数学理解视角下“抽样与数据分析”试题的评析与启示——以2022年江苏省各市数学中考为例

黄贤明 徐芳影 (江苏省苏州高新区景山实验初级中学校 215129)

理解是教育永恒的追求,随着国际教育改革的不断推进,“为理解而教,为理解而学”成为了当代教育改革的重要思潮.自1935年布劳内尔(W.A.Brownell)提出从理解的视角认识算术教学以来[1],数学理解就成为了研究者关注的重点,并被列为国际数学教育研究的主题之一.不难发现,数学理解是发展核心素养的坚实基础,是培育数学思想的前提条件,是涵养数学精神的重要源泉,在促进学生数学能力的发展中起着不可替代的作用.数学理解既可以认为是学习者获得数学对象本质性理解的过程,也可以认为是学习者经历了数学理解性学习而达到对数学对象的理解水平[2].中考作为初中生学习的终点,自然会涉及对某一知识点数学理解水平的检测.以2022年江苏省各市数学中考中“抽样与数据分析”试题为例,分析其所对应的数学理解水平,并对初中“抽样与数据分析”内容的教学得到相关启示.

1 数学理解的理论框架

1.1 数学理解的内涵

数学理解的本质在于学习者建立新旧知识的联结,进而将新知纳入原有认知结构,并随时提取应用于数学问题的解决中.从结果上看,数学理解是学生经历了“经验性理解、形式化理解、结构化理解、迁移性理解、文化性理解”这五大环节,获得对数学对象本质内涵及其外延知识的深入认识,建立形成新的知识网络,并达到一定的数学理解水平.受多方面因素的影响,不同学习者对于同一数学对象可能会产生不同水平层次的理解,而高水平层次的数学理解是数学教育所追求的目标.

1.2 数学理解的水平框架

李春雷等[3]将数学理解的水平划分为认知和情感两大维度.从认知维度出发,数学理解可 以划分为工具性理解、关系性理解与创造性理解;从情感维度出发,主要包括文化性理解水平,目 前还未出现更细致的划分.基于该划分框架,结 合“抽样与数据分析”的考查内容与试题特点, 可将各个水平在考查中的具体体现阐述如下(表1).

表1 数学理解水平框架

在“抽样与数据分析”试题的设计中,大多围绕认知维度的考查展开,重点关注学生工具性理解水平的达成情况.近年来,围绕关系性理解和创造性理解水平的试题也逐渐增多,但几乎没有针对文化性理解水平的相关试题.

2 2022年江苏省各市中考“抽样与数据分析”试题的评析

2.1 总体分析

从整体上看,2022年江苏中考“抽样与数据分析”的考查遵循《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标(2022年版)》)的内容要求,在立足基础的前提下更关注数学知识情境化的应用,并且部分地区的中考突破了对“抽样与数据分析”内容的显性考查,更趋向于将知识内隐于问题情境中,考查这些统计量的重要特征.

经统计,2022年江苏省中考共有26道“抽样与数据分析”的试题,考查知识点包括平均数、中位数、众数等计算,统计图(表)中信息的提取与分析等.纵观试题的问题情境,其中生活情境占据了84.62%,表明抽样与数据分析拥有着较强的现实价值与意义,这也与《课标(2022年版)》所提出的教学建议相吻合.从数学理解水平角度对试题进行划分,发现工具性理解水平试题占84.62%,关系性理解水平试题占7.69%,创新性理解水平试题占7.69%.由此可知,抽样与数据分析的考查大多围绕工具性理解水平而展开,仅做知识点的简单再现与应用,而关于统计量的特征、预测数据变化趋势、推断事物发展规律、综合性的数据分析等内容却几乎未涉及,不能真正彰显学生经历三年学习后所形成的数据分析素养.

2.2 不同理解水平下的试题评析

以下从数学理解的认知维度来具体分析“抽样与数据分析”的考查特点.

