5E视角下“从函数观点看一元二次方程”教学设计*

余建国 (江苏省南京市大厂高级中学 210044)

1 基本情况

1.1 授课对象

授课对象为四星级高中普通班,基础一般,对数学概念从理解到运用需要在教师的引导下经历多次反复的学习过程．

1.2 教材分析

“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”是苏教版高中数学必修一第3.3节,第1课时为“从函数观点看一元二次方程”,主要是引入“二次函数的零点”概念,并系统归纳二次函数的零点情况,通过两个例题,示范求二次函数的零点、判断某区间上二次函数的零点是否存在．

《普通高中数学课程标准(2017年版)》的一个显著变化是解决了初高中过渡和衔接问题,设置了“预备知识”,改变了过去通过补课仅仅解决知识层面的问题,强调遵循学生的认知规律,采用适合高中阶段的学习方法．将函数的零点融合到预备知识《不等式》一章,在系统地介绍了不等式性质之后,在回顾一次函数、二次函数的学习中引入函数的零点,再用函数的思想方法解一元二次不等式,体现了函数应用的两个基本方面:一是用“函数的思想方法”思考、解决其他数学问题;二是用“函数的思想方法”描述、分析和解决实际问题．

1.3 学情分析

在初中数学学习中,通过一次函数、二次函数的学习,学生知道了求一次函数y=kx+b图象与x轴的交点的本质就是解方程kx+b=0;对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴是否相交和方程ax2+bx+c=0的解的关系,也有一些直观的认识．“函数f(x)的零点是方程f(x)=0根的直接推广,新、旧知识之间只有一层窗户纸,一捅就破．”[1]从方程到函数体现了“动”与“静”的转化、数与形的转化思想,学习中需要教师创设适当的情境,让学生体会到转化的必要性,转化过程是自然的．

1.4 教学目标

根据课程标准和以上分析确定如下教学目标和教学重点．

教学目标 (1)回顾求解一元一次方程、一元二次方程的过程,了解函数零点定义;(2)从函数零点、方程的根及函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的关系理解函数、方程和不等式之间的联系,体会数学的整体性;(3)能系统归纳一元二次函数的零点情况．

教学重点 用函数思想统领本节课的教学,引导学生从函数观点看一元二次方程,实现“动”与“静”的转化．

2 教学过程

2.1 参与(engagement)

教师创设情境或提出问题,唤醒学生的先前知识经验和产生认知冲突,吸引学生的注意力和激发学习兴趣,使学生积极思考、动手、动脑．

问题1同学们解过哪些方程?你会解方程x5+x2+2x-3=0吗?

学生对这个五次方程肯定为难,教师改变问法:(1)解方程2x-3=0;(2)解方程x2+2x- 3=0;(3)借助函数y=2x-3的图象来求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0．

设计意图问题1为什么选择五次方程?因为三次和四次方程实际上都有求根公式,如果预设为三次或四次方程,虽然学生不一定知道有求根公式存在,但本质与二次方程一样,教者将陷入两难,所以教师创设的情境必须将学生逼到“死角”,与学生的先前知识经验产生认知冲突．当然,这里的五次函数是单调的,即它只有一个零点．

2.2 探究(exploration)

在教师提供素材的基础上,鼓励学生独立思考、讨论交流,教师聆听、观察,必要时给予学生恰当的引导,如追问、反问、提供新的素材等,其角色是学习的促进者．

问题2反过来,结合刚才所画图象,也可以通过求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0,来深入理解函数y=2x-3的性质．因此,对于求解方程x2+2x-3=0,你认为还可以选择什么视角?

画一元二次函数y=x2+2x-3的图象．由图可知,该函数与x轴有两个交点(-3,0)和(1,0),也就是说方程y=0有两个相异实根-3,1．不仅如此,图象还告诉我们,当x<-3或x>1时,y>0;当-30,即x2+2x-3>0这样的不等式称为一元二次不等式．

追问 那么,你认为如何解方程x5+x2+2x-3=0?

设计意图用学生熟悉的一次函数、二次函数创设情境,引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系,引出一元二次不等式的概念,开辟研究方程、不等式问题的新视角——函数的视角．对于函数y=x5+x2+2x-3,教师可以借助几何画板等工具先画出它的图象(图1),先感受其根的存在性,让学生逐渐养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的习惯．另外,这个追问在本课最后还会再提起．

图1

2.3 解释(explanation)

对学生自主探究阶段得到的原因、过程及结果进行梳理,形成比较严谨的解释,在此基础上定义新的概念,用数学语言规范地表达.通常还可以指引进一步探究的方向．

由此,从函数的视角我们发现,使y=0的x值联系了函数、方程和不等式,这个值有特别重要的意义,我们给它一个新的身份:函数的零点．给出一元二次函数零点的定义(略)．

问题3完成下列表格:

函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+2方程的根函数零点

设计意图一方面用于理解二次函数零点定义,感受求零点的方法;另一方面,复习二次方程根的3种情况,并与求零点相联系,为进一步归纳做准备．当然,理解了这些也为一般函数的零点及求法(或判断存在性)做铺垫．在“解释”环节,教师还要注意对学生的数学表达给予必要的纠正,促进学生对新概念的正确理解,因为学生很容易将新概念与旧有的知识相混淆,如将零点说成交点．

2.4 精致(elaboration)

教师给学生创设一个新的情境,如一个开放性的问题或一个逐渐深入的问题串,让学生通过小组合作、讨论交流,将新概念与原有的知识建立联系,从而使其构成新的认知结构．

问题4一元二次函数零点、一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点的横坐标三者有什么关系?

