具身操作，深度体验，感悟量感

【摘   要】从长度到面积，是从对一维长度的度量走向对二维面积的度量，是学生认识上的一次飞跃。以人教版教材三年级下册“面积”单元教学为例，可通过“具身操作、自主探究、想象累加、估测应用”等教学策略，让学生亲历过程，深度体验，从“会而不懂”走向“既懂又会”，积累“量”的经验，让量感内化于心，自然生长，形成素养。

【关键词】操作；体验；量感；本质

量感主要是指对事物的可测量属性和大小关系的直观感知，小学阶段主要包括对时间、质量、长度、面积和体积等进行度量的感性认识。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域将“图形的认识”与“图形的测量”整合为“图形的认识与测量”主题。“图形的认识与测量”包括立体图形和平面图形的认识、线段长度的测量，以及图形的周长、面积和体积的计算，等等。教学时要强调整体认识图形与测量，凸显图形认识与测量的关联。从一维空间的长度、二维空间的面积到三维空间的体积，图形测量本质上就是确定被测物的大小。

人教版教材三年級下册的“面积”单元内容，具有承上启下的作用。它是从对一维长度的度量走向对二维面积的度量，是学生认识上的一次飞跃。学好这部分内容，有利于学生把握度量的数学结构，为体积及其他相关内容的学习奠定基础。从教师的教学实践与访谈中发现，学生对于物体长度和质量属性的感悟较强，但对二维空间中“面”的感知较弱。面积教学中普遍存在一些不利于学生量感培养的现象，主要表现在四个方面。一是“面积概念”形成过于仓促，忽视操作，导致学生体悟不深，对“面积”的理解出现偏差；二是“面积单位”建立缺乏活动，忽视探究，导致学生体验不足，对“单位”的掌握流于形式；三是“计算公式”推导缺失过程，忽视推理，导致学生体会不够，对“公式”的应用简单机械；四是“面积量感”培养脱离情景，忽视实际，导致学生感悟不到，对“问题”的解决估测失当。应如何发展学生关于“面积”的量感，促进学生空间观念的养成呢？

一、具身操作，建立“面积”表象

量感不是与生俱来的，量感的形成需要经历不断“悟”的过程。学生需要在学习、实践中不断积累经验，逐步形成和发展量感。学生对自己亲身参与、动手操作的活动会有深刻的印象，教师要通过教学让学生亲自体验事物属性，亲身经历体悟过程，帮助他们建立概念表象，深化概念知觉。因此，教学中应重视开展操作活动，给予学生充分观察、操作、思考和体悟的机会，让他们在具身操作中建立概念表象，在具身体验中积累经验，孕育“量感”。

【案例1】“面积的认识”教学

活动一：比一比，谁涂得快？

（1）选一选：请选择图1中一个图形，准备涂色。

（2）涂一涂：将图形涂满颜色，先涂完的同学赢。

（3）想一想：我选了几号图形？为什么？

学生在涂的过程中感知“面”是有大小的。涂满的地方有多大，这个图形就有多大。要想涂得快，就选最小的④号图形。这里的“大”和“小”，就是平面图形的面积。

活动二：找一找，摸一摸物体表面的面积。

（1）找一找：在教室里，我看到了哪些物体表面的面积？

（2）摸一摸：摸一摸这些物体表面的面积，我有什么感觉？

（3）说一说：同桌互相判断，摸到的是物体表面的一周，还是物体表面的大小？

先从学生熟悉的生活例子入手，让他们在摸一摸的过程中强化认知与感悟。如数学书封面的大小就是数学书封面的面积。数学书上不止一个面，因此也不只有一个面积，还有左、右面面积，前、后面面积和底面积。再借助课件举例进一步了解面积，如荷叶面的面积，橘子表面的面积等。让学生感知到物体的表面有平面，也有曲面，有规则的，也有不规则的，在具身操作与体悟中建立“面积”概念表象。

二、自主探究，形成“单位”概念

度量单位是发展量感的关键所在。度量单位是测量物体数学属性的统一标准，它可以确保测量结果表达的统一化与一致性。量感培养的重点不在于已知度量单位后进行测量，而在于识别数量的属性，并“创造”或选择合适的度量单位来进行量化。起始课上的度量单位教学，需要联系生活，整体设计学习路径：①在认知冲突中感受统一度量单位的必要性；②定量刻画“标准单位”；③在深度体验中深化对“一个单位”表象和“几个单位”累加的感知；④形成度量单位清晰的表象。

【案例2】“面积的单位”教学

在明确了用小正方形作为单位密铺的优势之后，可进行如下教学设计。

探究一：《新华字典》封面有多大？

（1）估一估：《新华字典》封面面积大约有几个小正方形的大小？

（2）铺一铺：用小正方形为单位动手铺一铺，我估计得正确吗？

（3）想一想：如果小正方形面积用1表示，那么封面面积可以用几表示？

学生在自主探究的过程中体会“以面量面”的思想，进一步感悟“面积的大小就是小正方形的个数”，从而引出面积的基本单位——1平方厘米。接着，引导学生猜测：测量“课桌面的大小”“教室地面的大小”，用1平方厘米作单位合适吗？进而衍生出其他常用面积单位：1平方分米和1平方米，并寻找身边与之相关的替代实物，通过摸一摸、比一比、量一量等多种表征方式，形成单位概念表象。

