基于ChatGPT的初中数学学习初探

游佳婧 (浙江省杭州市开元中学 310016)

田 兴 (上海纽约大学文理学部 200122)

丁 鼐 (浙江大学生物医学工程与仪器科学学院 310027)

1 人机协同的数学学习概述

《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出,“合理利用现代信息技术,提供丰富的学习资源,设计生动的教学活动,促进数学教学方式方法的变革”[1]4．传统意义上,信息技术起到局部辅助的作用,比如几何画板等软件可以绘制几何图形及函数图象,但是这些软件没有完备的数学问题求解功能;计算机编程语言可以实现很多数学问题的求解,但又需要编程能力,使用门槛较高．随着人工智能技术的发展,人类使用机器智能体对特定的计算或者绘图进行辅助的这一模式正在转换为人类智能与机器智能紧密融合的模式．近期,ChatGPT等高水平人机对话技术的出现实现了一种全新的人机协同的方式——人类直接通过自然语言与机器进行交流．换言之,人类不需要再利用特定的编程语言与机器智能体进行沟通,而是可以用像与人对话一样的方式与机器智能体进行交流．ChatGPT所代表的未来方向是通用人工智能,这是一个具有广泛知识和能力的系统,而不是一个只能实现少数特定功能的专门系统．

包括ChatGPT在内的人机协同新模式为创新教育教学方法提供了机遇[2]．一种将ChatGPT应用于数学学习的方法就是通过人机互动来实现新的互动式、探索式学习．互动式、探索式学习是数学课程标准明确提倡的教学模式,有助于“激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑问难”[1]3．传统的互动式学习是学生与学生、学生与教师之间进行互动,但是ChatGPT技术的出现为实现学生与机器智能体的互动式学习奠定了基础,即学生像与同伴讨论一样与机器智能体进行讨论．同样,传统的探究式学习一般是学生独自一人或者分组查阅纸质或者电子资料进行探究,但是ChatGPT技术使得学生与机器智能体共同探究一个问题成为了可能．ChatGPT等技术的新颖性及其强大的功能、渊博的知识使得人机协同的学习模式可以充分激发学生的学习兴趣,而且可以通过合理设计,利用人机协同学习培养学生的批判性思维．

ChatGPT既可以提供新的学习模式,也对各阶段、各领域的教育提出了挑战,甚至一定程度上引起了教育界的担忧．尤其对于语文、英语等学科,由于ChatGPT写作文、回答语言问题的功能非常强大,学生可以利用其完成课程作业,这就形成了一种新的意义下的抄袭——抄袭机器智能体的产出．相对而言,ChatGPT的数学能力还不够完善,其引起的担忧相对有限．但是,初中数学难度并不高,所以即使ChatGPT的数学能力还不够完善,它仍具有正确完成初中数学习题的可能性．

综上,ChatGPT对数学教育的机遇与挑战并存．下面以八年级下册一元二次方程的教学为例,讨论利用ChatGPT 3.0技术实现人机系统的合作式、探究式学习的可能性,以及学生直接利用ChatGPT进行抄袭的可能性．之所以选用一元二次方程进行讨论是因为ChatGPT是人机对话技术,几何呈现能力还比较有限,因此更适合代数、统计等内容的教学,而一元二次方程属于初中代数学习中的重要内容．下面将以此为例针对3种场景对应用ChatGPT提升数学学习的能力进行评估．ChatGPT是一种统计模型,不同次测试中对同一问题可以有不同回答,本研究只进行了一次测试．文中的“问”是笔者的提问,“答”是ChatGPT的答复,“评”是笔者对ChatGPT答复的评价．

2 人机交互在合作学习中的应用

浙教版教材中含有大量的合作学习案例,本文探究ChatGPT 3.0技术是否可以参与这些合作学习过程．设定的场景是在学生进行讨论之后,可以与机器智能体进行更深入的讨论;或者在预习或自学过程中与机器智能体进行讨论．

案例1浙教版八年级下“2.2 一元二次方程的解法”(第1课时)合作学习案例(图1)[3]29．

图1

下面通过人机问答进行合作学习．

问 如果A乘以B等于0,我觉得A和B都为0,你觉得对吗?