从本质上讲,三者是一样的．既然一样,这就为解决问题提供了新的途径．教师可以追问,试举例说明新用途．例如,可以借助于函数图象解不等式;也可以借助于函数图象解方程(这个说法暂时给予肯定);等等．

问题5列表归纳:当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系．

设计意图通过归纳,让新知识形成系统的结构,形成“长时记忆”;同时归纳也是培养从特殊到一般的数学研究方法,“代数靠归纳,几何靠类比”,提升学生数学抽象、逻辑推理素养．当然,对于“a>0”的提出过程,也是渗透“一般化”的机会．

追问 当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系请同学们自行完成．

例1求证:二次函数y=2x2+3x-7有两个零点．

例2判断二次函数y=x2-2x-1在区间(2,3)上是否存在零点．

对于例1和例2,求出零点是显而易见的方法,教师需要引导学生用习得的新视角——函数视角,尤其对例2进行新的探究．如画出函数的图象看看究竟,是否能发现新的有价值的线索,如“两端异号”?又如“缩短区间”?用几何画板动态演示函数y=x2-2x+a在区间(2,3)上是否存在零点,追问“异号”是否为必要的,观察、思考、讨论,或者引导学生将问题转化:y=0⟺a=-x2+2x,从函数图象的视角怎么理解?单调性、对称性、连续性……在这里,函数的“序幕”已徐徐展开．

2.5 评价(evaluation)

对结果的评价是必须的,同时更应该对过程进行评价,且评价的形式要综合化、多元化,提倡学生自评、互评,评价应该贯穿于整个学习过程．

问题6通过以上学习,结合图1,你对解方程x5+x2+2x-3=0提出什么有价值的研究问题?

设计意图首先是学会用函数和零点等数学语言表述所提问题;其次是为什么函数y=x5+x2+2x-3有零点?再次是为什么只有1个零点?不同的提法反映了学生本节课达到的思维层次．显然,教师不可能在本节课解决学生所提的所有问题,但它们是新的学习、新的探究的起点,也是课堂“留白”的艺术．

问题7(本课小结)通过本节课的学习,你学到了哪些方法或者思想?对照学习目标,你是否完成了目标?下节课我们应该做什么?

小结是学生自我评价的重要形式,也是教师把握学习目标达成度的观察窗口．能够清晰而有条理地表达新概念和新方法,学会应用新概念和新方法来解决新问题,大胆地提出开放性问题,深怀对未知数学知识的学习期待等,都是目标达成度高的体现．

3 回顾反思

3.1 简述5E教学模式

5E教学模式是美国生物学课程研究(BSCS)开发出的、以建构主义为理论指导的一种教学模式．它包括5个教学环节,即参与、探究、解释、精致和评价,因为每个环节的首字母都是E,故简称5E教学模式[2]．虽然它起源于生物学课程研究、众多的研究成果也以生物学科教学为例,但笔者研究发现,5E教学模式与数学教育有相通之处,尤其在数学概念与原理的教学中．从图2的结构可以看出,5E教学模式与数学概念的形成是相通的[3],实证研究表明它是一种操作性强、实用性好的教学模式．

图2

3.2 5E指导教学设计

在实际生产生活中,人们面对和迫切需要解决的是方程的近似解．围绕零点的存在性、近似解的研究,数学取得了突飞猛进的发展,因此课本把零点概念提前,零点问题贯穿函数学习的始终,当然它也是高考评价的热点．“读书无疑者,须教有疑”(朱熹),本节课以五次方程“启疑”,再以五次方程“拓疑”,强化了函数视角,拓展了思维空间,发展了函数观点．

在“参与”环节,教师创设特定的问题情境,让学生展示和暴露已有概念,以吸引学生的学习兴趣．在“探究”环节,学生通过仔细观察,认真分析,概括规律,建立方程、函数与不等式之间的联系,这是引入零点的重要前提．在“解释”环节,学生会用自己的语言解释探究结果,并能求解具体的一元二次方程的零点．在“精致”环节,教师为学生提供时间和空间,系统整理“三个二次”,达到从术语到内涵全方位地理解零点．最后在“评价”环节,及时了解学生在零点构建过程中教学和学习目标的达成度,同时鼓励学生大胆提出未来函数学习中需要研究的问题或方向．

显然,5E模式也不一定以线性方式展开,更多的时候是交叉的、立体的,尤其是“探究”和“精致”2个环节[4]．先以一次函数、二次函数为背景,后以高次函数为背景;先探开口向上,后探开口向下;后续学习中先研究多项式函数,再研究超越函数;等等.这种周期性的5E教学模式强调以学生为中心,通过创设层层递进的问题情境,驱动学生自主探究,促进学生对概念的整体理解与知识建构．

3.3 丰富5E模式内涵

5E教学模式的核心阶段是“探究”,教学主体过程和重点也是在“探究”[5]．在数学概念形成 过程中,不仅要求教师设置好探究活动,更重要的是教会学生如何探究．教师的作用是给予学生 恰时恰点的引导,实现探究过程的连续、自然和有效．这与新课标提倡的“四基”“四能”在理念和 实施层面是一致的．教学中不应囿于固定的模式,而是应该紧扣模式的核心,丰富和发展5E教学 模式．