信息技术助力建模 项目学习提升素养

黄洪毅

【摘要】文章基于生活中铺地砖的真实情境，组织学生开展项目式学习，用信息技术辅助学生进行实验探究，建立数学模型，发现平面图形镶嵌的本质.教师在用科学方法解决现实问题的过程中，全面提升学生的数学核心素养，让学生感悟数学与生活以及艺术之间的联系，充分实现综合实践课的育人价值.

【关键词】信息技术；核心素养；数学建模；项目式学习

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出，综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主，以真实问题为载体，适当采用项目式学习的方式，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质.在实际问题的解决中，创设合理的信息化学习环境，可以提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力.文章以“平面图形的镶嵌”为例，使用信息技术辅助学生进行实验探究，组织学生开展项目式学习，从实际问题中抽象出数学问题，探究问题本质，建立数学模型，发展学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界的核心素养.

一、教学背景分析

“平面图形的镶嵌”是北师大版八年级数学下册“综合与实践”的教学内容，是在学生理解并掌握三角形、四边形、多边形及图形的平移、旋转与翻折等知识的基础上，综合运用所学知识解决现实生活中问题的重要知识载体.

基于核心素养发展理念，本节课采用项目式学习方式，引导学生从生活中铺地砖的真实情境中抽象出数学问题，提出平面图形的镶嵌问题.教师借助信息技术，使用拼图软件进行分组探究，提高实验效率，激发学生学习兴趣；设计逻辑连贯、具有思维挑战性的探究任务，引导学生开展系列化的数学建模学习活动，让学生经历从数学角度观察与分析、思考与表达、解决与阐述平面图形镶嵌问题的全过程，帮助学生感悟数学与生活及艺术之间的联系，进而提高学生的数学核心素养.

二、教学过程

（一）会用数学的眼光观察现实世界———抽象能力

1.发现问题

人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，观察下面这些图案，它们在拼接时有什么特点？

设计意图：通过现实生活中的实际问题，引导学生学会用数学的眼光观察现实世界，在实际生活中发现并抽象出数学的问题.

2.提出问题

生活中对地砖拼接最基本的要求是：地砖之间应该严丝合缝，既无空白，也无重叠.

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌或密铺.

问题1：平面圖形镶嵌的关键点是什么？

问题2：哪些平面图形可以镶嵌？怎样开展研究？

设计意图：问题1引导学生思考平面图形镶嵌的关键点，理解“无缝隙、不重叠、铺成一片”这三个要素，从而得出平面图形镶嵌的概念，为后续研究做好准备.问题2旨在用项目式学习的方法引导学生开展实验研究，运用已有数学知识，用数学思维解决现实问题.

（二）会用数学的思维思考现实世界———推理能力

1.分析问题

本项目作为八年级下册的一次综合实践教学活动，以现实生活中拼接地砖为背景，提出“平面图形的镶嵌”作为驱动型问题，引导学生规划方案进行实验研究，将已经学习过的三角形、四边形、多边形及图形的平移、旋转与翻折等知识融会贯通，建立数学模型，以解决现实生活中的问题.

设计意图：分析问题，将现实生活中的实际问题转化为应用三角形、四边形、多边形及平面图形的变换等数学问题，旨在培养学生学习数学的兴趣和用数学思维解决问题的能力.

2.简化问题

学生普遍缺乏解决实际问题和数学建模的经验，独立开展项目式学习会变成漫无目的的探索，这就需要教师整体设计逻辑连贯、具有思维挑战性的探究任务.

设计意图：简化问题，从特殊到一般，引导学生分步实施数学探究活动，经历类比、模仿、自主创新，实现思维的发展.

探究1：仅用一种正多边形进行镶嵌，在电脑软件中进行拼图，完成实验报告单，思考什么样的正多边形能完成单独镶嵌.

请同学们小组合作，在电脑上用实验软件完成拼图，填写以下实验报告，并选派代表汇报实验探究的结果.

【实验步骤与观察记录】

探究2：允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪两种边长相等的正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？

先尝试用边长相等的正三角形与正六边形组合，探究能否镶嵌成一个平面图案，再从软件中选择其他两种正多边形进行组合，试试看，寻找两种正多边形能够镶嵌的规律，如图2所示.

探究3：允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪三种边长相等的正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？完成下列表格.

探究4：非正多边形（凸多边形）能够进行平面镶嵌吗？说说你的理由.

探究5：查阅资料，观看教师提供的埃舍尔平面图形镶嵌画制作过程，设计一幅平面图形镶嵌图.

设计意图：学生普遍缺乏数学建模经验，教师引导学生按照从特殊到一般、从无序到有序的思路进行探究，充分利用信息技术，指导学生利用拼图软件进行探究1和探究2的活动，提高实验效率，把精力花在用数学方法解析模型、寻找平面图形镶嵌本质规律的过程中.接下来，学生类比探究1和探究2，完成探究3和探究4的活动，经历从模仿到自主创新的转变.最后，以探究5的活动作为拓展，教师通过动画展示埃舍尔由基本图形经过变换得到镶嵌图案的过程，帮助学生理解几何变换的动态过程，并鼓励学生动手操作设计镶嵌图案，亲身体验镶嵌的过程及其带来的美的感受.

（三）会用数学的语言表达现实世界———模型意识

1.建模、解模及检验

数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，数学建模活动与数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体.

探究1结论：通过对一种正多边形的实验探究，发现一种正多边形能够镶嵌的规律是共顶点的各个角的度数之和等于360°.