答 不一定．当A或B至少有一个不为0时,A乘以B的结果可能为0．例如,假设A等于2,B等于0,那么A乘以B的结果就是0．但是,A并不等于0,只有B等于0．同样地,如果A等于0,B等于2,那么A乘以B的结果也是0,但是这次B并不等于0,只有A等于0．

评 回答正确且给出了例子,有利于学习．

问 如果A乘以B等于0,那么A和B之中一定有一个为0吗?

答 不一定．如果A和B是实数或复数,则当且仅当A或B为0时,它们的乘积等于0．但是,如果A和B是矩阵或向量,则A和B之间的乘积为零并不意味着A或B为零．(后半部分给出了矩阵例子,略)

评 答案没有考虑初中生的知识储备,涉及更高等的数学知识,但是具有激发学生好奇心的潜力,学有余力的学生可以在课后通过ChatGPT进一步询问什么是复数及矩阵等更高学段内容．

问 如果A和B都是实数,A乘以B等于0,那么A和B之中一定有一个为0吗?

答 是的,如果A乘以B等于0,则A和B之中至少有一个必须为0．这是因为,如果A和B都不是0,则它们的乘积必须是正数或负数．如果A和B都是正数,它们的乘积也是正数;如果A和B都是负数,它们的乘积也是正数．因此,A和B的乘积不能为0．只有当A或B为0时,A和B的乘积才能为0．因此,如果A乘以B等于0,则A和B之中至少有一个必须为0．

评 回答正确,而且给出了证明,有助于学习．

问 如果A乘以B等于0,那么A和B中至少有一个为0．请用这个结论解方程(2x+3)(2x-3)=0.

评 回答正确,过程完整,可以作为参考答案．

问 如果A乘以B等于0,那么A和B中至少有一个为0．是不是可以用这个结论求解任意一元二次方程呢?怎么求解呢?

答 不可以直接使用这个结论求解任意一元二次方程．这个结论只适用于矩阵乘法,不能用于解决一元二次方程．(后半段回答是解释如何利用求根公式求解一元二次方程,略)

评 这个问题是个性化的拓展性问题．答案没有考虑初中生的知识储备,将问题复杂化,提出可以用求根公式解任意一元二次方程,答非所问．

小结ChatGPT较好地参与了初中数学问题讨论,其优势包括能够针对学生的个性化提问给出详尽的答案,并且可以进行多轮讨论,培养探索精神,而且其数学知识丰富,可以激发学有余力的学生对更高级数学知识的好奇心．其缺点在于答案并不总是正确,因此需要对其答案进行鉴别,而且因为ChatGPT并不是为初中数学教学设计的系统,它并不考虑初中数学教学的学情,容易引入更高级的数学知识,可能会对部分学生造成困扰．

案例2浙教版八年级下“2.2 一元二次方程的解法”(第2课时)合作学习案例(图2)[3]32．

图2

问 你能将x2-10x=-16转化成(x+a)2=b的形式吗?

答 首先,我们将方程移项得到x2-10x+16=0,接下来,我们需要完成平方项的配方．我们可以通过如下步骤来完成配方:首先,将方程右侧添加一个适当的常数项．因为要得到(x+a)2的形式,所以我们需要添加的常数项应该是a2．

然后,我们需要减去刚刚添加的常数项,以保持方程的平衡．因为方程的左侧是x2-10x+16,所以我们需要从左侧减去a2．

最后,我们需要将方程左侧的常数项与右侧相等．因为方程的左侧是x2-10x+16,所以我们需要将右侧设置为b=16-a2．

综上所述,我们可以得到以下方程x2-10x+a2=a2-16,根据配方法则可以得到(x-5)2=a2-9．因此,如果令a=±2,则原方程可以转化为以下两个形式之一:(x-5)2=4或(x-5)2=16．

评 一方面,大多数参考资料中解方程的答案解析只有解题步骤,甚至只有一个答案,而ChatGPT给出了每一步的文字解释,这对于基础薄弱的学生来说是非常有帮助的．另一方面,步骤虽然有文字说明,却说得不太明白,学生不易看懂,而且ChatGPT计算出错,导致答案错误．部分学生可以发现计算中的错误,并可通过下一个问题展开进一步讨论．

问 根据x2-10x+a2=a2-16可以推导出(x-5)2=a2-9吗?

