在存在差异的情景之间发现它们的相似处;

从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别;

用旧的概念综合出新的概念,把它们用新的方法组合起来;

提出全新的观念．”[5]34-35

当然,这一论述不能被看成已经包含了智力的所有方面,恰恰相反,对此我们仍应依据自己的感受和体会做出进一步的分析,但我们仍可以此为背景做出初步的思考．在此,笔者有这样一个具体的建议:我们可以联系所说特征的对立面去进行分析思考．这是笔者何以要对上述的八个方面(下称“特征一”“特征二”等)做出进一步归并的主要原因．

第一,上述的“特征一”和“特征二”显然都与思维的灵活性密切相关．在笔者看来,这或许是相关作者何以将此看成人类智能首要表现的主要原因,即“计算机的本性就是极不灵活”,也正因此,人们在从事人工智能的研究时往往就会特别关注如何能够很好地突破所说的局限性．

再者,这也是人们的一项共识,认为数学学习特别有益于提升人们思维的灵活性,因为,数学学习显然不应被等同于死记硬背、机械模仿,而应更加重视思维的灵活性．例如,这就是数学教学为什么特别重视“问题解决”、或者说解题实践的重要原因．

当然,在这一方面也有不少可以改进的地方,如对“熟能生巧”与“经验积累”的不恰当强调．就当前而言,我们应特别重视对于这样一个现象的纠正,即“题海战术”的盛行,不加思考地要求学生大量做题,做各种各样的题,乃至于将学生解决问题能力的提升归结为题型的辨识与方法的套用,包括对于“题型”的过度细分,并要求学生牢牢地加以记忆,等等．

应强调的是,对于“思维的灵活性”我们还应从更高的层面做出理解．例如,“思维的灵活性”显然是与“思维的刻板性”直接相对立的,而这事实上也是后者的具体表现,即人们在从事问题解决时常常会“一条道走到黑”,未能在具体采取某一方法或解题途径时首先认真地去思考选用相关方法或途径的合理性,即使在解题过程中遇到了无法克服的困难也未能做出及时的调整,包括尽管取得了某些结果却对解决原来的问题毫无作用……

正如人们普遍了解的,这也是人们引出以下结论的重要原因,我们应当努力提高学生的元认知水平,即对自身正在从事的解题活动始终保持清醒的自我意识,并能及时做出评价和调整．更一般地说,我们应当将“元认知”水平的高低看成决定人们解题能力十分重要的一个因素．从历史的角度看,这是人们由人工智能、特别是“解题机”的研究获得的直接启示．

还应提及的是,从实践的角度看,这也是人们何以常常将思维的“灵活性”与“有效性(可靠性)”联系在一起的主要原因,即我们如何能在这两者之间保持适度的平衡,或如侯世达所说:“在可靠性与灵活性之间走钢丝．”[5]388

再者,这也可视为数学学习的一个重要作用,即十分有益于学生学会用“变化的思想”分析与处理问题．例如,由直接的检索可以发现,后者正是波利亚“数学启发法”最重要的一项内容,即我们如何能够通过问题、包括已知条件与结论的适当变化去解决问题．另外,这显然也是我们为什么应当特别重视“化归思想”的主要原因．就目前的论题而言,这也就是指,我们应当通过这一途径更好地提升学生思维的灵活性．

第二,上述的“特征三”和“特征四”可以看成与思维的清晰性有着直接的联系,并清楚地表明了我们应当如何去理解“思维的清晰性”．以下的常见说法就十分清楚地表明了在数学学习与思维清晰性之间所存在的重要联系:“这个孩子一脑袋浆糊,实在不适合学习数学．”

例如,这就是解题活动最基本的一个要求,我们在实际从事解题活动前必须很好地弄清题意,包括仔细地区分什么是有用的信息、什么是多余的信息;我们应将要实现的目标牢牢记在心中,或如波利亚所说“盯紧目标”．

进而,以下分析可以视为达到了更高的层次,即相对于各个细节而言,我们应当更加注重整体的把握,包括很好地弄清“什么是重要的因素,什么是次要的”,从而就与以下状态构成了直接的对照,即“胡子眉毛一把抓”,乃至“捡了芝麻丢了西瓜”．

