学习进阶视角下的高中数学课堂教学设计与思考——以“函数的零点与方程的解”为例*

袁江玉 (山东省临沂高新区高级中学 276000)

1 引言

学习进阶是指学生在学习和探究某一主题时,依次进阶、逐层渐进地进行思维和科学探究的过程．教师帮助学生设置认知过程中许多中间水平的“阶梯”,用这些“阶梯”构成学习进阶链,将学生的学习进阶起点和学习进阶终点连接起来,使课堂学习变成学生不断探索、不断发展的进阶过程[1]．目前,基于学习进阶理论,合理组织较短时间内的课堂教学.按照由浅入深的发展路径实现学生对科学概念的深层理解进行设计的高中数学案例还不多,笔者以“函数的零点与方程的解”为例,通过学习进阶理论进行教学设计,供同行参考．

2 学习进阶视角下的高中数学课堂教学设计

2.1 学习进阶背景分析

本节课是人教A版普通高中数学教科书(2017年版)必修第一册第四章“函数的应用(二)”第一节“函数的零点与方程的解”,是1课时的概念课,主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程解的关系、函数零点存在定理．在学生学习了基本初等函数及其相关性质的基础之上,本节课利用函数图象和性质来判断方程的解的存在性及解的个数,让学生掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节课的内容具有承前启后的作用,地位至关重要．

2.2 学习进阶学情分析

本节课的教学对象为学习成绩优秀的学生,他们函数知识比较丰富,智力发展已经到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力,也具备初步的数形结合的能力,但要上升到用数学语言描述函数零点存在定理还比较困难．

2.3 学习进阶重难点

掌握方程的解与函数的零点的等价关系及零点存在性的判定．

2.4 学习进阶目标

(1)一次进阶目标:通过观察二次函数的图象,准确判断一元二次方程解的存在性及解的个数,抽象出函数的零点概念,并能描述函数的零点与方程的解的关系．

(2)二次进阶目标:从研究具体的对数函数再到研究一般的函数,让学生经历“类比→归纳→辨析→应用”的过程,归纳出零点存在定理,感悟由具体到抽象的研究方法．

(3)三次进阶目标:在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值,发展数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养．

2.5 学习进阶教学过程

2.5.1 温故知新,学习进阶起点

思考1方程的解和其相应的函数图象有什么关系呢?

方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的实数解函数函数的图象函数的图象与x轴的交点

请回答下列问题:

(1)上述一元二次方程有没有解?

(2)相应的一元二次函数的图象与x轴有没有交点?

(3)方程的解和其相应函数的图象与x轴交点的横坐标有什么关系?

设计意图引导学生对初中所学的二次方程进行回忆,寻找方程的解和其相应函数的图象间的关系,通过以“形”助“数”给出二次函数的零点的概念,为后面学生抽象出一般函数的零点的概念以及一般函数的零点及相应方程的解的关系进行铺垫,挑选好学习进阶的起点．

师生活动 学生积极思考,认真填表,利用实物投影分享结果．回答出方程的解与函数图象和x轴交点的横坐标的关系．

2.5.2 抽象概括,学习经验进阶

思考2你能给出一般函数y=f(x)的零点的概念吗?

思考3你能说出函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的解以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的关系吗?

设计意图让学生由特殊到一般归纳出函数零点的概念并得到等价关系,加深对函数的零点概念的理解,让学习经验进阶．

师生活动 学生思考,类比,归纳．

练习判断下列函数是否有零点:

(1)y=log2x;(2)y=2x.

设计意图让学生从“数”和“形”两个层面来理解函数的零点这个概念,通过例题的设置,让学生体会求函数零点的两种方法,求解过程体现了函数与方程的思想及数形结合思想．

师生活动 学生独立完成,教师巡视学生的做法并实物投影学生不同的做法,再由学生给出判断函数零点的方法:

①代数法:解方程f(x)=0,得到y=f(x)的零点．②画出函数y=f(x)的图象,其图象与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点．

2.5.3 以“数”解“形”,思维方式进阶

问题1当函数图象在区间[a,b]上穿过x轴时,函数y=f(x)在区间[a,b]一定存在零点吗?(以刚才画的y=log2x的图象为例)

问题2如何用代数语言,从函数值的变化情况来描述函数y=f(x)在区间[a,b]上穿过x轴这种几何特征呢?

设计意图利用对之前例题中具体问题的探究,让学生以“数”解“形”,从代数的角度来分析几何特征,是对之前以“数”助“形”理解的思维反转,让学生学会逆向思考问题,从而达到思维方式的进阶．

师生活动 学生思考,分析可利用的条件,计算出端点函数值,判断其符号,结合图象的连续性得到“函数图象穿过x轴的几何特征等价于在零点附近的函数值异号”这一代数特征．

问题3对于一般的函数,上述结论也成立吗?

观察图1中函数的图象并填空:

图1

①在区间[a,b]上f(a)f(b)0(<或>),是否连续?在区间[a,b]上(有/无)零点;

②在区间[b,c]上f(b)f(c)0 (<或>),是否连续?在区间[b,c]上(有/无)零点;

③在区间[a,d]上f(a)f(d)0 (<或>),是否连续?在区间[a,d]上(有/无)零点;

④在区间[d,e]上f(d)f(e)0 (<或>),是否连续?在区间[d,e]上(有/无)零点．

问题4你能给出函数零点存在的条件吗?

