以“问题提出”促进小学数学课堂“教、学、评”一致性

李建良

【摘   要】“教、学、评” 一致性是当前学科教学的重要研究内容。“问题提出”作为教学手段、学习目标和评价工具，兼具教、学、评三者功能于一体。在“鸡兔同笼”问题的教学中，借助基础性问题提出和发展性问题提出，围绕“以‘问题提出为教学手段，架构教学活动；以‘问题提出为学习目标，培养学生能力；以‘问题提出为评价工具，分析学习效果”的教学实践，实现“教、学、评”一致性。

【关键词】问题提出；教学评一致性；基础性；发展性

“教、学、评”一致性是当前学科教学的重要研究内容。“问题提出”作为教学手段、学习目标和评价工具，恰好能与教、学、评活动相匹配，以此作为促进“教、学、评”一致性的手段，可以有效达成教学与研究的目标。近年来，笔者在这一方面作了一些实践与探索，本文将以“鸡兔同笼”一课为例，探讨其中的具体做法。

一、“问题提出”促进“教、学、评”一致性的条件分析

根据教学时机和教学目的，“问题提出”活动可以分为基础性问题提出和发展性问题提出。两类活动功能各有侧重，相辅相成（如图1）。

基础性问题是指针对知识与技能的理解与掌握这一基本目标，引导学生根据问题情境，结合已有知识经验，提出的与当前教学内容相关的问题。其目标相对比较单一，指向也比较明确，不同的学生都可以提出符合自身水平的问题，共同构建有效的问题序列作为学习素材，为探究指明方向，促使学生全员参与。

发展性问题是指针对思维与能力发展的高层次目标，引导学生提出的开放性问题，以培养学生的发散性思维并提供额外的学习资源。发展性问题的目标比较多元，学生提出的问题存在多种可能性，需要综合运用各种知识技能，因此主要在应用环节组织学生根据数学对象提出此类问题。发展性问题还可以作为课后全面检测学生学习水平的有效工具和有力依据。

问题提出作为教学手段、学习目标和评价工具，与教、学、评等活动都有着密切的关系。精心设计、有效实施、准确把握问题提出的教学活动，可以找到教、学、评三者的融通点，促进其一体化及螺旋式上升。（如图2）

二、基于“问题提出”的“教、学、评”一致性设想

“雞兔同笼”问题作为一个经典数学问题，其教学难点主要来源于三方面：课前，作为数学名题，它早已在学生中口口相传，容易使部分学生望而却步；课中，诸多解法，包括一些思维含量较高的“独门秘技”，容易使学生浅尝辄止、顾此失彼；课后，多种变式，包括数据变化、对象变化等，使之更加披上了一层变幻莫测的外衣。

根据问题提出的特点，结合“鸡兔同笼”的教学难点，本内容将在导入和拓展环节各安排一个问题提出活动。在导入环节，借助问题提出，把复杂的问题分解成简单的问题，将特殊的问题转变为一般的问题。例如，只提供“总头数”这一条件：“笼子里有一些鸡和兔，共8只。”由学生提出关于鸡兔数量的简单问题，使每个学生都可以尝试用顺向思维解决问题，积累数学活动经验。比如，有学生提出这样的问题：“其中鸡有3只，鸡兔一共有多少条腿？”这样的解决问题过程使他们不必专门去掌握一些特殊的技巧。在解决问题、掌握模型的基础上，再请学生提出相关的数学实际问题。如请学生根据鸡兔同笼的模型，通过改变其中的数据或对象，或同时改变两者，提出一个新的问题。这样既能考查学生对鸡兔同笼问题的理解，也可以拓宽学生的视野，提供更多丰富且有深度的素材。