显然,这是现今得到人们普遍重视的“整体性教学”的核心所在,特别是,我们不应认为其中所包含的各项内容都具有同样的重要性,以致最终无可避免地陷于了“忙于应付”这样一种完全被动的局面,而应切实做好“分清主次,以主带次”．容易想到,我们事实上也可从同一角度很好地去理解为什么应对解题活动的“序”予以特别的重视,包括学会“概念图”和“流程图”的重要性．这也就如庞加莱所指出的:“数学证明不是演绎推理的简单并列,它是按某种次序安置演绎推理．这些元素安置的顺序比元素本身更为重要．如果我具有这种次序的感觉,也可以说这种次序的直觉,以便一眼就觉察到作为一个整体的推理,那么我已无需害怕我忘掉这些元素之一,因为它们之中的每一个都在排列中得到它的指定位置,而且不要我本人费心思记忆．”[6]376

以下是“整体性把握”更加重要的一个涵义,相对于一般所说的“由少到多”“由简单到复杂”,我们应当更加重视如何能够通过进一步的分析研究很好地实现“化多为少”“化复杂为简单”,包括由局部性认识过渡到整体性、结构性的认识,并能在思想方法等方面也都能有较大的收获．

在笔者看来,这就是各种“以学为主”的教学模式的最大局限性所在,或者说,我们应将此看成教师“引领作用”最重要的一个方面．具体地说,我们应在以下各个方面做出切实的努力(详见文献[7]第二章):(1)理清发展线索,突出“核心问题”;(2)概念的综合分析,“核心概念”的提炼;(3)重要数学思想的梳理,即与学习内容密切相关的“概念上很强大的思想”与普遍性的数学思想方法;(4)“大道理”的剖析,即相关教学所应遵循的最大的指导性原则,从而不仅能真正做好“以大驭小”“小中见大”,并能很好地做到“以发展代替重复,以深刻促成简约”．

第三,与先前提到的四个特征相比较,“特征五”和“特征六”可以说与日常的数学活动有着更加密切的联系,事实上可将此看成数学活动、包括数学学习活动最基本的形式之一,就是如何能在存在差异的情景之间发现它们的相似处,又如何能从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别．

例如,前者就可视为“找规律”此类活动的基本涵义,更构成了一般意义上的抽象活动的直接基础．例如,从同一角度我们可以很好地理解数学中为什么要引入“比”这样一个概念;当然,从更高的层面看,这又直接关系到了我们为什么应将“函数”的 概念看成中学数学、特别是代数学习最重要的核心概念．

另外,从同一角度我们也可更好地理解“变式理论”对于改进教学的重要意义,特别是,我们在教学中应通过引入“非标准变式”和“非概念变式”帮助学生很好地掌握相关概念的本质.当然,通过这方面的反复实践我们还可以使学生逐步培养起这样一种习惯和能力:善于“在存在差异的情景之间发现它们的相似处”,包括较强的抽象能力．

应当提及的是,依据相关分析我们可以清楚地认识到以下做法的局限性,即片面强调“情境设置”,却未能认识到在强调情境设置的同时我们也应很好地实现“去情境”．因为,归根结蒂,数学并非对真实事物或现象的直接研究,而是以抽象思维的产物、也即一般意义上的“模式”和“结构”作为研究的对象．

其次,无论就数学或是其他方面而言,类比联想都可说具有广泛的应用,这可以看成成功应用这一方法去解决问题、包括做出新的发现的关键,即我们不仅应当善于发现不同事物或现象的共同点或相似之处,也应善于从相似中找出不同之处,从而由已知事实引出可能的结论或新的猜想,包括如何依据两者的差异对此做出必要的调整．总之,这里的关键就在于“求同存异”——就我们当前的论题而言,这清楚地表明了“同与不同”之间的辩证关系．

最后,与先前的分析相类似,我们也可将“特征五”和“特征六”与“思维的品质”直接联系起来,这也是指,我们应当善于用联系的观点去看待事物和现象;进而,所说的两个“特征”则具体地表明了我们应当围绕哪些问题去进行分析思考．

还应强调的是,相关研究不仅直接关系到了思维的广度,也与思维的深度密切相关．因为,在这两者之间显然也存在相互依赖、互相促进的密切联系,特别是,正如以上关于抽象能力的分析所表明的,只有适当地拓宽视野,我们才能达到更大的认识深度;也只有达到了更大的认识深度,我们才能更好地发现不同事物与现象之间的联系．

