基于学习路径分析的“两、三位数除以一位数”单元整体教学

陶毓姗　章勤琼

【摘   要】除法竖式是小学阶段笔算教学的难点。除法竖式教学需要把握好情境意义理解与活动操作过程的联系，加强算法与算理的联系。两、三位数除以一位数在除法竖式学习中处于承前启后的位置。教师将理解算理、掌握算法的核心目标具体化之后，对学生的学习起点和学习路径作了分析，在此基础上对单元进行了整体教学设计，增加了活动操作，以充分理解算理，并将竖式教学与横式进行紧密关联，加强算法与算理的联系。

【关键词】学习路径；单元整体教学；两、三位数除以一位数；算法与算理的联系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，运算能力的内涵之一是“能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系” ［1］。算法指的是计算的方法，算理指的是计算的道理，两者相辅相成、相互联系。理解了算理，能更容易掌握算法；掌握了算法，也有利于算理的理解。只有将算理和算法融合起来，学生的计算能力才能真正得以提高。

“两、三位数除以一位数”单元是小学阶段整数除法的第二个知识模块。纵观北师大版小学数学教材，整数除法主要分为三个阶段教学：表内除法的运算和应用、除法口算和除法笔算及应用、三位数除以两位数的除法笔算及应用。第一阶段主要学习表内除法和有余数的除法，学生通过乘法口诀计算结果，同时需要理解除法竖式的合理性。第二阶段的重点是学习两、三位数除以一位数的除法，学生需要进一步掌握笔算方法，理解除法竖式需要按照数位逐步进行，并为第三阶段三位数除以两位数的学习提供至关重要的支撑。所以第二阶段对除法算理的理解与算法的掌握尤其重要。作为教师，怎样能更好地让学生理解算理？基于学习路径的研究框架［2］，笔者对这一单元进行了整体教学的思考。

一、理解单元学习目标

（一）单元内容概述

北师大版教材三年级下册“除法”单元主要目标包括：经历平均分物的过程，探索并掌握两、三位数除以一位数除法的计算方法，进一步理解除法竖式计算的道理；结合解决实际问题的过程，正确计算两、三位数除以一位数；经历观察、操作、推理等活动过程，提高解决相关除法问题的能力；能结合具体情境进行估算，进一步发展估算的意识和能力。

人教版教材三年级下册“除数是一位数的除法”单元主要目标包括：经历口算除法的探索过程，会口算除数是一位数，商是整十、整百、整千的数以及一位数除几百几十（或几千几百）的除法；经历一位数除多位数笔算的探索过程，掌握一般的笔算方法，能正确地计算一位数除多位数，并能用乘法验算；经历在具体的情境中用估算解决问题的过程，掌握一位数除多位数的除法估算的一般方法，增强估算意识，形成估算的习惯；经历解决问题的过程，学会简单的、有条理的思考，能够灵活选择合适的计算方法解决简单的实际问题。

对比两个版本的学习目标，可以看到都涵盖了以下内容：理解两、三位数除以一位数的算理、掌握竖式计算的方法、发展估算的意识和能力、解决除法相关的实际问题。

（二）确定核心目标

本单元的除法竖式是学生第一次接触分层记录的除法，理解难度较大。一方面，学生要理解除的顺序，明白分层记录的道理，理解从高位开始除的必要性，知道当高位除完有剩余时，需把余数转化成几个十或几个一，再和下一位的数合起来继续除；另一方面，教师要引导学生注重竖式记录的关联性，将竖式记录与具体情境、横式計算联系起来，构建竖式计算方法和算理之间的关联。

因此，笔者将本单元的核心目标确定为理解两、三位数除以一位数的算理并掌握竖式计算的方法。

（三）核心目标具体化

综合以上分析，核心目标主要为两点。第一，理解两、三位数除以一位数的算理。在之前二年级学生第一次接触除法竖式的基础上，本单元的算理理解具体表现为两个水平层次：结合分小棒的操作情境，使学生理解可以按照不同的计数单位来分，如既可以先一根一根地分，也可以先一捆一捆地分；在分的过程中若捆有剩余，需要将捆拆开变成根，即理解高位转化为低位的过程。第二，掌握两、三位数除以一位数的竖式记录方法。具体表现为学生通过构建竖式记录与横式的关联，体会竖式记录形式的合理性；在实际操作情境中理解竖式记录中每一步的意思，建立算法模型。

二、确定学习起点

为了解学生的学习起点，笔者从理解两、三位数除以一位数的除法算理和竖式计算两个方面对自己任教的一个班的学生进行了前测。

（一）算理理解水平分析

为了解学生对算理的理解水平，笔者设计了两位数除以一位数算理理解的表现性评价框架并开展了前测。

测试题：56根小棒平均分给4个人，每人分到多少根小棒？用你喜欢的方法，分一分，算一算。

测试时，让学生自己用小棒操作，并将操作的结果用画图等多种方式表征出来。接着，以算理理解的四个水平层次为基础［3］，设计了如表1的评价框架，并对测试结果作了统计。

从前测结果可以看出，大部分同学能够用自己的方法得到正确结果，但说不清楚自己是怎么想的；有10个学生能通过画小棒的方式圈出分的过程，得出结果，但绝大部分同学无法说出先算什么，再算什么；只有少部分同学用横式清楚地写出了计算顺序，即把剩余的捆与原来的根合在一起继续分。