设计意图利用问题的不断递进,让学生从特殊到一般地发现函数零点存在的条件,并归纳出函数零点存在定理.从特殊到一般的数学思想让学生的思维再次进阶．

师生活动 学生独立完成,教师挑一排学生从前往后回答并给出零点存在定理．

2.5.4 合作交流,理解认识进阶

定理反思 (请观察问题3的图象,合理安排区间端点m,n的位置完成)

一思若函数y=f(x)在区间[m,n]上连续,且f(m)f(n)>0,则f(x)在区间(m,n)内就一定没有零点吗?

再思已知函数y=f(x)在区间[m,n]上连续,且f(x)在区间(m,n)内有零点,则一定有f(m)f(n)<0吗?

三思已知函数y=f(x)在区间[m,n]上连续,且f(m)f(n)<0,则f(x)在区间(m,n)内是否存在唯一零点?

追问再加上什么条件就会存在唯一零点?

设计意图利用具体图象,让学生通过观察、对比,加深对函数零点存在定理的理解,并总结出判断函数唯一零点的方法.正例巩固,反例强化,让学生对知识的理解不断进阶．

师生活动 各小组积极讨论,小组代表总结发言,让学生在讨论辨析中不断产生思维的火花,促进对知识的理解与认识．

2.5.5 融会贯通,学习进阶终点

例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数．(e=2.718 28…)

设计意图学生需要先将方程的解的问题转化成相应函数零点的问题,进而通过零点存在定理判断有无零点.有函数零点后再根据追问 得到的拓展判断函数存在唯一零点,不是简单的知识应用,而是将本节课的学习路径再次梳理并升华,真正教会学生分析问题和解决问题的方法,走向学习进阶的终点,即融会贯通．同时,这个例题也为下一节用二分法求方程的近似解埋下伏笔．

师生活动 学生积极思考,独立完成,并利用实物投影讲解答题过程．

3 几点思考

3.1 学习进阶的起点注重基础性

学习进阶的起点要关注学生的实际情况.只有充分了解学情,才能设置好学习进阶的起点.因此进阶的起点要注重基础性,选择从学生已有的经验出发,对旧知进行再认识,不断攀登,学习新知．在本节课之前学生已经学习过旧知“一元二次方程的解”,但是对于解的存在性的判断仅限于借助韦达定理从“数”的角度解决,而没有考虑从“形”的角度解决.因此本节课先从学生熟悉的基础知识“一元二次方程和一元二次函数的对应关系”入手,让学生进行深度思考,寻找它们之间的联系,之后再推广到一般方程与其对应的函数之间的关系,这样符合学生从特殊到一般的认知规律．

3.2 学习进阶的过程注重层次性

学习进阶的起点选好之后,通过搭建“阶梯”,让学生在起点的基础上不断顺梯而上达到终点．因此“阶梯”的设置要有层次性,环环相扣,步步相依,让学生一步迈一个台阶,扎扎实实地登顶．以一元二次方程为进阶起点,以抽象概括为立足点,让学生利用特殊到一般的数学思想给出函数零点的概念,揭示零点概念的内涵,达到学习经验进阶;以探究函数零点存在定理为生成点,以“数”解“形”发现零点概念的外延,让学生通过探究归纳出零点存在定理,达到思维方式进阶;以合作交流为关键点,通过“三思”的剖析,加深学生对零点存在定理的理解,达到理解认识进阶．每个“阶梯”都在原来的基础上递进,让学生对知识的认识不断进阶．

3.3 学习进阶的终点注重综合性

经历学习进阶的过程后,就要走向本次学习进阶的终点,即巩固性练习,应用所学新知解决问题．如果这个巩固性练习毫无挑战性,只是知识的简单应用,那么学生的思维无法得到升华,也就形成不了分析问题和解决问题的能力．因此最后的巩固性练习必须具有综合性,让学生经历解决问题的全过程,而不仅仅是知识的简单模仿练习．本节课设置的巩固性练习是求方程lnx+2x-6=0的解的个数(e=2.718 28…)．学生需要从本节课学习进阶的起点出发,先将方程的解的个数的判断转化成函数f(x)=lnx+2x-6的零点的判断,进而应用零点存在定理解决问题．在解决的过程中,不仅仅应用了学习的零点存在定理,还让学生经历了整个分析问题和解决问题的过程,这样的学习终点让学生的思维不断进阶,真正实现了从学会“解题”到学会“解决问题”．

4 结束语

应用学习进阶理论要把握好三个环节:一是找好学习进阶的起点;二是在起点的基础上设置好学习进阶的“阶梯”;三是让学生经历知识的发生发展过程后,能融会贯通地走向学习进阶的终点．任何一个环节把握不好,不仅不能让学生的学习进阶,还可能阻挡学生的学习提升,因此教师要精心设计好学习进阶的环节,如此学生才能真正实现学习进阶．