三、“问题提出”引领“教、学、评”一致性的教学实践

（一）以“问题提出”为教学手段，架构教学活动

1.“问题提出”引领教学活动有序推进

用孤立的眼光看待不同水平的学生提出的问题，可能会觉得有些问题过于简单，但如果把这些问题纳入到问题序列之中，则将形成教学活动有序开展的重要路径。

教学开始，教师出示基本信息：“笼子里有一些鸡或兔，共8个头。”请学生提出数学问题。学生提出“鸡有几只”“兔有几只”“腿一共有几条”等基本问题并发现这些问题的答案是不确定的，这就自然引出了列表法。从表格中，学生发现了“腿数”的增减规律，并对现象背后的原因作出了解释：少一只鸡的同时会增加一只兔，相当于增加了2条腿。教师在肯定这一发现之后追问：“不相邻的两组数据是否也存在类似的规律？”学生通过举例，证明了其中也存在相关的规律。教师给出完整的鸡兔同笼问题：“笼子里有一些鸡或兔，一共有8个头，26条腿。鸡兔各有几只？”学生在独立完成和相互交流中，得出了假设法这一通用的方法。

教师请学生概括鸡、兔、腿的数量变化规律。经学生独立思考与表达、相互补充和完善，得出结论如下：不管列表法还是假设法，都只要抓住“鸡兔每次增减都会相差2条腿”这个关键点即可。腿少了，就加兔减鸡；腿多了，就加鸡减兔。

2.“问题提出”促进教学层次显著提升

在学生对问题的基本模型有了较为深刻的理解之后，由学生自主提出不同类型、不同层次的问题，可以帮助他们了解更多的变式问题，开展深度学习。

教师让学生运用鸡兔同笼模型，从不同的要求中选择一个提出问题。三种不同水平的要求如下：①仍然用上8和26，但是更换事物；②仍然用鸡和兔、头和腿，但是改变数量；③既更换事物，又改变数量。学生提出三种类型的变式问题后，教师从中各挑选一个进行展示（如图3）。第三类问题引起了学生的注意，大部分学生认为这个问题与前两个问题不同，把动物的腿数换成了种菜的棵数，而且数量变成了2棵和3棵，男女生种菜的棵数是相差1而不是2。由此，学生体会到了鸡兔同笼问题变化多样，也加深了对其中包含的万变不离其宗的数学模型的理解。

两次问题提出活动首尾呼应，搭建了结构化的教学序列，使学生经历了完整的学习探究过程，对鸡兔同笼问题形成了正确而深刻的认识。

（二）以“问题提出”为学习目标，培养学生能力

1.借助“问题提出”，提供平等的参与机会

通过对教材中教学内容的适当改编，使之成为一个简单又常见的情境，引导学生提出问題，可以为不同水平的学生提供参与的机会。

在鸡兔同笼的教学中，学生根据信息提出基础性问题之后，发现这些问题的答案是不确定的，由此联想到了“租船问题”中所用过的列表法或枚举法。正是在这些简单、基础的问题以及它们形成的问题串的引领下，全体学生都参与到了用列表法研究多种可能的结果的活动中来。基础性问题提出活动营造了一个共同探究的良好学习氛围，激发了全体学生参与研究的动力。

2.借助“问题提出”，激发丰富的创造能力

在发展性问题提出的过程中，相当一部分学生愿意挑战第三类变式问题（同时改变数量和事物），这反映出学生极大的想象力、创造力以及持续探究的热情。学生提出的问题中包含多种不同类型的对象，如动物、植物、工作量、交通工具以及几何图形等。其中，有不少学生尝试突破原题中“2条腿”和“4条腿”的限制，提出诸如“1条腿”“3条腿”乃至“100条腿”的问题。学生提出的数学问题中包含的现实对象的丰富性、数量关系的多样性，以及对数量关系把握的准确性，远超教师预期。