（二）竖式记录情况分析

在前测中，还需要学生用自己的方式来列竖式。以48÷4为例，学生竖式记录情况的统计结果如表2。

从上表中可以看出，有40人无法正确写出除法竖式，其中有16人是根据口算得出的结果，竖式记录无法解释“分一分”的过程；无法进行竖式记录或其他有17人，其中有7人甚至忘记了除法竖式的格式，直接按照加、减、乘法的竖式格式；有8人是完全空白的。只有3人能正确写出完整的竖式记录，但当询问他们能否将竖式记录与横式、“分一分”关联起来时，他们不能很清楚地表达，竖式记录仅仅是因为记忆模仿写出来的。

三、分析学习路径

基于以上分析，从单元整体教学视角出发，本单元教学可以分为三个阶段。

第一阶段，理解两位数除以一位数除法的算理本质。借助小棒，以直观模型再现平均分的过程，让学生在操作中理解两位数除以一位数中分2次的经历，体会从高位开始分的必要性。有了直观模型与操作活动的支持，能使学生深刻理解除法算理，形成“分一分”通法。

第二阶段，引导学生以关联的视角进行竖式记录。结合操作活动的步骤，以及横式记录的过程，引导学生理解和掌握除法竖式的计算步骤以及每一步的实际含义，将算理和算法融合在一起。学生对于三位数除以一位数的算理、算法的学习就水到渠成了。

第三阶段，引导学生借助已有的知识经验和基础，在解决问题的过程中，对三位数除以一位数的具体算法进行变式和迁移。

四、单元整体教学思考

根据学情分析，大多数学生对“两、三位数除以一位数”的算理理解和他们的竖式记录都存在很大的问题，有的学生甚至不会书写正确的除法笔算格式。可以看出，这类学生在第一次接触除法竖式时就没有体会到竖式记录的合理性，特别是无法将竖式记录与操作过程进行对应。因此，在本单元的笔算教学中，教师应该引导学生关注情境意义、横式计算过程和竖式记录的关联，让学生不仅体会竖式记录的合理性，还要能结合情境，理解竖式记录过程中每一步的含义。

综上分析，应基于学生的学习路径，以单元视角的整体角度对教材进行有机整合、合理优化和灵活运用，做到真正为学生服务。为此作了如下思考。

（一）加强活动操作，促进算理理解

从学生前测可以看出，大多数学生对竖式计算中平均分物的过程并不是很清晰，因此笔者准备了一节基于算理理解的活动课，让学生在平均分的过程中，建立竖式计算的表征模型，理解活动过程中每一步的意思。目标为：（1）创设分桃子的现实分物情境，让学生经历分小棒的过程。（2）理解活动的每一个步骤，并能用横式记录下来。（3）在活动过程中体会“先十个十个分，再一个一个分”。

（二）以算理促算法，适当整合内容

在理解算理的基础上，打破教材原来按照知识点分为“十位刚好整除和有剩余”两课时的编排方式，将本单元的教学分成“理解算理”和“竖式记录”两节课。在第一节操作活动课之后，在第二节课以教材中的“分桃子”为情境，开展指向“两位数除以一位数”的竖式教学。这能够有效地促进学生对算理的理解和算法的构建。另外还需创设一个三位数除以一位数的“分一分”操作活动。教材中是以求高铁的速度为情境学习“三位数除以一位数”，但学生对算理的理解是比较抽象的，不能很清晰地说出每个数字在情境中的意义。因此笔者采用了分“人民币”的情境，同样基于学生的现实生活，却使学生对算理的理解更加容易了。

（三）笔算除法中对于“0”的教学的整合思考

笔算除法在“0”的处理上紧紧围绕“不够商1就商0”和“0除以任何不是0的数都得0”进行，教材中分两节课进行：在“猴子的烦恼”一课中以“306÷3、840÷6”为例，学生经历的是“0除以任何不是0的数都得0”的知识点；在“节约”一课中以“912÷3、522÷4”为例，学生经历的是“不够商1就商0”的知识点。从教材的编排逻辑分析，这样的编排是符合学生的学习思维习惯的，所以在教学这两节课时，教材中的材料和结构可不做大的改动［4］。考虑到“被除数中有0”的教學需要，同时结合课堂作业本中的练习题，可以在“306÷3、840÷6”的教学中，把“节约”一课中的试一试例题“502÷2”也融入进来，让学生体会“被除数中间有0并不能肯定商中间有0”。

基于以上对单元整体教学的思考，为了更加符合学生的学习路径，又对“两、三位数除以一位数”的单元教学内容安排作了适度的调整（如表3）。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］章勤琼，陈锡成.基于学习路径分析的小学数学单元整体教学思考框架［J］.小学数学教育，2021（3）：13-16.

［3］章勤琼，阳海林，陈肖颖.小学数学教学中的表现性评价及其应用［J］.课程·教材·教法，2021，41（3）：83-89.

［4］何奇斌.“两、三位数除以一位数”单元整合与关键课例设计［J］.小学数学教育，2021（4）：57-59.

*本文系2020年国家社科基金一般项目“大数据支持下的中小学合作型课堂组织形式建构研究”（项目编号：20BGL127）的研究成果。