综上可见,这就是数学教学应当特别重视的又一方面,即“联系的观点”与思维的深刻性．

第四,除去已提及的“同与不同”之间的辩证关系以外,对于前面所提及的另外两个要点,我们显然也可分别围绕“变与不变”与“部分与整体”之间的关系做出进一步的分析,再者,“特殊化与一般化”无疑也应被看成数学活动又一重要的涵义．以下就围绕数学活动的两种基本形式:“问题的提出与解决”和“概念的生成、分析与组织”,对此做出简要的分析说明．

首先,正如著名数学家希尔伯特所指出的,无论是所谓的“一般化方法”还是“特殊化方法”,都可视为对数学研究具有特别的重要性;“在解决一个数学问题时,如果我们没有获得成功,原因常常在于我们没有认识到更一般的观点,即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节．”又,“在讨论数学问题时,我们相信特殊化比一般化起着更重要的作用．可能在大多数场合,我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因在于这样的事实,即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决或完全没有解决．这时,一切有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们．这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一”[8]．再者,正如人们普遍认识到的,问题解决不应被看成数学活动的终点,恰恰相反,我们应当以此为基础并通过提出新的问题积极从事新的研究,从而促进数学的进一步发展．由此我们可以更清楚地认识“一般化”的重要性,就如我们能否对已获得的结果做出推广,又是否可以将所使用的方法应用于更多场合,等等．

其次,所谓的“概念的生成、分析与组织”,显然与“特征七”和“特征八”有着直接的联系,我们如何“用旧的概念综合出新的概念,把它们用新的方法组合起来”,又如何“提出全新的观念”,由此我们可以更清楚地认识“特殊化”与“一般化”对于数学的特殊重要性．

如果说一般意义上的抽象,即由特殊向一般的过渡主要被视为分析性的工作,也即我们如何能由原型中选取某一(些)特征加以抽象从而形成比前者具有更大普遍性的概念或理论(对此可称为“弱抽象”),那么,数学中经常也会用到另一种形式的抽象(“强抽象”),即我们如何能够通过引入新的特征、或者说概念的适当组合生成新的概念,后者与前者相比具有更大的特殊性(详见文[9]第三章)．

例如,由一般三角形的概念出发,通过引入“两条边相等”或“一个角为直角”这样两个特征,我们可以分别得到“等腰三角形”和“直角三角形”的概念;进而由两者的综合,我们就可以获得“等腰直角三角形”这一更特殊的概念．

在一些学者看来,我们可以将“概念的适当组合”看成发明创造的本质．这清楚地表明了数学学习在后一方面所能发挥的重要作用．

综上可见,以人工智能的研究为背景进行分析确实有助于我们更好地认识数学学习的价值,也即我们如何能够通过数学教学有效促进学生思维的发展．当然,作为问题的另一方面,我们应清楚地认识到超越人工智能的研究框架、并从更广泛的角度进行分析思考的重要性.因为,无论后一方面的研究取得了什么成就,也即机器能在多大程度上代替人类思维,我们都不应因此而停止思考,恰恰相反,我们仍应将促进人们思维的发展看成数学学习最主要的功能,也即应当通过数学教学帮助学生逐步做到乐于思考、勤于思考、善于思考．

进而,从同一角度我们可以更好地理解这样一个主张的合理性,即相对于各种具体思维方法的学习而言,我们应当更加重视提升学生的思维品质,特别是,正如先前的分析所表明的,应当努力提升学生思维的灵活性、清晰性、深刻性和创造性．

当然,上述分析也不能被看成已经穷尽了所有的重要方面．例如,除去已提及的各个方面以外,我们也应十分重视思维的自觉性,这是侯世达在上述著作中所特别强调的一点,即我们应将高度的自觉性看成人类思维十分重要的一个特点,就如“人的意识有一个固有的特点,他总是能看出关于他正在做的事情的某些事实”以及“某种自我意识似乎是意识的关键所在．”[5]50,538例如,前面所提到的“元认知”显然就可看成“自我意识”的重要表现;当然,对于“思维的自觉性”我们应做出更加广义的理解,特别是,除去元认知的能力以外,我们也应通过数学教学帮助学生逐步养成这样一种思维习惯或品质,即善于通过总结、反思与再认识实现认识的不断优化．例如,除去对于“元认知”这样一种“即时反思”以外,我们也应十分重视事后的全面总结和反思:“在我们关于有意识的心智的观念中,能反思自己和评判自己的所作所为是它固有的特点,不需要外加的部分:它已经是完备的了．”[5]514进而,人们的认识必定又有一个不断发展和深化的过程,从而我们应当在后一方面做出自觉的努力,这就是我们为什么又应特别强调“再认识”的主要原因．(笔者以为,我们应当围绕“总结、反思与再认识”更好地去理解“长时间思考”的重要性,特别是,对此不应简单地理解为“放慢节奏”,而应更加重视“慢下来以后究竟干什么?”)