答 我们可以尝试将左侧的平方项拆开来配合右侧的常数项进行化简:x2-10x+a2=a2-16,(x2-10x+25)+(a2-25)=a2-16+25,(x-5)2+(a2-25)=a2+9．现在,我们已经得到了一个形如(x-5)2=b的式子,其中b为一些已知的常数．如果我们令b=a2-9,那么就可以得到(x-5)2=a2-9．因此,我们可以根据x2-10x+a2=a2-16推导出(x-5)2=a2-9．

评 再次计算出错．

问 任意一元二次方程都可以转化成(x+a)2=b的形式吗?

答 是的,任意一元二次方程都可以通过配方法(即将方程两边同时加上或减去适当的常数,使得方程化为完全平方的形式)转化为(x+a)2=b的形式,其中a和b是实数常数．(后半部分答案推导了如何进行配方,得到了求根公式,方法正确,略)

评 机器智能体不但回答正确,而且用配方法解一般方程的方法证明了求根公式,为学有余力的学生提供了更多的探索空间．

问 (x+a)2=b,如果b是负数,方程就无解吗?

答 是的,如果b是负数,方程(x+a)2=b就无解．因为任何实数的平方都是非负的,即对于任何实数x,都有x2≥0．所以,如果b是负数,那么不存在任何实数a可以使得(a+x)2=b成立,因为(a+x)2一定是非负的．(后半部分答案进行了举例说明,例子正确,略)

评 回答正确且有举例说明,有利于学生学习．

小结一方面,ChatGPT在计算中多次出错,因此需要学生或者教师具有批判性思维和鉴别真伪的能力．另一方面,ChatGPT可以回答一些思维层次较高的问题,帮助学生探究问题的本质,可以满足学有余力学生的好奇心,为后续学习进行铺垫．

3 人机交互在作业辅助及纠错中的应用

案例3浙教版八年级下“2.2 一元二次方程的解法”中的习题:解方程(x-3)2=(2x+1)2．

问 下面的推导哪一步有错?

(x-3)2=(2x+1)2,

x-3=2x+1,

x=-4．

答 推导中出错的是第二步．将两边开根号会得到|x-3|=|2x+1|,因为两边都是平方,所以不能简单地将两边取正数,需要分别考虑两边的正负情况．当2x+1≥0时,方程可以变为x-3=2x+1,x=-4．但当2x+1<0时,方程可以变为x-3=-(2x+1),x=1．所以正确的解应该是x=-4或x=1．

评 结果正确,而且说明了理由,但解答过程有问题．下面再针对学生作业中可能出现的错误,利用ChatGPT进行纠错．

案例4浙教版八年级下“2.2 一元二次方程的解法”中的习题:解方程-x2+5x+6=0．

问 下面的推导哪一步有错?

-x2+5x+6=0,

4x2-20x-24=0,

4x2-20x+25-24=25,

(2x-5)2=25-24．

答 推导的过程是正确的．然后可以继续推导(2x-5)2=1,对这个方程两边开根号得到2x-5=±1．解这个方程可以得到两个解:2x- 5=1或2x-5=-1．当2x-5=1时,解得x=3;当2x-5=-1时,解得x=2．所以原方程的解为x=2或x=3．

评 没有能够纠正错误,反而肯定了错误并进行了继续推导．下面测试ChatGPT是否可以纠正另一种可能的错误．

4 人机交互应用题设计

ChatGPT属于百科全书式的模型,具有丰富的知识,因此在应用题设计方面具有潜力．下面尝试给定题目,让ChatGPT设计类似题目．实际应用中可以选取学生易错题目,利用ChatGPT设计多道类似题目供学生练习．

根据浙教版八年级下“2.3 一元二次方程的应用”的课后作业题1[3]41,设计同类型题目．实际测试中分别进行了三次提问,下面整合为一次问答．

问 某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元．为了扩大销售,增加利润,超市准备适当降价.据测算,每箱每降价1元,平均每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1 400元,则每箱应降价多少元?请根据上面的题目设计一道新的应用题,题目尽量相似,但是场景涉及(1)秋游的规划;(2)体育;(3)物体运动的物理知识．

答 (1)某旅行社计划组织秋游活动,每人报名费用为300元．旅行社为了吸引更多的游客,准备适当降低报名费用．根据调查,每降低1元,平均每天可以多吸引10名游客报名．如果旅行社希望从秋游活动中获得5 600元的利润,请问每人应该降价多少元?