可见，由学生自主提出变式问题，可以培养学生的发散思维，提高学生的思维品质，有限的学习空间得到了无限的扩张，学生为自己争取到了更多的学习机会。

（三）以“问题提出”为评价工具，分析学习效果

1.实时评价基础性问题，指明探究方向

在以问题提出为主导的教学活动中，教师通常会对学生提出的基础性问题作及时的分类、整理与评价，更好地发挥问题的导向作用。

在鸡兔同笼教学中，学生提出了“鸡有几只”“兔有几只”“腿一共有几条”这三个非常简单和常见的问题，教师及时组织学生对这些问题进行评价。通过这三个问题以及由此引出的评价，高水平的学生看到了与自己通过课外途径了解到的“鸡兔同笼”问题不一样的研究切入点，激发了他们的好奇心；中下水平的学生则是看到了自己熟悉的数学问题，激活了已有的学习经验，引发了他们进一步探究的意愿。因此，不能仅仅为了提问而提问，更应该发挥问题的全方位作用，尤其要通过学生的自评与互评，发现问题之间的关系和脉络，探寻学习和研究的正确方向。

2.统计分析发展性问题，评价学习效果

问题提出是评价学生认知水平的重要手段。发展性问题提出一般采用书面的形式进行表达，这有利于在课后进行更加细致的统计与分析。笔者结合教学实际，对Silver和蔡金法研究得出的学生问题提出水平评价框架进行了适当的简化，使之更易于操作（如图4）。课后，利用该评价框架，对学生提出的发展性问题进行了分类统计（如表1）。

教学活动中的三个变式问题提出要求按由易到难的顺序呈现。统计显示，学生选择比例最高的是变式问题③，这表明学生愿意挑战有一定难度的问题。所有学生提出的问题中，合理问题有28个，占问题总数的68.29%；不合理问题也主要集中在变式③这类较高难度的问题中。另外，问题提出的正确率明显低于问题解决的正确率，学生的一些认知不足也得以暴露，这也为教师全面了解学生的学习状况提供了客观依据。

此外，若学生提出的问题中涉及的情境对象仍然是类同的动物（如兔变龟），则可以推断其模仿成分大于创造成分。如果能提出涉及其他事物的问题，则表明学生已经脱离了表象的束缚，更加注重鸡兔同笼问题的本质。对学生提出的问题中包含的现实情境进行分析可以发现，学生提出的问题中包含的情境种类有动物、植物等8种（如图5）。另外，经统计，共有10名学生突破了“2条腿”和“4条腿”腿数之差的限制。从问题情境和数量关系的角度而言，这部分学生已经能大胆突破认知局限，准确抓住问题本质。

因此，作为评价工具，问题提出能从知识技能、情感态度、方法策略、思维水平、学习习惯等方面对学生的学习情况作出全面的评价。并且，部分评价结果能在教学过程中及时反馈，直接体现在课堂上，反作用于教师的教与学生的学。

总之，解决“教、学、评”一致性问题的实质在于提高教、学、评的相关性。教师在设计教学活动的过程中，不仅应全面考虑借助问题提出活动充分发挥课堂中教、学、评三者的作用，使教有层次、学有发展、评有依据，更要使三者相互作用，彼此促进。“问题提出”的核心价值在于为学生提供更多的学习机会。在强调“问题提出”的课堂教学中，教师应以开放的理念，创设有利于学生参与和表达的学习空间。只有在开放、多元的环境中，学生才能尽情地提出问题和表达观点。教师还应善于发现学生提出的问题中的教学价值，及时组织学生对问题进行梳理和评价。利用学生提出的特别有价值的问题开展深度学习，或借助其中的不合理问题，进一步理解和巩固所学内容的本质属性。实践证明，精心预设问题提出活动，创设有利于问题提出的学习氛围，及时把握生成的问题资源，有助于实现“教、学、评”一致性。

参考文献：

［1］蔡金法，姚一玲.数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究［J］.数学教育学报，2019，28（4）：42-47.

［2］蔡金法，刘启蒙.课堂评估：作为有效教学的重要组成部分［J］.小学数学教师，2017（5）：5-11.

［3］陈婷，李兰，蔡金法.中国小学数学“问题提出”教学的研究与实践：基于《小学数学教师》和《小学教学》（数学版）中“问题提出”文章的分析［J］.数学教育学报，2021，30（1）：19-24.

［4］杨雪，张春莉，刘冠男.教、学、评一致性：贯穿单元整体教学的设计与实施：对《义务教育数学课程标准（2022年版）》的一些思考［J］.小学教学研究，2022（25）：13-16.