把握核心找思路 通巧结合谋题解

朱印祯

摘 要：圆锥曲线的定点、定值问题既是高考中的常见题型，也综合考查了学生自身的逻辑推理以及数学运算等各项能力.若采取常规的解法会显得极其繁琐，而巧妙地运用曲线系方程进行求解，则能使定点、定值的问题得到有效简化，并促进学生的解题效率与速率的提高.

关键词：高中数学；圆锥曲线、定点定线；解题思路；策略

定点、定值属于圆锥曲线当中常见的两类问题，这两大类问题由于题目的形态以及解题策略方向，常常被划归成相同的研究类型，并和最值有关的问题构成对立的研究类型.本文主要对定点和定值相关问题的解题方法和技巧分别做出探究.但是，对数学解题的内容进行研究，除了立足于表层解题技巧，还需注重相同研究类数学问题之间的关联，从而在促使学生具备相应数学思想与理性精神的同时，帮助学生构建完善的知识体系，对知识脉络进行整体把握，准确把握核心问题，明确解题思路，从而使学生解答定点、定值问题的能力得到有效提高.

1 圆锥曲线定点定值问题概述

1.1 定点、定值问题具备的共同特征

定点、定值问题具备的共同特征就是位于动态化过程中的部分量不会伴随运动变化而产生改变，这就形成了相应的“定”.其中包含了两层意思，第一层为，这是动态化的一个过程，若图形为静止的，则图形上各个点均为定点，且每个值均为定值；第二层为“不变性”，在动态化过程中，变为常态，不变则是非常态，不变则是由相应的几何性质所决定.例如，方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1所呈现的曲线过点（0，0），其不会由于θ的变化而产生相应的变化，而点（0，0）则是曲线（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1必过的“定点”，其是由圆系方程具备的代数结构所明确的圆的几何特征；又或者椭圆上任意点M至其两个焦点F1，F2的距离和是常数，且该常数不伴随点M的运动而产生改变，即所谓的“定值”，也就是由椭圆的具体定义来确定椭圆具备的几何特征.由此可知，定点、定值有着相同的特征.

1.2 定点问题的代数形态特征

一般来说，直线经过定点的问题研究，表示直线处在旋转的状态，其斜率是不断变化的，也就是经过直线l的方程式y=kx+b（k，b为参数）的形态，主要就是考查直线是否过定点.若b=λk+μ（λ，μ为常数）为直线的点斜式的方程，直线l过定点（-λ，μ）.尤其是，如果若b=μ（μ为常数），那么，直线l过y轴上的一个定点（0，μ）；如果b=λk（λ为常数），那么，直线l过点x轴上的一个定点（-λ，0）.面对不存有斜率的直线，可立足于此加以验证.一般来说，经过直线l的点斜式方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0（A，B均为参数，x0，y0为常数），由此可断定直线l是否过定点（x0，y0）.通过上述的直线方程的形式，可知直线经过定点的问题，逻辑本质为关于变元（x，y）等式是恒成立的，也就是和参数取值是没有关系的.而曲线理论下，可知曲线λf（x，y）+μg（x，y）=0经过了f（x，y）=0和g（x，y）=0的公共点.

2.3 定值问题的代数形态特征

定值问题位于代数逻辑上，和最值问题是相同的范畴.在解析几何的体系当中，最值问题解答常用的数学思想就是函数思想，研究对象常常随着点的坐标、直线的斜率等出现的变化而变化，以形成研究对象和变量存在的函数关系，因此，需立足于几何条件，构建函数表达式，并通过该函数性质，与几何条件相结合，研究最值问题.定值问题则是构建了相应的常数函数，其随着本源变量产生的变化而变化，并形成“定值”.

2 把握核心找思路 通巧结合谋题解——以圆锥曲线定点定值问题为例

2.1 定点问题

例1 如图1所示，已知椭圆x²/4+y²=1的左顶点是A，过点A作两条互相垂直的弦AM，AN，交椭圆于M，

N两点，当直线AM的斜率发生变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？如果过定点，请加以证明，并求出此定点；如果不过定点，请说出理由.

解析：本题可先从点A与直线AM，AN出發，假设二次曲线的方程是（kx-y+2k）（x+ky+2）+λ（x²+4y²-4）=0，再从点A的切线方程与直线MN的方程Ax+By+C=0，得出（x+2）（Ax+By+C）=0，依据系数可得C=65A，即可得出最终的结论.