分析检验：学生通过实验操作，发现只有正三角形、正四边形和正六边形能完成单独镶嵌，与模型的解完全一致，如图3所示.

探究2结论：通过对两种正多边形的实验探究，发现两种正多边形能够镶嵌的规律依然是共顶点的各个角的度数之和等于360°.

建模与解模：设两种正多边形的内角度数分别为x°，y°，个数分别为m和n.因为每个顶点处各个角度数之和等于360°，所以mx+ny=360，这是一个不定方程.

为了简化问题，实验中只给出了正三角形到正十边形的图形，通过求解，学生可以发现正三角形与正六边形、正四边形与正八边形、正五边形与正十边形这三种组合满足方程.

分析检验：学生通过实验操作，验证正三角形与正六边形、正四边形与正八边形的组合能够完成镶嵌，但是对正五边形与正十边形的实验结果产生了分歧，现场引发了激烈讨论.

正方结论：正五边形与正十边形能够镶嵌，正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，取2个正五边形和1个正十边形作为基本图形，满足2×108°+1×144°=360°，所以正五边形与正十边形能够镶嵌，如图4所示.

反方结论：正五边形与正十边形不能完成镶嵌，虽然正五边形和正十边形的组合使得方程有正整数解，但是在实际拼图的过程中，不能铺满整个平面，会有缝隙或重叠出现，这不符合平面图形镶嵌的定义，所以正五边形与正十边形不能完成镶嵌，如图5所示.

通过辩论，学生明晰了平面图形镶嵌的概念，反方获胜，同时意识到模型检验的重要性，积累解决生活中复杂问题的经验.

2.模型应用

探究3结论：由探究1和探究2的数学模型，可以推出三种正多边形镶嵌要满足的条件依然是同一个顶点处所有内角的和为360°，直接应用模型，得出正三角形、正四边形和正六边形可以完成镶嵌，如图6所示.

探究4结论：直接应用由探究1和探究2得出的数学模型，共顶点处所有内角和为360°，可以得出任意三角形都可以镶嵌，事实上，可以把两个三角形拼成一個平行四边形，然后将平行四边形上下叠放铺满整个平面，如图7所示.任意四边形也可以铺满整个平面，只需要标注任意四边形的内角和为360°，把4个四边形不同的对应角进行拼接，一起构成360°，其他以此类推，如图8所示.

通过查阅资料，学生发现可以单独镶嵌的不规则的五边形有15种，如图9所示.能够单独镶嵌的不规则的六边形有3种，当边数大于等于7时，不规则多边形不能单独镶嵌.

教师采用项目式学习与数学建模深度融合的方式，将核心素养的培养融入教学实践.用数学眼光、数学思维、数学语言解决实际问题，不仅能够巩固学生对所学知识的理解，还可以强化学生探究学习的意识，促进学生“三会”能力的培养.教师最后布置的探究5的活动，充分发挥了学生的想象力和创造力，使学生体会数学与艺术的完美结合，感受数学在生活中的应用，增强学习数学的兴趣.

三、教学思考

（一）任务驱动，实现思维自然生长

综合与实践活动课程源于现实生活中的真实问题情境，具有一定的复杂性和综合性.学生普遍缺乏解决问题的经验，面对问题情境，往往不知从何处开始研究.本节课教师引导学生从平面图形的镶嵌中提取出问题，并对问题进行分析和简化，从特殊正多边形到一般多边形，从一种正多边形到两种正多边形和三种正多边形，建立秩序，带领学生完成序列化的探究任务，发现平面图形镶嵌的本质，理解数与形的转化与联系，实现思维的自然生长.

（二）信息助力，促进数学建模与解模

在传统的教学中，本节课是让学生准备大量全等的正多边形纸片进行拼图，耗时耗力，打击学生探究的积极性，且学生不易观察到几何图形的动态变换.本节课充分使用信息技术，设计拼图软件，学生只需要在电脑上点击鼠标，即可轻轻松松完成一种正多边形和多种正多边形的拼接，极大地提高了课堂效率，激发了学生的学习兴趣，使学生把时间和精力用在探究上，寻找平面图形镶嵌的规律，建立数学模型并解释模型和应用模型，开阔学生的视野.

（三）项目式学习，发展学生核心素养

项目式学习提倡学生在“做中学”，以学生为中心，通过任务驱动，引导学生开展基于生活中真实问题的活动探究，最后小组汇报交流学习成果，有助于发展学生用数学眼光发现和提出问题、用数学思维分析和解决问题、用数学语言描述和表达问题的素养，还有助于培养学生用整体的、发展的、联系的眼光看待现实问题的能力.在整个项目式学习过程中，学生有小组合作和分工，任务明确，参与度高，实现深度学习，感受到学习的意义和快乐.

结 语

教师利用信息技术促进教与学方式变革，通过将问题简化，从特殊到一般，从简单到复杂，引导学生分步实施序列化的数学探究活动，经历类比、模仿到自主创新，实现思维的发展.这样的项目式学习对于发展学生数学核心素养更有效.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]马复.义务教育教科书《数学》八年级下册[M].北京：北京师范大学出版社，2013.

[4]张先义，姚莉芳.基于图式理论的初中数学深度学习的探索与思考：以《平面图形的镶嵌》实验教学为例[J].教育交汇，2021（7）：48-51.

[5]卫德彬，阮征，陈方勇，等.核心素养视域下的数学图形微课教学研究[J].中学数学教学，2018（6）：7-9.