探究二：1平方分米里面有几个1平方厘米？

（1）猜一猜：用1平方厘米去测量，1平方分米里有几个1平方厘米？

（2）画一画：在1平方分米的正方形中表示出来。

（3）说一说：同桌交流，说说自己的验证方法是怎样的。

量感培养要从度量单位的意义及实物测量经验出发，走向用数对测量结果进行定量刻画。学生要通过“猜想—验证”，发现1平方分米=100平方厘米，并明白其中的原理。同理可得：1平方米=100平方分米。学生通过观察、操作、验证等，在多维度体验中有效建立面积单位表象，掌握不同面积单位之间的内在联系，促使量感不断沉淀，从感性走向理性，从直觉走向思辨。

三、想象累加，凸显“测量”本质

量（liàng）是量（liáng）出来的。测量面积的本质是用面积单位测量并计数面积单位个数的过程，即测量对象中包含了多少个这样的面积单位。教学中，教师应引导学生从“数面积”转为“计算面积”，体会面积与面积单位之间的关系。学生经历“用小正方形密铺—用小正方形半铺—不用小正方形想象铺”的学习过程，感知测量面积的本质，延伸与拓展面积概念。在这一过程中，学生不仅能积累数学活动经验，也能提升量感。

【案例3】“长方形、正方形面积的计算”教学

师（出示图2）：图中长方形的面积是多少？

生：7×3=21（cm2）

师：长和宽都是长度，面积是这个面的大小，为什么两个长度相乘得到的是面积呢？

出示探究任务：这个长方形面积为什么是通过“7×3”得到的？

（1）铺一铺：借助1cm2小正方形，在长方形中铺一铺。

（2）画一画：在长方形中画一画，让人一眼就能看明白。

（3）想一想：还有其他不同的方法吗？

师生共同反馈梳理。

（1）用小正方形密铺。长方形的长7厘米，沿长边能铺7个面积为1cm2的小正方形；宽3厘米，沿宽边能铺3个面积为1cm2的小正方形。3个7表示每行能铺7个面积为1cm2的小正方形，有这样的3行，一共铺了21个1cm2的小正方形，即长方形的面积为21cm2（如图3）。

（2）少用小正方形半铺。只需画出“∟型”“⊥型”等形状，就能看出每行有7个面积为1cm2的小正方形，有這样的3行，7×3得到21个1cm2的小正方形，即长方形的面积是21cm2（如图4）。

（3）不用小正方形，想象铺。不用画格子，只要用刻度线隔开，就能清楚地表示出每行小正方形的个数以及行数（如图5）。

师：现在，既不用小正方形铺，也不画格子，请你看着这个长方形，想象：沿着长画了7个1cm2的小正方形，沿着宽画了3行，7×3表示每行能铺7个面积为1cm2的小正方形，有这样的3行，一共铺了21个1cm2的小正方形。也就是，长×宽=长方形的面积。

学生对于长方形面积公式“长方形的面积=长×宽”的学习，属于典型的“会而不懂”，即学生能套用长方形面积公式求长方形的面积，但不清晰这个公式的由来。因此，在教学中教师要引导学生选择一个合适单位（1cm2小正方形）对测量对象进行测量。其实，这些不同的画法体现了测量对象（长方形的面积）由标准单位（1cm2小正方形）累加的过程。学生在操作中将长方形面积用标准单位铺满的过程与长、宽的长度相关联，理解7×3=21（cm2）表示每行能铺7个面积为1cm2的小正方形，有这样的3行，一共铺了21个1cm2的小正方形。学生的图画得越来越简洁，他们在头脑中想象累加结果的过程越来越丰满。在这个过程中，学生进一步感悟其中变与不变的思想，深化了对“面积是几倍单位量的数值化表示”这一测量本质的理解，有效发展了量感。

四、估测应用，感悟“量感”生长

量感是对量的大小属性的感悟和直觉，是学生在不使用测量工具的前提下，能对某个量的大小进行推断，并有一个相对比较合理的感知。

提升“量感”，首先要有意识地培养学生形成明确的度量意识，用数学的眼光观察现实世界，“度量”身边的常见事物。其次要积极创设有真实情境的测量问题，引导学生用数学的思维思考现实世界，进行合理估测。比如，估测“教室地面面积有多大”时，先让学生估一估教室地面的面积是多少平方米；再想一想有什么好方法，可以让估的结果比较准确；最后同桌互相说一说，方法是否合适。学生自然就会提出直接估面积，有一定难度。如果先知道正方形地砖的边长，借助这一参照物，推测教室地面大约含有几个这样的“单位”，就可以比较准确地估测出地面面积。再如，可以布置一项亲子作业，让学生与家长一起估测房间的面积等。这种生活浸润式的估测应用，有助于学生自觉应用所学知识，积累“量”的经验，让量感可感，让量感可见，进而实现从“生活量感”到“数学量感”的转变。

总之，量感是对量的感悟，是心智技能与动作技能的结合，是兼具内隐性与外显性的思维活动，量感培养是一个潜移默化的长期过程。从学习长度到认识面积，是学生空间形式认知发展上的一次飞跃，也是发展学生量感的契机。教学中要给予学生充分地观察、探究的机会，强化具身操作，亲历深度体验，让学生从“会而不懂”走向真正意义上的“既懂又会”，让量感内化于心，自然生长，形成素养。

参考文献：

［1］史宁中.为什么要强调量感［J］.小学教学（数学版），2021（10）：8-10.

［2］鲍善军，平燕.让量感在课堂中真实生长［J］.小学数学教育，2020（10）：17-19.