在笔者看来,这可视为数学学习的本质,即这主要是一个不断优化的过程,也即表现为认识的不断深化,而不只是横向的扩展．也正因此,我们就应对于上面所提及的要点做出进一步的拓展,应当将以下四个方面看成这方面工作的重点:(1)“联系的观点”与思维的深刻性;(2)“变化的思想”与思维的灵活性;(3)“序的思想”与思维的清晰性;(4)“总结反思和再认识”与思维的自觉性．

显然,依据上述分析我们可以更好地理解笔者在先前所提出的这样一个主张:“数学基础知识的学习,不应求全,而应求联;数学基本技能的学习,不应求全,而应求变;数学思维的学习,不应求全,而应求用．”再者,这是笔者在当前为什么又要特别倡导“数学深度教学”的主要原因,这也就是指,为了更好地发挥数学教学对于促进学生思维发展的积极作用,我们应当超越具体的数学知识和数学技能深入到思维的层面,由具体的数学方法和策略深入到一般性的思维策略与思维品质的提升,还应帮助学生由主要是在教师(或书本)指导下进行学习逐步转变为主动学习,包括善于通过同学间的合作与互动进行学习,从而真正成为学习的主人．

再则,这也应视为“走向深度教学”又一重要的涵义,即我们还应通过数学教学帮助学生由理性思维逐步走向理性精神,从而真正成为未来社会的合格公民,而不是行事随性、更不具有任何社会责任感的“自由主义者”．显然,从后一角度我们可以更好认识创建这样一种“数学课堂文化”的重要性:“思维的课堂,安静的课堂,互动的课堂,理性的课堂,开放的课堂．”[10]

最后,笔者以为,这即是数学学习更高层次的一个价值,即有助于我们更好地认识精神与物质世界之间的关系,特别是,我们既应很好地实现精神的自由发展,又应以此为基础实现“主客体”在更高层次的统一:“数学……是一种活动,在这种活动中,人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少,在这种活动中,人类精神起着作用,或者似乎只是自行起着作用和按照自己的意志起作用．”“……它充分向我们表明,当人类精神越来越摆脱外部世界的羁绊时,它能够创造出什么东西,因此它们就愈加充分地让我们在本质上了解人类精神．”[6]374,367又,“当数学越是退到抽象思想的更加极端区域时,它就越是在分析具体事实方面相应地获得脚踏实地的重要成长．没有比这事实更令人难忘的了．”[11]

在不少数学家看来,这就是我们为什么应将数学看成一门艺术而不是自然科学的主要原因(详见文[12])．当然,后一论题已在很大程度上超出了基础数学的范围,但在笔者看来,我们作为数学教师仍应努力提升自身在这一方面的修养,从而可以对学生发挥潜移默化、然而又是十分重要的作用,并能在适当场合结合自身的感受和体会为学生打开一扇通向未来的窗户．

显然,“第一课”就是这样的一个场合．

后记刚刚完成这一文章,恰好又读到了日本著名数学家、菲尔兹奖得主广中平祐所著《数学与创造:广中平祐自传》[13]．这一著作所表达的主要观点之一是,我们应当很好地认识与处理“(数学)知识的学习”与“智慧的发展”之间的关系,并应将后者看成数学学习的主要目标,我们更可将“灵活性”“深刻性”与“强大性”看成智慧的主要涵义．显然,这与正文中所提倡的观点也是十分一致的．又由于这一著作与文[5]相比可以说具有更大的可读性,因此,笔者在此愿对这一著作做特别的推荐,希望广大数学教育工作者、特别是一线老师都能认真地进行阅读学习．