(1)工具性理解水平试题

工具性理解水平是对数学知识理解的起始性要求,也是大多数“抽样与数据分析”试题所考查的数学理解水平.这些试题的编制围绕《课标(2022年版)》中的内容要求,创设生活情景或数学情景,体现统计的基本概念、统计表(图)等内容的简单应用.

图1

评析本题考查了方差的性质及计算,属于工具性理解水平中理解事实性知识、理解操作程序的范畴.学生可以根据方差的计算公式算出两组数据的方差来进行判断,也可以根据方差的性质从折线图观察两组数据偏离程度的大小.因此,学生只要掌握其中任意一种方法就可以解决该问题,得出甲的方差较大.

(2)关系性理解水平试题

关系性理解水平更关注知识之间的数学联系,更体现数学思想方法的应用,是对基本知识内涵的深入探究.这一水平试题的编制立足知识的本质,并关注到学生数据观念、应用意识等核心素养的发展.

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

(3)创造性理解水平试题

创造性理解水平强调在新情境、新问题中对于知识的拓展与应用,更侧重数学知识的实践价值与跨学科融合.创新性理解水平是数学教育的目标导向,也是当今时代发展下对人才培养的基本诉求.在此思想的指导下,对于“抽样与数据分析”的考查也出现了新的趋势,即知识内隐于问题情境中,这对教师的教学提出了新挑战.

例3(徐州)如图2,5枚装在相同的透明密封盒内的古钱币,其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量,例如:钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8 mm,24.4 g”是指该枚古钱币的直径为45.4 mm,厚度为2.8 mm,质量为24.4 g.已知这些古钱币的材质相同.

图2

根据图中信息,解决下列问题:

(1)略.

(2)由于古钱币无法从密封盒内取出,为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错,桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下:

名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8

请你应用所学的统计知识,判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大,并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.

评析本题考查学生的数据分析综合能力,属于创新性理解新情境下数学本原知识、理解数学的实践应用的范畴.学生需要先根据实际质量与所标质量之差(即密封盒的质量)来判断存在问题的数据,发现鹿鹤同春的质量与实际质量差异较大,进而计算出其余四个密封盒质量的平均值34.2 g,得到鹿鹤同春的实际质量为21 g.在此题的解决过程中,学生经历了“数据分析—发现问题—数据处理—得出结论”的思考过程,彰显了数据分析的现实价值意义,是学生数据分析综合能力的直接反映.

例4(常州)某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车0～100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测,评测结果绘制如 图3,每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0～ 100 km/h的加速时间的中位数是ms,满电续航里程的中位数是nkm,相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域(直线不属于任何区域).欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内,若以上两组数据的中位数均保持不变,则这两个点可能分别落在( ).

图3

A.区域①、② B.区域①、③

C.区域①、④ D.区域③、④

评析本题考查了中位数的性质,属于创造性理解水平试题.本题构建了学生较为陌生的情境,并且将两组数据用平面直角坐标系中的点来表示,需要学生发现并理解问题的本原,并将问题转化为“在添加了两组数据之后,中位数保持不变的方法”.当问题转化后,只需要保证0～100 km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方,满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧,即可得出两个点可能分别落在区域①、③或区域②、④.此题将对中位数性质的考查内隐于问题情境中,较好地体现了知识的综合性与灵活性,是对学生阅读理解、问题分析、知识应用等能力的检测.

3 教学启示

3.1 夯实统计基础,达成工具性理解

《课标(2022年版)》指出:数学学科需要确立以学生发展为本、以核心素养为导向的课程目标,强调学生“四基”的获得与“四能”的发展[4]2.从2022年江苏省中考试题中可以发现,抽样与数据分析的考查围绕工具性理解水平的达成,即要求学生掌握基本的统计量与统计方法来解决现实生活中的简单问题.那么教师的教学目标就应将重点放在基础性统计知识的应用上,促进学生在小学统计知识的基础上形成数据分析观念、掌握数据分析方法、感悟数据分析价值.在教学实践中,教师要把握好知识的本质,从现实世界的问题出发,引导学生在问题的分析与解决中感悟统计量的价值意义,理解它们的内涵与本质,并将其应用于预测数据规律、解释现实世界问题中.例如,在方差的教学中,教师可以给出甲、乙运动员射靶成绩的两组数据:“7,8,8,8,9”和“10,6,10,6,8”,让学生发现平均数在刻画数据离散程度中的局限性,并在折线图的直观感受下激发学生的认知冲突,形成方差的定义与计算公式,进而获得对方差最本质的理解,达到工具性理解水平.总之,夯实统计基础、达成工具性理解是数学理解发展的基本诉求,也是数学核心素养发展的基本要求.