解答：如图1所示，设直线MN和x轴之间的交点是P（m，0），那么，可设直线MN的方程是x-ny-m=0.由于点A处的切线方程是x+2=0，设过交点A，M，N的二次曲线的方程是（x+2）（x-ny-m）+λ（x²+4y²-4）=0①；设直线AM的方程是y=k（x+2），即kx-y+2k=0，那么，直线AN的方程是y=-（1/k）（x+2），即x+ky+2=0，由此可得（kx-y+2k）（x+ky+2）=0②.

例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y=x²4和直线l：y=kx+a（a＞0）相交于点M与点N.

（1） 当k=0时，分别求曲线C在点M与N处的切线方程；

（2） y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？请说明理由.

解析：第（2）小问中是求定点的存在，需先假设其是存在的，依据∠OPM=∠OPN，可得两条直线PM与PN的斜率是相反数，两直线的斜率和是定值0.现令k=0，将题目进行特殊化，通过图象具备的对称性，可得到y轴上存在点P符合条件，并证明y轴上存在点P，使得当k变动时，总存在∠OPM=∠OPN.

解答：（1） 依据题意，切线方程是ax-y-a=0以及ax+y+a=0.

（2） 首先由于题意和直线斜率k是没有关系的，因此，可以选择特殊k值，获得特殊定点值，现令k=0，那么直线l和曲线C相交的点分别是（2a，a）与（-2a，a），也就是点M，N是关于y轴相对称，依据曲线C的图象具有对称性，可得到P（0，-a）.因此，猜测y轴存在点P（0，-a），使得当k出现变动时，总存在∠OPM=∠OPN.

2.2 定值问题

例3 如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率是22，分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E，有OE=EF.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 求证：直线AC，BD的斜率和是定值.

解析：（1）中，椭圆的两条相交弦AB，CD的倾斜角是互补的，即kAB+kCD=0，则有kAC+kBD=0，kAD+kAC=0，即AD，BC均存在斜率；（2） 如果椭圆的两条弦AB，CD相交于点E，且斜率都存在的情况下，只要有一个存在斜率，其余的两条线均有斜率.

解答：（1） 依据题意，可得c=1，e=ca=22，因此，a=2，且有b2=a2-c2=1，即椭圆的方程是x22+y2=1.

（2） 设直线AB的斜率是k，依据题意可知，直线CD的斜率是-k，因此，直线AB的方程是kx-y=0，且直线CD的方程是kx+y-k=0.设直线AC，BD的方程分别是A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，现将过A，C，B，D四点的二次曲线方程设为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λ（kx-y）（kx+y-k）=0，如果表示椭圆，则有A1B2+B1A2=0，由此可知，kAC+kBD=-A1B1+-A2B2=0，故直线AC，BD的斜率和是定值.

例4 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点P（1，2），若过点Q（0，1）的直线l和抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA与y轴相交于M，直线PB与y轴相交于N.

3 结束语

高中数学的圆锥曲线中定点定值的相关问题解决以及分析过程，全面考察了学生对于圆锥曲线相关知识的掌握与应用能力.因此，数学教师在具体教学时，需注重数学思想以及解题技巧的讲解，培养学生自身的逻辑推理力，以促使学生经过解题思路的不断拓展与创新，实现高效解题.

参考文献：

［1］ 高继浩.对圆锥曲线中一类定点定值问题的探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2022（15）：2425.

［2］ 邓启龍.圆锥曲线中一类定点定值问题的探究［J］.中学数学研究，2021（10）：4547.

［3］ 范选文.巧解圆锥曲线定点与定值等问题的两种方法［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（1）：3537.

［4］ 张静，徐小琴.高考圆锥曲线中定点与定值问题解析［J］.理科考试研究，2020，27（5）：59.

［5］ 秦宜菊，杨会.有关圆锥曲线一类定值及定点问题的再研究［J］.中学数学教学参考，2019（16）：5253.

［6］ 张国荣.关于圆锥曲线的定点、定值问题的探索［J］.中学生数理化（学习研究），2018（3）：1819.

［7］ 李刚.在问题探究中构建知识的整体关联——以“圆锥曲线中一类定点定值问题”为例［J］.数学通报，2023，62（2）：1621.

［8］ 王永山.引导深度学习探寻素养培育——例谈圆锥曲线定值定点问题［J］.中学数学月刊，2023（9）：3740.