(2)某足球场每场比赛的门票售价为100元,平均每场可售出5 000张门票,场馆每场比赛的运营成本为40 000元．为了吸引更多的球迷前来观赛,场馆计划适当降低门票售价,根据预估数据,每降价1元,平均每场比赛可多售出200张门票．若场馆想要每场比赛获得1万元的利润,则每张门票应该降价多少元?

(3)某物体在真空中以速度v匀速运动,经过一段时间t后,它的速度增加到v+Δv,根据物理学公式,物体的动能E与速度v的平方成正比．假设该物体的动能增加了K倍,求它速度增加了多少?

评 答案(1)中缺少条件,因此无法列方程计算,但是教师可以根据ChatGPT生成的文字场景进行少量修改之后生成正确的题目．答案(2)合理且是原题的变式,经计算发现数据选择也比较合适,符合实际．答案(3)由于场景与原题差异巨大,所以题目的求解方法与原题不同,但是可以认为是一道考查一元二次方程的、与物体运动物理知识融合的应用题．

5 ChatGPT在数学学习中的优点与缺点

通过上述案例可以总结以下几点发现:

(1)ChatGPT具有一定的数学知识,了解一元二次方程的基本解法,但是在计算中经常出错,对课后习题的解答正确率不高．

(2)由于ChatGPT在解题中经常出错,学生直接利用ChatGPT完成作业的可能性很小,目前还不必引起过度担忧．相反,如果教师在例题教学后的习题练习环节不直接给出解题方法,而是通过ChatGPT进行求解,然后带领学生找出其中的错误,这倒是一种激发学习兴趣、培养批判性思维的有效方法．

(3)ChatGPT较为擅长设计应用题,可以根据场景设计指定内容的应用题,也可以根据某一道题目设计类似的题目．但是设计的题目有时存在瑕疵,需要教师复核后才可以使用．尽管本文只讨论了应用题设计,但是ChatGPT同样可以为项目化学习或者交叉学科题目设计提供思路．

除去本文讨论的内容之外,ChatGPT还可用于检索数学史或者应用场景相关内容,但是这些应用场景属于搜索引擎功能的拓展,这里不展开讨论．

6 ChatGPT等智能技术在数学学习中的应用模式

上文讨论了一些通过与ChatGPT互动进行数学学习或教学的案例,但是数学学习的参与者包括学生和教师,上述与ChatGPT的互动可以由学生或者教师发起．根据发起者的不同,可以形成下述三种人机协同的数学学习模式(图3)．

图3

模式1和模式2中,学生直接对机器智能体提问,其中模式1是学生独立于机器智能体进行交流．由于当前的ChatGPT等技术所代表的机器智能体在解决数学问题的过程中经常犯错,所以这种模式可以充分激发学生的自主学习积极性,可以培养学生的探索精神,但是对学生的批判性思维和鉴别对错的能力有很高的要求,因此笔者认为当前大多数的初中生不适合通过这种模式进行人机协同式的数学学习．

模式2依然是学生直接对机器智能体提问,但是是在教师的引导下进行,而且教师对机器智能体的答案进行了鉴别、释疑．这种模式可以在课堂等教师在场的场景下进行.笔者认为其既可以激发学生的学习兴趣、好奇心和讨论的兴趣,也可以避免学生被机器智能体误导,是一种先进的教学方式,但是对教师当场鉴别对错、课堂教学中随机应变的能力具有一定挑战．上文介绍的人机协同合作学习、人机协同作业辅导及纠错等环节适宜采用这种模式进行．

模式3中,学生不与机器智能体直接互动,但是教师通过与机器智能体的互动来设计题目,了解更多的数学史或者应用背景．这种模式下,教师对机器智能体提供的建议进行再加工,取其精华去其糟粕之后再向学生传授,是最为稳妥的人机协同学习方式．上文介绍的人机协同应用题设计适用于这种模式．

综上,当前的ChatGPT技术还不足以支撑通过模式1进行人机协同学习,即大部分学生还很难在教师离场的场景下直接通过与ChatGPT互动进行数学学习;但是模式2已经较为成熟,提供了新的可选的教学模式;模式3也较为成熟,可以对教师备课进行辅助．但是,随着人工智能技术的进一步发展,不久的将来很可能会涌现出国产的中文处理水平卓越的人机对话系统,甚至专门针对中学学情设计的人机对话系统,这些未来的智能技术可以为通过模式1进行自学提供基础,提供一种新的促进教育公平的方法．