3.2 建立关系图式,形成关系性理解

“抽样与数据分析”中的各个概念是相互联系的一个整体,但这些联系却常常被教师所忽视.倘若以一种孤立的视角教授这些概念,必将会导致学生思维受到限制.因此,在教学中教师要以大单元、大概念的视角解构统计知识,重建统计知识的“大厦”.同时,教师要利用好单元复习课,选择开设相关专题课,组织绘制统计知识的思维导图,让学生主动构建各个统计量之间的内在联系.在习题的讲评中,教师也应注意渗透统计试题的问题分析思路与方法,体会数据分析的必要过程,进一步推进“四基”“四能”的发展,推动数学核心素养的形成.

以例2的讲评为例,教师应引导学生以一般的视角分析问题,给出第2组数据的一般形式,渗透分类讨论思想,培养数学抽象与数学运算的能力,避免就题论题.在解决例3后,可以引导学生改变问题条件,提出新的探究问题,如:“若第3组数据为m个a和n个a+1,此时数据的平均数、中位数和方差分别如何表示?它们与第2组数据的平均数、中位数和方差相比有何变化?”最后,教师在探究总结中带领学生整理回顾相关知识、形成知识体系,并布置开放性作业:请参考这三组数据与问题的设置,仿照设计一道相关统计量性质的试题,并给出详细的参考答案.在探究中,不仅让学生从大观念的视角下解决了问题,构建了统计知识的关系图式,促进了学生关系性理解的形成,而且还借助数学活动发展了学生数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养,激发了学生的创新意识与数学兴趣.

3.3 关注实践拓展,推动创造性理解

随着《课标(2022年版)》的颁布,“抽样与数据分析”也新增了“经历数据分类的活动,知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法”和“会计算四分位数,了解四分位数与箱线图的关系,感悟百分位数的意义”两大内容,这一变动指明了“抽样与数据分析”更应立足于现实世界、服务于现实世界,教学要给予学生更全面的数据分析方法,彰显数据分析的价值意义[4]74.这也意味着未来“抽样与数据分析”的中考命题将逐渐向实践性、综合性、灵活性的方向发展,也将更为关注学生对统计知识的创新性理解水平的达成,更为关注学生数据分析、数学抽象、数学建模等数学核心素养的发展.这些启示着教师要在达成工具性理解、形成关系性理解的基础上,开展实践与拓展性数学活动,推动学生创造性理解的发展.

《课标(2022年版)》在“抽样与数据分析”中给出了“设计调查方案”“分布式计算平均数或百分数”“数据分组的原则”等案例.案例均从现实问题出发,以求用统计的思想或工具加以解决.这些案例都是教师开展实践拓展型教学活动的重要素材来源.此外,教师还可以与物理、化学、心理、体育等学科教师协作,开展相关跨学科主题的统计研究活动,如:运动前后的心率变化、学生心理问题调查、不同石块的密度研究等,引导学生以小组合作的形式,借助网络信息、实地调查或实验操作等方式,经历数据收集的过程,并在数据整理中 以理性的眼光发现错误的数据、剔除无关的数据,最后选择合适的统计工具与统计方法,预测事物发展规律、估计事物总体情况,得出较为科学的结论与建议,并形成相关文字材料.在此过程中,学生全身心地参与到了研究中去,完整经历了数据 分析的全过程,灵活应用了统计知识解决生活中的问题,感悟统计思想.最终学生在实践活动的 推动下形成了创造性理解,实现了数学核心素养发展.